《矩阵代数教学》ppt课件

1、第一章 矩阵代数v1.1 定义v1.2 矩阵的运算v1.3 行列式v1.4 矩阵的逆v1.5 矩阵的秩v1.6 特征值、特征向量和矩阵的迹v1.7 正定矩阵和非负定矩阵v1.8 特征值的极值问题1.1 定义111212122212qqpppqaaaaaaaaaApq矩阵：12paaaap维列向量：q维行向量： a=(a1,a2,aq)向量a的长度：22212paaaaa a单位向量：1av假设A的一切元素全为零，那么称A为零矩阵，记作A=0pq或A=0。v假设p=q，那么称A为p阶方阵，a11,a22, ,app称为它的对角线元素，其他元素aij(ij)称为非对角线元素。v假设方阵A的对角线下

2、方的元素全为零，那么称A为上三角矩阵。显然，aij=0,ij。v假设方阵A的对角线上方的元素全为零，那么称A为下三角矩阵。显然，aij=0,i0, i=1,2, ,k。i称为A的奇特值。v AA=U2U，AA=V2VvAAU=U2，AAV=V2vAAui=i2ui，i=1,2, ,kvAAvi=i2vi，i=1,2, ,k1kiiiiAUVuv二、矩阵的迹v设A为p阶方阵，那么A的迹定义为vtr(A)=a11+a22+ +appv方阵的迹具有下述根本性质：v(1)tr(AB)=tr(BA)。特别地，tr(ab)=ba。v(2)tr(A)=tr(A)。v(3)tr(A+B)=tr(A)+tr(B

3、)。v(4) 。11trtrkkiiiiAA(5)设A=(aij)为pq矩阵，那么(6)设1,2, ,p为方阵A的特征值，那么tr(A)=1+2+ +p 证明|IA|=(1)(2) (p) 比较等式两边p1项的系数即得。(7)假设A为投影矩阵，那么tr(A)=rank(A)211trtrpqijijaA AAA1.7 正定矩阵和非负定矩阵v设A是p阶对称矩阵，x是一p维向量，那么xAx称为A的二次型。假设对一切x0，有xAx0，那么称A为正定矩阵，记作A0；假设对一切x，有xAx0，那么称A为非负定矩阵，记作A0。对非负定矩阵A和B，AB表示AB0；AB表示AB0。根本性质v(1)设A=A，那

4、么A0(或0) i 0(或0)，i=1,2, ,p。v(2)设A0，那么A的秩等于A的正特征值个数。v(3)假设A0，那么A10。v(4)设A0，那么A0，当且仅当|A|0。v(5)假设A0(或0)，那么|A|0(或0)。v(6)BB0，对一切矩阵B成立。v(7)假设A0(或0)，那么存在A1/2 0 (或0)，使得A=A1/2A1/2，A1/2称为A的平方根矩阵。v(8)设A0是p阶秩为r的矩阵，那么存在一个秩为r(即列满秩)的pr矩阵B，使得A=BB。1.8 特征值的极值问题v(1)柯西-许瓦兹 (CauchySchwarz) 不等式 设x和y是两个p维向量，那么v(xy)2(xx)(yy

5、)v等号成立当且仅当y=cx或x=cy，这里c为一常数。v(2)推行的柯西-许瓦兹不等式 设B0，那么v(xy)2(xBx)(yB1y)v等号成立当且仅当x=cB1y或y=cBx，这里c为一常数。v(3)设A是p阶对称矩阵，其特征值依次是12 p，相应的一组正交特征向量是t1,t2, ,tp，那么v(i)v 当x= t1时到达v当x= tp时到达v(ii)v 当x= ti时到达, i=2,3, ,p11max( max)xxx Axx Axx x01min( min)pxxx Axx Axx x0001,11,11max(max)kkikikix tx txxx Axx Axx x0v(4)设A是p阶对称矩阵，B是p阶正定矩阵，12 p是B1A的p个特征值，相应的一组特征向量是t1,t2, ,tp，满足 ，那么v(i)v当x= t1时到达v当x= tp时到达v(ii)v当x=