chapt07-2复变函数

1、方程的分类化简方程的分类化简达朗贝尔公式达朗贝尔公式分类基本概念分类基本概念(1) 偏微分方程偏微分方程 含有未知多元函数及其偏导数的方程，如含有未知多元函数及其偏导数的方程，如22222( , , ,)0uuuuuF x yuxyxyx y 其中其中( , ,)u x y 是未知多元函数，是未知多元函数，而而 , ,x y 是未知变量；是未知变量； ,uuxy为为u的偏导数的偏导数. 有时为了书有时为了书写方便，通常记写方便，通常记22,xyxxuuuuuuxyx(2)方程的阶方程的阶 偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶为方程的阶(3)方程

2、的次数方程的次数 偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数偏微分方程的次数(4)线性方程线性方程 一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有（组合）偏导数的有（组合）偏导数的幂次数幂次数都是一次的，就称为线性方程，都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程高于一次以上的方程称为非线性方程(5)准线性方程准线性方程 一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程(6)自由项自由项 在偏微分方

3、程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项项称为自由项方程的通解和特解概念方程的通解和特解概念二阶线性非齐次偏微分方程二阶线性非齐次偏微分方程 2xyuyx的的通解通解为为221( , )( )( )2u x yxyx yF xG y其中其中( ),( )F x G y是两个独立的任意函数因为方程为是两个独立的任意函数因为方程为二阶的，所以是两个任意的函数若给函数二阶的，所以是两个任意的函数若给函数 ( ),( )F x G y指定为指定为 特殊的特殊的 4( )25,( )2sinF xxG yy，则得到的解，则得到的解2241( , )252si

4、n2u x yxyx yxy 称为方程的称为方程的特解特解 n阶常微分方程的通解含有阶常微分方程的通解含有n个任意常数，而个任意常数，而n阶偏微分方阶偏微分方程的通解含有程的通解含有n个任意函数个任意函数 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方波动方程；热传导方程；稳定场方程程这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点将会看到它们的解也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线

5、我们在解析几何中知道对于二次实曲线220axbxycydxeyf其中其中 , , , , ,a b c d e f为常数，且设为常数，且设 24bac数学物理方程的分类数学物理方程的分类则当则当0,0,0 时，上述二次曲线一般分别为双时，上述二次曲线一般分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类. 下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些

6、，但讨论的基本方法是一样的论的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x, y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为其中其中 a11, a12, a22 等均仅仅是等均仅仅是x, y的已知函数的已知函数 1112221220 xxxyyyxya ua ua ubub ucuf特征曲线特征曲线 方程：方程： 2111222212112220aaaaa a/dy dx 1. 当判别式当判别式 以求得以求得两个实函数解两个实函数解 时，从特征方程可时，从特征方程可12( , ) ( , ) x yCx yC及2121122aa a也就是说，偏微分方程也就是说，偏

7、微分方程(1)有有两条实的特征线两条实的特征线于是，令于是，令( , ), ( , )x yx y2( , , ,)0uuuu 方程可化为：或者进一步作变换或者进一步作变换, = 于是有于是有, 所以所以22222 uuu 又可以进一步将方程化为又可以进一步将方程化为22122( , , ,)0uuuuu 这种类型的方程称为这种类型的方程称为双曲型方程双曲型方程我们前面建立的波动方我们前面建立的波动方程就属于此类型程就属于此类型2当判别式当判别式 时：这时方程重根时：这时方程重根21211220aa a1211dyadxa0( , )x yC特征线为特征线为一条实特征线一条实特征线作变换作变换

8、 ( , )x y任意选取另一个变换，任意选取另一个变换， ( , )x y只要它和只要它和 ( , )x y彼此独立，即雅可俾式彼此独立，即雅可俾式(,)0(,)xy方程可化为：方程可化为：22( , , ,)0uuuu 此类方程称为抛物型方程热传导（扩散）方程就属于此类方程称为抛物型方程热传导（扩散）方程就属于这种类型这种类型3. 当判别式当判别式 面的讨论，只不过得到的面的讨论，只不过得到的 时：这时，可以重复上时：这时，可以重复上( , )x y和和 ( , )x y是一是一对共轭的复函数，或者说，对共轭的复函数，或者说，两条特征线是一对共轭复函数族两条特征线是一对共轭复函数族:( ,

9、 ), ( , )x yx y是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量是一对共轭的复变量进一步引进两个新的实变量21211220aa a, =i()于是于是i, i所以所以 22222 uuu 22222( , , ,)0uuuuu 方程进一步化为方程进一步化为 这种类型的方程称为椭圆型方程拉普拉斯这种类型的方程称为椭圆型方程拉普拉斯(Laplace)方程、方程、泊松泊松(Poisson)方程和方程和Helmholtz 方程都属于这种类型方程都属于这种类型 综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式需讨论判别式 即可即可.

