第九章曲线积分与曲面积分3

1、1第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分green公式的实质公式的实质之间的联系，即在平面闭区域之间的联系，即在平面闭区域d沟通了沿沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分闭曲线的第二类曲线积分与与二重积分二重积分第三节第三节 green公式及其应用公式及其应用 上的二重积分可以通过闭区域上的二重积分可以通过闭区域d的边界的边界曲线曲线l上的第二类曲线积分来表达。上的第二类曲线积分来表达。2第三节第三节 green公式及其应用公式及其应用 小结小结 思考题思考题 作业作业green(格林格林)公式公式平面曲线积分与路径无关的平面曲线积分与路径无关的条件条件二元函数的全微分求积二元函数的全微分

2、求积格林格林 green.g. (17931841) 英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家第九章第九章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分3dd1. 区域连通性的分类区域连通性的分类 设设d为平面区域为平面区域, ,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、一、greengreen公式公式否则称为否则称为则称则称d为平面为平面复连通区域复连通区域. .成的部分都属于成的部分都属于d,如果如果d内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域, ,greengreen公式及其应用公式及其应用4greengreen公式及其应用公式及其应用,dd的边界曲线对平面区域规定它的规定它的正向正

3、向如下：如下：正向边界曲线正向边界曲线:区域区域d的带有正向的边界曲线，称为的带有正向的边界曲线，称为d的的正向边正向边界曲线，界曲线， 记为记为d当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时, ,区域区域d总在他的总在他的左边左边. .xyodldllxyo5格林定理格林定理( (定理定理9-1)9-1)设设d是是xoy面上的面上的有界有界闭闭ddyqxpyxypxqdddd)()1(),(),(yxqyxp及及函函数数在在d上具有上具有 一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有则有2. greengreen公式公式公式公式(1)称称greengreen公式公式. .greengreen公式及其

4、应用公式及其应用区域，区域， 其边界曲线其边界曲线d由有限条光滑或分段由有限条光滑或分段光滑的曲线所组成，光滑的曲线所组成，6),()(),(21bxaxyxyxd ),()(),(21dycyxyyxd 1.先对单连通区域证明先对单连通区域证明:证明证明(1)若区域若区域d既是既是型型 x又是又是型型 y即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和l至多交于两点至多交于两点.xyoabdcd)(1xy )(2xy abce)(2yx )(1yx greengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(7d)(2yx )(1yx dyxxqdd dcyyyqd),(2

5、cbeyyxqd),(同理可证同理可证ddxyxpyxypd),(dd dcyd dcyyyqd),(1 eacyyxqd),( dcyyyyxqd),()()(21 xxqyyd)()(21 xyodcabcegreengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(而而ddyyxq),( dcyyyqd),(2 cdyyyqd),(1所以所以 dyxxqddddyyxq),(ddyqxpyxypxqdddd)(8dl(2) 再对一般区域证明再对一般区域证明: :1l1d2d3d dyxypxqdd)(积分区域的可加性积分区域的可加性 若区域若区域d既不是既不是如图，如

6、图，可将可将d分成三个既是分成三个既是型型 x又是又是型型 y的区域的区域,1d yxypxqdd)(2l3l321ddd ,2d.3d又不是又不是greengreen公式及其应用公式及其应用型型 x型型 y的区域，的区域，可以可以通过加辅助线将通过加辅助线将d划分成若划分成若干个既是干个既是型型 x又是又是型型 y的区域。的区域。例如，例如，9 321ddlllyqxp dyxypxqdd)( 321dd)(dddyxypxq yxypxqdd)( yxypxqdd)( yqxpdd yqxpddddyqxpyxypxqdddd)( yxypxqdd)(1d2d3d yqxpdd1ddl1l

7、2l3l1d2d3dgreengreen公式及其应用公式及其应用abc2d3d1dacl 12dbal 23dcbl 3dyqxpdd101l2l3l(3) 对复连通区域证明对复连通区域证明: :由由(2)知知 dyxypxqdd)( 3l)0, 0( ceecabba 若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段,ab.ce则则d的边界曲线由的边界曲线由,ab,2l,ba,afc,ce,3leccga及及构成构成. 所围成所围成. . ab 2l ba afc ce)dd(yqxp ec cga)dd(yqxp 2l( 3l 1l)对复连通区域对复连通区域d,格林公式格林

8、公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域d的的全部边界全部边界域域d来说都是正向来说都是正向.gfdceabgreengreen公式及其应用公式及其应用dyqxpdd11 便于记忆形式便于记忆形式: ldyqxpyxqpyxddddgreen公式的实质公式的实质之间的联系之间的联系.沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与沟通了沿闭曲线的第二类曲线积分与二重积分二重积分ddyqxpyxypxqdddd)(greengreen公式及其应用公式及其应用12dxyyxdd(1) 计算平面面积计算平面面积3. 简单应用简单应用green公式公式dxyyxadd

9、21y x得得 dyxdd2闭区域闭区域d的的面积面积greengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(13oxy 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得tttabad)sin(cos212202 ab d 20 ,sin,cos ttbytax所围成的面积所围成的面积. lxyyxadd21greengreen公式及其应用公式及其应用142.1(2) 简化曲线积分简化曲线积分例例 lyyyyxexyxei,d)2(d3计算计算其中其中l为圆周为圆周xyx222 解解,yep yxexyqy23 ,yeyp yeyxq 33yypxq 由由格林公式格林公式有有 i

