D向量的坐标,内积

1、4 4 向量的坐标向量的坐标直角坐标系直角坐标系 中中 ,代表三条坐标轴代表三条坐标轴 的方向的三个单位向量的方向的三个单位向量 .,.OX OY OZ123,e e e , ,O X Y Z123 ;,.O e e e基本向量基本向量:1e2e3eO坐标系也可以看成是由原点坐标系也可以看成是由原点和和 三个相互垂直排三个相互垂直排定次序的单位向量组成。如定次序的单位向量组成。如图：图：123eee， ，123,e e e把叫做基本向量。定位向量和向量的坐标定位向量和向量的坐标:r1e2e3eOP( , , )x y z.OPr 向量向量 叫做点叫做点 的的定位向量定位向量，而点，而点 的坐标

2、就叫做向量的坐标就叫做向量 的的坐标坐标. .POP PrOP 在坐标系中，用起点在原点在坐标系中，用起点在原点 的有向线段来表示的有向线段来表示向量。这时，向量就被终点唯一确定，一个点向量。这时，向量就被终点唯一确定，一个点 确定一个向量确定一个向量 一个向量一个向量 也确定一个点也确定一个点 ，使得使得;OP POrP向量的坐标表示向量的坐标表示O1e2e3e( , )P x y z1PP在坐标系中，点在坐标系中，点 的坐标的坐标 可以由它的坐标折线可以由它的坐标折线 来确来确定，坐标折线可以用向量运算来定，坐标折线可以用向量运算来表示出来：表示出来：P( , , )x y z1OPP P

3、11OPOPPPP P 把把 叫做向量叫做向量 在坐标系在坐标系 中的中的坐标表示坐标表示. . ( , , )x y z123 ; ,O e e eOP 123.xeyeze向量的线性组合向量的线性组合设设 是一组向量，而是一组向量，而 是一组是一组数，称数，称 是是 的的线线性组合性组合. .12,na aa12,n 1 122nnaaa12,na aa 例如：例如： 2123123010 ,0000 .eeeeeee所以，在坐标系中要确定一个向量的坐标，就是要所以，在坐标系中要确定一个向量的坐标，就是要把它分解成基本向量的线性组合。把它分解成基本向量的线性组合。所以第二个基本向量的坐标是

4、所以第二个基本向量的坐标是 ，而零向量，而零向量的坐标是的坐标是 . .(0,1,0)(0,0,0) 小结小结：在直角坐标系中，用起点在原点的有向线段来在直角坐标系中，用起点在原点的有向线段来表示向量，那么终点的坐标就是向量的坐标表示向量，那么终点的坐标就是向量的坐标. .1e2e3eOP( , , )x y zr如图：如图：设设 的坐标是的坐标是 ，P( , , )x y z所以向量所以向量 的坐标是的坐标是 .rOP ( , , )x y z而向量而向量 的长度是的长度是r222| | |.rOPxyz 向量向量 和三元数组和三元数组 一一对应起来，因一一对应起来，因此常常用三元数组表示向

5、量，记做此常常用三元数组表示向量，记做r( , , )x y z( , , ),rx y z123.rxeyeze或或坐标表示下向量的运算坐标表示下向量的运算111222( ,)(,)x y zxy z加法的运算加法的运算数乘向量数乘向量( , , )x y z1 11 21 32 12 22 3121122123121212()()()(,).x ey ez ex ey ez exx eyy ezz exxyy zz123.123.()(,).xeyezexeyezexyz例例1 1 已知二点已知二点 和和 ，求向量，求向量 的坐标的坐标. .1111(,)P x y z2222(,)P x

6、yz12PP 解解 如图如图121221PPPOOPOPOP 2 12 22 31 11 21 3()x ey ez ex ey ez e211212213()()()xx eyy ezz e212121(,).xx yy zz 也就是说，终点坐标减去起点的坐标就是向量也就是说，终点坐标减去起点的坐标就是向量的坐标的坐标. .1P2PO注：注： 当当 时，时， 的坐标就是方向数的坐标就是方向数. 12PP12PP例例2 用向量方程来表示经过点用向量方程来表示经过点 并沿着方向并沿着方向 的直线的直线.0Pv解解 设设 是直线上任意一点是直线上任意一点. 所以向所以向量量 与与 是共线的是共线的

7、. 因为向量因为向量 表表示一个方向，所以示一个方向，所以 因此，因此，P0P Pvv0,v 0P PtvP0Pv这叫做直线的这叫做直线的向量方程向量方程.在坐标系中，向量方程可以化成参数在坐标系中，向量方程可以化成参数方程。方程。例例3 点点 把有限向线段把有限向线段 分成定比分成定比 ：P01P P1001.,P PPP PP 00001111(,),( ,)( , , ).P xyzP x y zP x y z已知和 ，求解解0P1PP0011(),OPOPP PPPOPOP 即即01(1).OPOPOP 01,-1.PP因故于是011()1OPOPOP 010101(,)111( ,

8、, ).xxyyzzx y zOOab, a(0), a(0)5 内积两个非零向量两个非零向量 的夹角：的夹角：, a b0,0,0.a ba bb aa ba ba ba b ，如果，如果两个非零向量夹角的性质两个非零向量夹角的性质, a b两个向量之间较小的那个角两个向量之间较小的那个角. 记为记为 内积内积两个向量之间的一种乘法两个向量之间的一种乘法定义定义：两个向量：两个向量 之间的内积之间的内积 ，是其长度与夹角的余弦的乘积：是其长度与夹角的余弦的乘积：, a ba b|cos,.a ba ba b如果其中一个是零向量，则内积规定为如果其中一个是零向量，则内积规定为0.如果如果 ，0