10、 2121122aa a二阶线性常系数偏微分方程的化简二阶线性常系数偏微分方程的化简 如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法可以进一步化简下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型双曲型 对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简可进一步化简21111( , )uuudef uG 11( , )( , )edue v我们不妨令我们不妨令 从而有从而有211( ,)hJ vv(7.9.2)其中其中 11()11 1111

11、, ( , )( , )edhd efJGe 第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）:22*111122( , )uuuudef u G (7.9.3) 式中式中 *111,def均为常系数可化简为均为常系数可化简为(7.9.4)22*1122( , )hJ vvv对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）222222( , )uuudef uG （7.9.6） 上式中小写字母上式中小写字母 222,d ef均为常系数均为常系数 2.抛物型抛物型222( , )vvhJ 可化简为：3.椭圆型椭圆

12、型 对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数含常系数) 22333322( , )uuuudef uG (7.9.8)上式中小写字母的上式中小写字母的 333,d ef为常系数为常系数233( , )hJ vv可以化简为可以化简为:设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为2=0 (11.2.1)( ,0)( ) (11.2.2)( ,0)( ) ttxxtuauu xxu xx (11.2.3) , 0, 0 xta 7.4 达朗贝尔公式达朗贝尔公式240a 双曲型双曲型220 a12 , aa

13、通解通解12( , )()()u x tF xatF xat其中其中12,F F是任意两个连续二次可微函数我们使用初始是任意两个连续二次可微函数我们使用初始条件条件 本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，只有初始条件由初始条件得到由初始条件得到12( ,0)( )( )( )u xF xF xx12( )( )( )axaFxxF0121( )( )( )dxxF xF xca 1020()()cF xF x001102021020111( )( )( )d()()222111( )( )( )d()()222xxxxF xxF xF

14、xaF xxF xF xa 定解问题的定解问题的解解11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx atx ata 联立求解得到联立求解得到可微的函数时，可微的函数时，(7.14.9)式即为无界弦自由振动定解问题的解，表式即为无界弦自由振动定解问题的解，表达式达式(7.14.9)称为称为达朗贝尔达朗贝尔(D.Alembert)公式公式. 无界弦自由振动定解无界弦自由振动定解问题的解称为达朗贝尔解问题的解称为达朗贝尔解. ( )x( )x当函数当函数是二次连续函数，函数是二次连续函数，函数是一次连续是一次连续11( , ) ()()( )d22x atx atu x tx at

15、x ata 7. 5 达朗贝尔公式的应用达朗贝尔公式的应用 为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔为了加深对达朗贝尔公式的理解，让我们来讨论达朗贝尔公式的应用公式的应用. 齐次方程类型主要讨论自由振动问题齐次方程类型主要讨论自由振动问题, 即没有强迫力作用，即没有强迫力作用，故泛定方程是齐次的故泛定方程是齐次的. 可以直接利用达朗贝尔公式求解可以直接利用达朗贝尔公式求解.7. 5.1.齐次偏微分方程求解齐次偏微分方程求解 例例7.15.1 已知初始速度为零，初始位移如图已知初始速度为零，初始位移如图11.1所示的无界所示的无界弦振动，求此振动过程中的位移弦振动，求此振动过程中的位移

16、.【解】根据达朗贝尔公式，【解】根据达朗贝尔公式，初始速度初始速度( )0 x)(x),(21xx221xxx0u，而初始位移，而初始位移只在区间只在区间上不为零，且在上不为零，且在处达到最大值处达到最大值，如，如图图11.1所示，得到定解问题：所示，得到定解问题：112012121202212 ( )2( )2 ()20 xxxxuxxxxxxxxxuxxxx12 ( , ) xx x根据达朗贝尔公式（根据达朗贝尔公式（7.14.9）即得位移为）即得位移为 )(21)(21),(atxatxtxu0)(x)(x),(21xx例例7.15.2 设初始位移为零即设初始位移为零即，而且初速度，而且

17、初速度也只在区间也只在区间上不为零上不为零01212, ( ,)( )0, ( ,)xx xxxx x的无界弦振动，求此振动过程的位移分布的无界弦振动，求此振动过程的位移分布.【解】解】由达朗贝尔公式（由达朗贝尔公式（7.14.9）得）得11( , )( )d( )d()()22x atx atu xtx atx ataa 因此，因此，为如（图为如（图11.2）所示的的曲线。）所示的的曲线。根据根据(7.15.1)得得1101221020()11( )( )d()()221()()2x atx atxxxxxxxxaaxxxxa x-( )x( )x由公式由公式(7.15.2), 可作出可作出

18、和和 两个图形，让它们以速度两个图形，让它们以速度a移动，两者的和就描画出各个时刻的波形，由此即得出位移分布移动，两者的和就描画出各个时刻的波形，由此即得出位移分布分别向左、右两个方向分别向左、右两个方向7. 5.2 非齐次偏微分方程的求解非齐次偏微分方程的求解 1. 纯强迫振动定解问题纯强迫振动定解问题 冲量原理法求解冲量原理法求解欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的）欲求解纯强迫力（即指仅有强迫力，而初始条件为齐次的） ( , )f x t所引起振动的定解问题：所引起振动的定解问题：2( , ), (,0)( ,0) 0, ( ,0) 0ttxxtua uf x txtu xu x (7.15.4) 根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后根据其物理意义，该定解问题可以等效于求解一系列前后相继的瞬时冲量相继的瞬时冲量 ( , )(0)f xt所引起的振动所引起的振动的解的解( , ; )x tv的叠加，也就是：的叠加，也就是：0( , )( , ; )dtu x tx tv20 (,)( , ) 0, ( , )( , ) ttxxtaxtxxf x vvvv这种方法称为冲量原理法这种方法称为冲量原理法.这样纯强迫振动定解问题