2011年天津市高考数学试卷(文科)

1、2011年天津市高考数学试卷（文科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1-3?1. （5分）i是虚数单位，复数=（）1-?A. 2- i B. 2+i C - 1-2i D. 1+2i7r 12. （5分）设变量x, y满足约束条件? 4 0则目标函数z=3x- y的最大? 3?F 4 0值为（）4A.- 4 B. 0 CD. 433. （5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 X的值为-4,则输出y的值为（）東）A. 0.5 B. 1 C 2D . 44 . （5 分）设集合 A=x RX-2>0，B=x RXV0，C=x R| x （X-2） >0， 则

2、“A B'是 “C'的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件5. （5分）已知 a=lo学3.6, b=log43.2, C=IOg43.6则（）A. a>b>C B. a>c>b C. b>a>C D. c>a>b? ?6. (5分)已知双曲线? ?2=1(a>0, b>0)的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 (-2, - 1), 则双曲线的焦距为()A. 23 B. 25 C. 43 D. 457. (5 分)

3、已知函数 f (x) =2sin (X ), x R,其中 >0,- V 若函?数f (x)的最小正周期为6,且当x=-时，f (x)取得最大值，贝9()B. f (x)在区间-3 , - 上是增函D. f (x)在区间4, 6上是减函数?”： a?b='? - -1.设函数 f (x)=? ? ?> 1(X)- C的图象与X轴恰有两个公共点，-1 ( 1 , 2 C. (- , - 2) (1 ,A. f (x)在区间-2, 0上是增函数 数C. f (x)在区间3 , 5上是减函数8. (5分)对实数a与b,定义新运算(x2 - 2) ? (X- 1), x R.若函数

4、 y=f 则实数C的取值范围是()A. (- 1, 1 (2, +)B. (- 2,2 D- - 2,- 1二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分)9. (5分)已知集合A=x Rll X- 1| V 2 , Z为整数集,则集合 A Z中所有元素的和等于.10. (5分)一个几何体的三视图如图所示(单位：m),则这个几何体的体积为 m3.第3页共19页11. （5分）已知an为等差数列，S为an的前n项和，n N*,若a3=l6, S2o=2O,则Sio值为.12. （5分）已知Iog2a+log2b 1,则3a+9b的最小值为.13 . （5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F

5、, E是AB延长线上一点，且 DF=CF辺,AF: FB: BE=4 2： 1.若CE与圆相切，则 CE的长为.14. （5 分）已知直角梯形 ABCD中，AD/ BC, ADC=90 , AD=2, BC=1, P是腰DC上的动点，贝U |?3?勺最小值为.三、解答题（共6小题，满分80分）15. （13分）编号为A1, A2,，A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得 分记录如下：运动员编口， 号A1A2A3A4AA6AA13 22823183得55 1564分运AA AA12AAA15A动91 1111第3页共19页员O 13 46编号1 2 2332 1313得7 6 52 28分

6、(I )将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间10，20)20，30)30, 40人数(U)从得分在区间20, 30)内的运动员中随机抽取2人，(i) 用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；(ii) 求这2人得分之和大于50分的概率.16. (13分)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知B=G 2b=3a.(I )求cosA的值；?( ) COS (2A+-)的值.417. (13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ADC=45,AD=AC=I O为AC中点，Po丄平面ABCD PO=2, M为PD中点.(I )证明：PB/平面ACM

7、;( )证明：AD丄平面PAC(M)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.第6页共19页Fi, F2 .点 P (a,b)满足 | PF2| =| F1F2 .(I )求椭圆的离心率e；2( )设直线Pb与椭圆相交于A, B两点，若直线P与圆(x+1) 2+(?7 3) =165相交于M， N两点，且IMNl Al ABl ,求椭圆的方程.819. (14分)已知函数 f (x) =4x3+3tx2-6t2x+t - 1, x R,其中 t R(I )当t=1时，求曲线y=f (x)在点(0, f (O)处的切线方程；(U)当t 0时，求f (x)的单调区间；(M)证明：对任意的t ( 0,

8、 +), f (x)在区间(0, 1)内均存在零点.20. (14 分)已知数列an与bn满足 bn+1an+bnan+1= (-2) n+1,bn='3+(-1)?-1n N*, 且 a1=2.(I )求a2, a3的值(U)设 Cn=a2n+1 - 2n-1 , n N* ,证明 Cn是等比数列? ? 1 ?1(M)设Sn为an的前n项和，证明 不+不+"-+刁2?n-; (n N*)? ?2? 2 ? ? -1 ? 2?3第8页共19页2011年天津市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1-3?1. （5分）i是虚数单位，复

