(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法有答案

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法（ 有答案 ）总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1. 等腰三角形“三线合一”法： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2. 倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3. 角平分线在三种添辅助线4. 垂直平分线联结线段两端5. 用“截长法”或“补短法”： 遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6. 图形补全法：有一个角为60 度或 120 度的把该角添线后构成等边三角形7. 角度数为30、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或 60 度，可以从角一边上

2、一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等

3、变换中的“对折”法 构造全等三角形2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法 构造全等三角形3） 遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（ 1 ） 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置 上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角

4、形，利用的思维模式是全等变换中的 “平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5, AC=3则中线AD的取值范围是 .例2、如图， AB

5、C中，E、F分别在 AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较 BE+CF与EF的大小.例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.应用：1、（09崇文二模）以 ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和等腰Rt ACE, BAD CAE 90 ,连接DE, M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE 的位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 , 线段AM与DE的数量关系是 ;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结

6、论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1、如图,ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAC,且 AD=BD 求证：CDL AC2、如图,AD/ BC, EA,EB分另1J平分/ DAB,/ CBACD过点E,求证;AB = AD+BC3、°已知在VABC内， BAC 6° ,40°, P,如图,Q分别在BC, CA上，并且AP,4、求证： A C 180°5、如图在 ABC中，AB> AC / 1 = /2, P为AD上任意一点，求证；AB-AC>PB-PC EBC周长记为PB .求证PB > PA .应用: 如圉.在四边Jg AH

7、CO中.W/74C点W是AB上一个勘点.若= R 4DEC =60二判断且。十AE与BC的关系并证明你的结论.解；、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNLh一点， ABC周长记为PA ,例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.四、借助角平分线造全等1、如图，已知在ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD2、如图， ABC中，AD平分/ BACDGL BC且平分 BC, DEI AB于 E,D。AC于 F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a

8、, AC=b ,求AE、BE的长.应用:1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ACB是直角，/B=60° , AD、CE分别是/ BAC、Z BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变,请问，你五、旋转在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立,图(第23题图)请说明理由。例1正方形ABCD43, E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE

9、+DF=EF 求/ EAF 的度数.例2 D为等腰Rt ABC斜边AB的中点,DM DN,DM,DIN另1J交 BC,CA于点 E,F。A(1) 当 MDN绕点D转动时，求证DE=DF(2) 若AB=2求四边形DECF勺面积。例3如图， ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且 BDC 120°,以D为顶点做一个6°°角，使其两边分别交 AB于点M,交AC于点N,连接MN则 AMN 的周长为;应用：1、已知四边形 ABCD 中，AB AD , BC CD, AB BC , Z ABC 12°o ,ZMBN 6°o, /MBN绕B点旋

10、转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于 E, F .当/MBN绕B点旋转到AE CF时（如图1）,易证AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成 立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出 你的猜想，不需证明.（图1）（图2）（图3）2、(西城09年一模)已知:PA=72 ,PB=4,以AB为一边作正方形 ABCD使P、D两点落在 直线AB的两侧.(1)如图，当/ APB=45时，求AB及PD的长；(2)当/ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.

11、3、在等边 ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N , D为VABC外一点，且MDN 60 , BDC 120 ,BD=DC.探究：当 M、N分别在直线 AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN 时，BM、NC、MN之间的数量 关系是;此时Q ；L(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM DN时，猜想(I)问的两个结论还 成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III) 如图3,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN= X ,则Q= (用x、L表示).

12、参考答案与提示、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图 ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 是中点，试比较 BE+CF与EF的解：延长 AD至E使AE= 2AD,连BE,由三角形性质知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD的取值范围是 1<AD<4例2、如图， ABC中，E、F分别在 AR AC上，DEL DF, DF大小.解：（倍长中线，等腰三角形“三线合一”法 ）延长FD至G使FG= 2EF,连BG EGE显然BG= FC,在4EFG中，注意到DE! DF,由等腰三角形的三线合一知EG= EF在 BEG中，由三角形性质知EG&

13、lt;BG+BE故：EF<BE+FC例3、如图， ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证： AD平分/ BAE.解：延长 AE至G使AG= 2AE,连BG DG,显然 DG= AC/ GDC= ACD由于 DC=AC 故 / ADC=Z DAC在人口8与4 ADG中,BD=AC=DG AD= AD/ ADB=Z ADC它 ACDh ADC吆 GDC= / ADG故 ADB ADG 故有/ BAD4 DAG 即 AD平分 / BAE应用：1、（09崇文二模）以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰ABC Rt ABD和等腰Rt ACE, BAD CAE 90，连接DE, M、N分别是B

14、C、DE的中点.探究：AM与DE 的位置关系及数量关系.（1）如图 当 ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 , 线段AM与DE的数量关系是 ;（2）将图中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转（0< <90）后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1、如图， ABC 中，AB=2AC AD 平分 BAC,且 AD=BD 求证：CDL AC解：（截长法）在 AB上取中点F,连FD ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知DF± AB,故/ AFD= 90° AD阵 ADC (SAS/ ACD= / AFD=

15、90° 即：CDLAC2、如图，AD/ BC, EA,EB分别平分/ DAB,/ CBA CD过点 E,解：（截长法）在 AB上取点F,使AF= AD连FE AD® AFE （SAS/AD± / AFEZADE-+Z BC9 180°/AFE+/ BFE 180°故/ ECB= / EFB FB三 CBE (AAS故有BF= BC从而;AB = AD+BC3、如图，已知在0BAC 60 ,C 400ABC 内,P, Q分另1J在BC CA上，并且AP, BQ分另1J是 BAC , CABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP解：（补短法，计

