大学数学(高数微积分)第一章多项式第二节(课堂讲义)

1、1在对多项式的讨论中，我们总是以一个预先给定的数域 P 作为基础.设 x 是一个符号(或称文字)我们有 2中，aixi 称为 ，ai 称为i 次项的.以后我们用 f (x) , g(x) , 或 f , g , 等来代表多项式.我们这儿定义的多项式是符号或文字的形式表达式.当这符号是未知数时，它是中学所学代数中的多项式.看应用需要，这个符号还可以代表其他待定事物.为了能统一研究未知数和其他a an nx xn n + + a an n-1-1x xn n-1-1 + + + + a a1 1x x + + a a0 0 , , (1)(1)在多项式3待定事物的多项式，我们才抽象地定义上述形式表

2、达式.并且还要对它们引入运算来反映各个待定事物所满足的运算规律，统一研究以得到它们普遍的公共的性质. 4在a an nx xn n + + a an n-1-1x xn n-1-1 + + + + a a1 1x x + + a a0 0 , , (1)(1)中，如果 an 0，那么 anxn 称为多项式 (1) 的，an 称为，n 称为多项式 (1) 的.零多项式是的多项式.多项式 f (x) 的次数记为 ( f (x) ) .51. 1. 引例引例引例引例在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、在中学所讲的代数中，两个多项式可以相加、相减、相乘相减、相乘. 例如，例如，(2x2 - 1)

3、+ (x3 - 2x2 + x + 2) = x3 + x +1 ,(2x2 - 1) (x2 - x + 1)= 2x4 - 2x3 + 2x2 - x2 + x - 1= 2x4 - 2x3 + x2 + x - 1 .对形式多项式，我们可类似地引入这些运算对形式多项式，我们可类似地引入这些运算.为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式.设f (x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 ,g (x) = bmxm + bm-1xm-1 + + b1x + b0 是数域 P 上两个多项式.那么它们可以写成.)(,)(00mjjjniiixbxgxaxf6在表示多

4、项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如 n m ,为了方便起见，在 g(x) 中令 bn = bn-1 = = bm+1 =0.那么 f (x) 与 g(x) 的和为f (x) + g(x) = (an + bn)xn + (an-1 + bn-1)xn-1 + .+ (a1 + b1)x + (a0 + b0).)(0niiiixba7f (x) g(x) = anbmxn+m + (anbm-1 + an-1bm )xn+m-1+ + (a1b0 + a0b1)x + a0b0 ,其中 s 次项的系数是.011110sjijissssbababababa所以 f (x) g(x) 可表

5、成.)()(0snmssjijixbaxgxf 8显然，对于多项式的加减法，不难看出 ( f (x) g(x) ) max( ( f (x) ) , (g(x) ) )对于多项式的乘法，可以证明，如果 f (x) 0,g(x) 0 , 那么 f (x) g(x) 0 , 并且 ( f (x) g(x) ) = ( f (x) ) + ( g(x) )9由以上证明还看出，显然，上面得出的结果都可以推广到多个多项式的情形.下面来讨论多项式的运算所满足的规律.10f (x) + g(x) = g(x) + f (x) .( f (x) + g(x) ) + h(x) = f (x) + ( g(x) + h(x) ) .f (x) g(x) = g(x) f (x) .11( f (x) g(x) ) h(x) = f (x) ( g(x) h(x) ) .f (x) ( g(x) + h(x) ) = f (x) g(x) + f (x) h(x) .证明证明证明证明设设.)(;)(;)(000lkkkmjjjniiixcxhxbxgxaxf现在来证现在来证( f (x) g(x) ) h(x) = f (x) ( g(x) h(x) ) .等式左边，等式左边， f (x) g(x) 中中 s 次项的系数为次项的系数为,