9、数1?=（）A. 2- i B. 2+i C - 1-2i D. 1+2i【解答】故选A解：复数4-2?=2 - ?2?> 12. （5分）设变量X, y满足约束条件?* ? 4 0则目标函数z=3x-? 3?F 4 0值为（）4A.- 4 B. 0 CD. 43【解答】解：画出不等式表示的平面区域y的最大2）时,4 ,则输将目标函数变形为y=3x-z,作出目标函数对应的直线，当直线过（2, 直线的纵截距最小，Z最大最大值为6 - 2=4故选D3. （5分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，若输入 X的值为- 第6页共19页出y的值为（）A. 0.5 B. 1 C 2 D. 4【解答】

10、解：当输入x= - 4时，| x| >3,执行循环，x= - 4- 3| =7| x| =7>3,执行循环,x=| 7 - 3| =4,| x| =4>3,执行循环,x= 4 - 3| =1,退出循环，输出的结果为y=21=2.故选C.4. (5 分)设集合 A=x RX-2>0 , B=x RXV0 , C=x R| x (X-2) >0, 则 “A B'是 “C'的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件【解答】 解：A=x R|x-2>0=xx>2A B=x x>2 或 XV 0C

11、=x R| X (X-2)> 0 =xx>2 或 XV0 A B=C "A B'是“ C'的充要条件5. （5 分）已知 a=0Q3.6, b=log43.2, C=IOg43.6 则（）A. a>b>C B. a>c>b C. b>a>C D. c>a>b【解答】解：I a=IQ3.6=log43.62 y=I0g4 在（0, +）单调递增，又 V 3.62>3.6>3.2 Iog43.62> I0g43.6>Iog43.2即 a>c>b故选：B? ?6. （5分）已知双

12、曲线 谆？2=1（a>0, b>0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦 点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 （-2, - 1）, 则双曲线的焦距为（）A. 23 B. 25 C. 43 D. 45【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2, - 1）,?即点（-2,- 1）在抛物线的准线上，又由抛物线 y2=2px的准线方程为x=- 则 p=4,则抛物线的焦点为（2, 0）;则双曲线的左顶点为（-2, 0）,即a=2;1点（-2,- 1）在双曲线的渐近线上，则其渐近线方程为y=±只，由双曲线的性质，可得b=1;则c=v

13、5 ,则焦距为2c=2v5;故选B.7. （5 分）已知函数 f （x） =2sin （ X ）, x R,其中 >0,- V 若函?数f （X）的最小正周期为6,且当x=2时，f （X）取得最大值，贝9（）A. f（x）在区间-2,0上是增函数B.f（x）在区间-3,- 上是增函C. f (x)在区间3, 5上是减函数D. f (x)在区间4, 6上是减函数【解答】解：T函数f (X)的最小正周期为6 根据周期公式可得2? 1 -= 一, 6?31 f (x) =2sin (-?+ ),3? ? 时，f (x)取得最大值， 2sin (+ ) =2, =6?)，V 当 X=2?3+2k

14、? IV = , ?(?= 2?+ 3),? 1 ? ?2 + 2?字3?打3 2 + 2?可得函数的单调增区间：6?5?5? 6?第21页共19页?2，?7?6?+才，6? 7?,? ? 3?由一 + 2?+ - + 2?可得函数的单调减区间:2332结合选项可知A正确， 故选A.? g ?< 18. (5分)对实数a与b,定义新运算？” a?b='? -1 .设函数f (x)=? ? ?9> 1(x2 - 2) ? (X- 1), x R.若函数y=f (X)- C的图象与X轴恰有两个公共点， 则实数C的取值范围是()A. (- 1, 1 (2 , +) B. (-2,

15、 - 1 ( 1 , 2C. (- , - 2) (1 ,2 D. - 2, - 1“一“ ? ? ? 1【解答】解：V ? ?= ，,? ? ?> 1.函数 f (x) = (X2- 2) ? (X- 1)?- 2, - 1 ?<2=? 1 , ?Z - 1 或？> 2由图可知，当 c(-2, - 1 ( 1, 2 函数f (x)与y=c的图象有两个公共点， C的取值范围是 (-2, - 1 ( 1 , 2, 故选B.L/IkftIJL-OX/-4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9. （5分）已知集合A=x Rll X- 1| V 2 , Z为整数集，则集合