9、b 把把 称为称为 在在 方向的方向的投影值投影值,其绝对值就是其绝对值就是 在在 方向的长度方向的长度. |cos,aa babababO作功问题：一物体在作功问题：一物体在常力常力F F作用下沿直线位移作用下沿直线位移S S，力力F F所作的功为所作的功为 cosWF S.F SFS力力 和位移和位移 的内积的内积 就是力沿着位移方向就是力沿着位移方向所作的功所作的功FSF S.W , 分别叫做分别叫做 沿沿 方向的方向的水平支量水平支量（或投（或投影）和影）和垂直支量垂直支量，也简称，也简称内支量和外支量内支量和外支量。haeaea向量的分解向量的分解设设 是一个非零向量，其方向可以用单

10、位向量是一个非零向量，其方向可以用单位向量 用来表示用来表示. 那么任何一个非零向量那么任何一个非零向量 ，总，总可以分解成两个向量的和可以分解成两个向量的和|bebab.ehaaa其中其中 与与 平行，而平行，而 与与 垂直垂直.eahaeeaeahabe水平支量（内支量，投影）：水平支量（内支量，投影）：=eaeaeahabe|cos,aa e| |cos,a ea e.a e其中其中所以所以性质性质 （1）(),eeeacac() .eaa e ebacacP1P0P1()eacPP 0eaPP01ecP P如图：如图： ().eeeacac性质（性质（2 2）：）：().eeaa性质（

11、性质（3 3）：）：.ea eae 性质性质(3)(3)说明说明 做内积，起作用的只是做内积，起作用的只是 沿沿 方方向的内支量向的内支量 , ,而与外支量而与外支量 无关无关. .稍后我们会发稍后我们会发现，把现，把 换成换成 方向的任何一个非零向量也对方向的任何一个非零向量也对. .ae与aeeahaeeaeahabe()|() | |cos() ,eaea e e ea e e ea e e e |()|cos() ,a ea e e e()cos,()cos(,)a ee ea ea ee e 内积的运算规律内积的运算规律1） 交换律交换律.a bb a2） 结合律结合律()().ab

12、a b3） 分配律分配律().acba bc b 内积可以像多项式的乘法那样运算，但是两内积可以像多项式的乘法那样运算，但是两个向量的内积是一个数而不再是一个向量个向量的内积是一个数而不再是一个向量.()|cos,|cos,aba ba ba ba b|cos,()a ba ba b()()()eeeeeaceaceaceaecea ec e 基本向量的内积基本向量的内积112233e eeeee或者或者ije e1,ij当0,ij当,1,2,3.i j 1e2e3eo直角坐标系中三个基本向量直角坐标系中三个基本向量 的内积是的内积是123,e e e1,0,122331e eeeee内积的坐

13、标表示内积的坐标表示a b1 11 21 32 12 22 3() ()x ey ez ex ey ez e111222( ,),(,).ax y zbxyz设设则则两个向量的内积等于它们对应坐标的乘两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积的和积的和.两个向量两个向量 垂直，则垂直，则, a b1212120.x xy yz z121212.x xy yz z例如：例如：(1,0,2)(2,8, 1)ab和垂直.向量的坐标与内积的关系向量的坐标与内积的关系即：向量的坐标分别是向量与三个基即：向量的坐标分别是向量与三个基本向量的内积本向量的内积. .假设向量假设向量( , , )ax y z1a e

14、1231()xeyezee112131xe eyeezee. x2,a ey3.a ez同理同理所以所以112233()()() .aa e ea e ea e e内积表示下向量的长度和夹角内积表示下向量的长度和夹角假设向量假设向量111222( ,),(,).ax y zbxyz那么向量的长度（模）那么向量的长度（模）222111|axyz两个非零向量的夹角两个非零向量的夹角, a b|cos,a ba ba bcos,|a ba ba b121212222222111222.x xy yz zxyzxyz因为因为.a a例例2 2：已知平面：已知平面 经过点经过点 而且垂直于非而且垂直于非

15、零向量零向量 ，求平面的方程，求平面的方程. .0000(,)P xyz( ,)nA B C1P2P1P2Pl例例1 1：如果点：如果点 在直线在直线 上的垂足各为上的垂足各为 ，那，那么向量么向量 就叫做向量就叫做向量 在直线在直线 上的投影，设上的投影，设单位向量单位向量 是直线是直线 的方向，证明的方向，证明12,P Pl12,P P12P P12PP1212() .P PPP e elel例例4 4：求点：求点 与平面与平面 的距离的距离. .1111( ,)P x y zAxByCzD：0例例3 3：与一个平面垂直的非零向量，叫做平面的法：与一个平面垂直的非零向量，叫做平面的法向量向量. .证明：一次方程证明：一次方程 表示一表示一个平面，并且个平面，并且 是它的法向量是它的法向量. .0AxByCzD( , ,)A B C练习练习 已知三点已知三点M(1 , 1 , 1) ，A(2 , 2 , 1) , B(2 , 1