16、算数值法）延长 AB至D,使BD= BP,连DP在等月BPD中，可得/ BDP= 40°从而/ BDP= 40° =/ ACP ADP ACP (ASA故 AD= AC又/ QBC= 40° =Z QCB 故 BQ= QCBD= BP从而 BQ+AQ=AB+BP4、如图，在四边形 ABCD, BO BA,AD= CD BD平分求证：A C 1800解：（补短法）延长 BA至F,使BF= BC连FD BD阵 BDC （SAS故/ DFB= / DCB , FD= DC又 AD= CD故在等腰 BFD中/ DFB= / DAF故有/ BAD吆 BCD= 180

17、6;5、如图在 ABC中，AB> AC, /1 = /2, P为AD上任意Y解：（补短法）延长 AC至F,使AF= AB,连PDABC,A一点,求证；AB-AC > PB-PCAB乙。 AB国 AFP （SAS故 BP= PF由三角形性质知PB- PC= PF- PC < CF =应用：如圉，在叫边后AltCD£办£。= 6。'判断.加卜蝌= AF-AC= AB- AC中,W/74c点后是AB上一个勘点.若=&）”,#曰=BC,且 与取二的美系井证明你的结论.AQ、平移变换例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNL上

18、一点， ABC周长记为 PA , EBC周长记为PB .求证PB > PA .解：(镜面反射法)延长 BA至F,使AF= AC,连FE人口为 ABC的角平分线，MN XAD知 / FAE= / CAE故有 FAE CAE (SAS故 EF= CE在 BEF 中有：BE+EF>BF=BA+AF=BA+AC 从而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+ACPBC=例2如图，在 ABC的边上取两点 口 E,且BD=CE求证：AB+AC>AD+AE.证明：取BC中点M,连AM并延长至N,使MN=AM,连BN,DN.V bd=ce,. DM=EM,.DMNAEMA(SAS),

19、DN=AE,同理bn=ca.延长 ND 交 AB 于 P,WJ BN+BP>PN,DP+PA>AD, 相力口得 BN+BP+DP+PA>PN+AD, 各减去 DP,得 BN+AB>DN+AD, . AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分线造全等1、如图，已知在 ABC中，/ B=60° , ABC的角平分线 AD,CE相交于点 0,求证：OE=ODDC+AE =AC证明（角平分线在三种添辅助线，计算数值法）/B=60贝叱 BAC+Z BCA=120 度；AD,CE均为角平分线，WJ / 0AC+/ OCA=60 S = Z A0E=ZC0D;/AOC=

20、120 度.在AC上截取线段AF=AE,连接0F.又 A0=A0; / 0AE= / 0AF .则，0AE0 A0AF(SAS), 0E=0F;AE=AF;/A0F=/A0E=60 度.则 / C0F=/A0C-/A0F=60 度=/COD;又 CO=CO; /OCD= /OCF.故，OCD0 AOCF(SAS), OD=OF;CD=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.DEI AB于 E, D。AC于 F.2、如图， ABC中，AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC,（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.解：（垂直平分线联结线段两端）

21、连接BD, DCDG直平分BC,故BD= DC由于AD平分/ BAC DE± ABT E, DF± AC于F,故有ED= DF故 RTA DBE RTA DFC （ HL）故有BE= CRAB+AC= 2AEAE= ( a+b) /2BE=(a-b)/2应用：1、如图，OP是/ MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全(1)(2)等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(第23题图)如图，在 ABC中，/ACB是直角，/B=60° , AD、CE分别是/ BAC、/ BCA 的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出 FE

22、与FD之间的数量关系； 如图，在 ABC中，如果/ ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你 在中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。五、旋转BE+DF=EF 求/ EAF 的度数.例1正方形ABCD43, E为BC上的一点，F为CD上的一点,证明：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABGWJ GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF= / GAE= / BAE+ / GAB= / BAE+ / DAF又 / EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D

23、为等腰Rt ABC斜边AB的中点，DML DN,DM,DN别交BC,CA于点E,F。(1)当 MDN绕点D转动时，求证 DE=DF(2)若AB=2,求四边形DECF勺面积。N1CDL AB, =45°解：（计算数值法）（1）连接DGCD- DAD为等腰Rt ABC斜边AB的中点，故有 CD平分 / BCA =90° , Z ECD = / DCA 由于 DML DN 有 / EDN= 90° 由于 CDLAB,有/ CLA=90° 从而/ CDE / FCA = 故有 CD国 ADF （ASA 故有DE=DF Sa abc=2, S 四 DEC= S A

24、AC=1例3如图， ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC 120°,以D为顶点做一个600角，使其两边分别交 AB于点M,交AC于点NI,连接MN则 AMN 的周长为;解：（图形补全法，“截长法”或“补短法”，计算数值法）AC的延长线与BD的延长线交 于点F,在线段 CF上取点E,使CE=BM.ABC为等边三角形， BCD为等腰三角形，且/ BDC=120 ,/ MBD= / MBC+ / DBC=60 +30° =90° ,ZDCE=18 0 -ZACD=18 0 -ZABD=90 ,又 BM=CE , BD=CD ,CDEA BDM , ./ CDE= / BDM , DE=DM ,/ NDE= / NDC+ / CDE= / NDC+ / BDM= / BDC- / MDN=120 -60 =60° ,.在 DMN 和 DEN 中，DM=DE/ MDN= / EDN=60D