16、A Z中所有元 素的和等于 3.【解答】 解：A=x R| X- 1| V2=x - 1v XV 3,而Z为整数集，集合 A Z=0, 1, 2,故集合A Z中所有元素的和等于0+1+2=3,故答案为3.10. （5分）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则这个几何体的体积为4 m3.12 _正视囹£21 FU俯视圏【解答】解：由三视图可知,这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1 × 1 ×2下面是一个长为2,高为1,宽为1的长方体，体积是1 ×1×2几何体的体积是1×1× 2+

17、2×1×1=4m3,故答案为：411. （5分）已知an为等差数列，S为an的前n项和，n N*,若a3=16, S2o=2O,则Sio值为 110.【解答】解：由题意a3=16,故S5=5× a3=8O,由数列的性质 Sio - S5=80+25d, $5-So=8O+5Od, Qo-Si5=80+75d, 故 Qo=2O=32O+15Od ,解之得 d=- 2又 So=Ss+So- S5=80+80+25d=160 - 50=110故答案为：11012. （5 分）已知 Iog2a+log2b 1,则 3a+9b 的最小值为 18 .【解答】 解：由 log2

18、a+log2b 1 得 ab2,且 a>0, b>0.又 3a+9b=3a+32b 23?32?=2“ ?+2?因为 a+2b227=272T×2=4,所以 3a+9b234=18.即3a+9b的最小值为18.故答案为18.13. （5分）如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F, E是AB延长线上一点， 且 DF=CF2, AF： FB: BE=4 2： 1.若 CE与圆相切，则 CE的长为7.1【解答】 解：设 AF=4K BF=2K BE=K 由 DF?FC=AF?B,得 2=8k2, 即卩 k=,1 7 AF=2 BF=1 , BE= , AEA,2 21 7 7

19、由切割定理得CR=BE?EA= X-=-,2 2 4214. (5 分)已知直角梯形 ABCD中,AD/ BC, ADC=90 , AD=2, BC=1, P是腰DC上的动点,贝U |?3?勺最小值为 5.【解答】解：如图,以直线DA, DC分别为X , y轴建立平面直角坐标系,则 A (2 , 0) , B (1 , a), C (0 , a) , D (0 , 0)设 P (0 , b) (0 b a) 则？?？(2 , - b), ?(1 , a- b), . ?3?( 5 , 3a- 4b) I?+3?=匕5 + (3?7 4?2 5.故答案为5.yICPBD月X、解答题（共6小题，满

20、分80分）15. （13分）编号为J A1 ,A2 , A16的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：运动员编号A1AA3A4AA6AZA1 3 2282 3183得5 5 15 64分运AAAA12AAA15A动9 1 1111员 0 1346编号1 2 23321313得7 6 5228分(I )将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；区间10, 20)20，30)30, 40人数(U)从得分在区间20, 30)内的运动员中随机抽取2人，(i) 用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；(ii) 求这2人得分之和大于50分的概率.【解答】解：(I)由已知中编号为Ai, A2,，A16

21、的16名篮球运动员在某次训 练比赛中的得分记录表易得：得分在区间10, 20)上的共4人，在区间20, 30)上的共6人，在区间30,40上的共6人，故答案为4, 6, 6(II) (i)得分在区间20, 30)上的共 6 人，编号为 A3, A4, A5, A10, A11, A13,从中随机抽取2人，计为(X, Y),则所有可能的抽取结果有：(A3, A4), (A3, A5), (A3, A10), (A3, Au) , (A3, A13),(A4, A5), (A4, A10) , (A4, A11), (A4, A13) , (A5, A10),(A5 , Au), (A5 , A1

22、3), (A10 , A11), (A10 , A13) , (A11 , A13)共 15种.(ii)从得分在区间20 , 30)内的运动员中随机抽取2人，这2人的得分之和大 于50分的基本事件有：(A, A5), (A, A10) , (A4 , A11), (A, A10), (A10 , A11)共 5 种故这2人得分之和大于50分的概率P=5-=115 316. (13分)在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知B=G 2b=3a. (I )求COSA的值；?( ) cos (2A+-)的值.4【解答】解：(I)由B=C 2?= 3?可得？?= 所以 COSA

23、=+3?-?23?= 3?22?4 ； ； ；=12 ××3?32 2(II)因为?,3?(0 , ?)2 2 所以?<1 _ ?=3故?2/2?i?2>?9?所以?(2?4?=7 2 42 2-9 X 2 -9 X 2 =?2?2?448+7 21817. (13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形， ADC=45,AD=AC=I O为AC中点，Po丄平面ABCD PO=2, M为PD中点.(I )证明：PB/平面ACM;( )证明：AD丄平面PAC(M)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.E【解答】解：(I)证明：连接BD, MO在

24、平行四边形ABCD中，因为0为AC的中点，所以0为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB/ MO因为 PB?平面 ACM, MO?平面 ACM所以PB/平面ACM(II)证明：因为 ADC=45, 且 AD=AC=I 所以 DAC=90, 即卩 AD丄 AC又PO丄平面 ABCD AD?平面ABCD 所以PO丄AD, AC PO=Q AD丄平面PAC(III)解：取DO中点N,连接MN , AN1因为M为PD的中点，所以MN / PO,且MN=2PO=1,由PO丄平面ABCD得MN丄平面ABCD所以 MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.15在 RtA DAO 中,? 1 , ?S 2，所以

25、? "2,1 5i. ?S ?= I ?=?= 12 42 '在 RtAANM 中,?/ ?= 1=45 ?v5即直线AM与平面ABCD所成的正切值为4 y55? ?乡18. (13分)设椭圆 诲+呑=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 FI ,冋.点P (a, b)满足 | PF =I F1F2 .(I )求椭圆的离心率e；2( )设直线P冃与椭圆相交于A, B两点，若直线PR与圆(x+1) 2+(?7 3) =165相交于M , N两点，且IMNl Al ABl ,求椭圆的方程.8【解答】解：(I)设 Fi (- c, 0), F2 (c, 0) (c>

26、; 0).由题得 PR=FF2 ,即(?- ?) + ?=2c,整理得 2(?2+?-仁0,得？=-(舍)，? ?1或?=-,?21 所以e=-.2(U)由(I )知a=2c, b=v3c,可得椭圆方程为3x2+4y2=12c2,直线方程P冃为 y=3 (X- C).3? + 4? = 12?A, B的坐标满足方程组；?？'2?，?= v3(?2 ?)8?5 二33?5 -消y并整理得5x2- 8xc=0,解得x=0, x=5 ?得方程组的解为?= 0需？ ?"5o?不妨设 A (-c, 3c), B (0,- 3c).55所以 I ABI =()2 + (33?H 昉?)=

27、寮，于是 I MN =5 AB =2c.圆心(-1, )到直线PR的距离d= 2 因为 d2+(l?) =42,所以 3 (2+c) 2+c2=16,整理得? ?所以椭圆方程为一+?=1.16 12I- 3- 3-霸?|26人亠C=-(舍)或 c=2.719. (14分)已知函数 f (x) =4x3+3tx2-6t2x+t - 1, x R,其中 t R(I )当t=1时，求曲线y=f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(U)当t 0时，求f (x)的单调区间；(M)证明：对任意的t ( 0, +), f (x)在区间(0, 1)内均存在零点.【解答】 解：(I)当 t=1 时，f

28、(x) =4x3+3x2- 6x, f (0) =0f (x) =12x2+6x- 6, f (0) =-6,所以曲线 y=f (x)在点(0, f (0)处的切线 方程为y=- 6x.?XA2V t 0,以下分两种情况讨论：?若t < 0 ,贝U <-t , f ( X)的单调增区间是(- ,2 ?的单调减区间是(-，-t)2?若t>0,则2>-1 , f ()的单调增区间是(- ,(1)(X)(2)(X)?的单调减区间是(-t,2)?,(t ,?t)， (2,+)；+)；(Il)解：f (x) =12x2+6tx- 6t2 , f (0) =0,解得 x= t 或第

29、25页共19页内单调递减,?在(2,?(III)证明：由(II)可知,当t>0时,f (X)在(0 , 2)+)内单调递增,以下分两种情况讨论：?(1)当2 1,即t 2时，f (x)在(0 , 1)内单调递减.f (0) =t- 1>0 , f (1) =-6t2+4t+3- 13<0所以对于任意t 2 , +), f (x)在区间(0 , 1)内均存在零点.? ? ?(2)当0 < 2 < 1,即0< t < 2时，f (x)在(0 , 2)内单调递减，在(2，1)内 单调递增?77若 t ( 0 , 1 , f (2) =- 4?+t - 1 - 4?<0 ,f (1) =-6t2+4t+3- 2t+3>0?所以f (x)在(三1)内存在零点.221AL 若两?7-47一4?3?+1< 0,?f (0) =t - 1>0f (x)在(0, 2)内存在零点.所以，对任意t ( 0, 2), f (x)在区间(0, 1)内均存在零点.综上，对于任意t ( 0, +), f (x)在区间(0, 1)内均存在零点.3+(-1) ?-