10、对称性对称性的的正向正向.oxy yxyddd30greengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(15对对平面闭曲线平面闭曲线上的上的第二类第二类曲线积分曲线积分,ypxq 当当比较简单时比较简单时, ,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算. .greengreen公式及其应用公式及其应用16例例 计算计算 ,d)cos(d)sin(ymyexmyyexaox .22axyx 分析分析但由但由myeqx cos xq yp可知可知 ypxq非常简单非常简单.)0 ,(aa)0 , 0(om,cos yexmyex cos,

11、sinmyyepx 其中其中ao是从点是从点的上半圆周的上半圆周到点到点此积分路径此积分路径ao不是闭曲线不是闭曲线! !oxygreengreen公式及其应用公式及其应用)0 ,(aa17oxy为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 l不闭合不闭合+边边l,使使l+ l闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 dyxmdd ym

12、yexmyyexoaaoxd)cos(d)sin( 281am 解解.oaaxy 0, 0oa的方程为的方程为所以所以, i.812am 0812am ao oa oamypxq greengreen公式及其应用公式及其应用)0 ,(aa ax0d0而而0000ymyexmyyexoaxd)cos(d)sin(180(3) 简化二重积分简化二重积分则则 ypxq解解 令令, 0 p2yxeq 例例为顶点的三角形闭区域为顶点的三角形闭区域. dyyxe,dd2计算计算是是其中其中d)1 , 0(),1 , 1(),0 , 0(bao以以格林公式格林公式 dyyxedd2 boaboayyxed2

13、 oayyxed2 abyyxed2 boyyxed22ye )1(211 e 10d2xxex0 0 0oxy11abdgreengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(19解解记记l所围成的闭区域为所围成的闭区域为d,其中其中l为一条无重点为一条无重点,分段光滑且分段光滑且不经过原点不经过原点的连续闭曲线的连续闭曲线,l的方向为逆时针方向的方向为逆时针方向.例例 lyxxyyx,dd22计算计算令令,22yxyp 22yxxq 时，时，则当则当022 yx有有 xqyp 22222)(yxxy greengreen公式及其应用公式及其应用20l lyxxyyx

14、22dd即即l为为不包围原点不包围原点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即l为为包围原点包围原点在内的任一在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式时，时，当当d )0 , 0()1(时，时，当当d )0 , 0()2(应用由应用由格林公式格林公式,得得0ypxq 作位于作位于d内圆周内圆周222:ryxl ,1所围成所围成和和由由记记llddlxyod1drlxyogreengreen公式及其应用公式及其应用ddyqxpyxypxqdddd)(21 lyxxyyx22dd 2022222dsincosrrr lyxxyyx22dd 2 注意格林公式的条件注意格林公式的条件yxypxqdd 00

15、lyxxyyx22dd sincosryrx1dypxq lyxxyyx22dd222:ryxl 其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向l1drlxyogreengreen公式及其应用公式及其应用22练习练习计算计算.d)(d)3( lxyxyyxl l是圆周是圆周: :如把如把圆周写成参数方程圆周写成参数方程: :,cos31 x再将线积分化为定积分计算再将线积分化为定积分计算,用用格林公式格林公式易求易求.答案答案: : 18分析分析 sin34 y)20( 则过程较麻烦则过程较麻烦.greengreen公式及其应用公式及其应用9)4() 1(22yx23g 1ddlyqxp 2

16、ddlyqxpb如果在区域如果在区域g内有内有二、平面曲线积分与路径无关的条件二、平面曲线积分与路径无关的条件al1l21. 平面曲线积分与路径无关的定义平面曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.则称曲线积分则称曲线积分 lyqxpdd在在g内内与路径无关与路径无关, ,xyogreengreen公式及其应用公式及其应用24greengreen公式及其应用公式及其应用2. .平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件定理定理9-29-2 设设d是一个平面上的是一个平面上的单连通单连通区域，区域，),(),(yxqyxp在在d内有内有连续的偏导数连续的偏导数，则以下

17、四个命题则以下四个命题等价等价：(1) 对于对于d中任意一条分段光滑的闭曲线中任意一条分段光滑的闭曲线l,总有总有0),(),(dyyxqdxyxpl(2) 曲线积分曲线积分dyyxqdxyxpl),(),(在在d内内与与路径无关路径无关；(3) 表达式表达式dyyxqdxyxp),(),(在在d内是某个内是某个的全微分，的全微分， 即存在即存在),(yxu使得使得.),(),(dyyxqdxyxpdu二元函数二元函数xqyp (4)在在d内恒成立。内恒成立。25greengreen公式及其应用公式及其应用证明：证明： 定理中的四个条件互为定理中的四个条件互为充要条件充要条件。 证明方式：证明

18、方式：(1)(2)(3)(4)(1): )2() 1 (0),(),(dyyxqdxyxpl路径无关路径无关在在d内与内与gabl1l2如图，在如图，在(1)的条件下的条件下dyyxqdxyxpl),(),(0dyyxqdxyxp),(),(dyyxqdxyxp),(),(1l2ldyyxqdxyxpl),(),(2于是，于是，dyyxqdxyxpl),(),(1dyyxqdxyxpl),(),(2dyyxqdxyxpl),(),(26: )3()2(greengreen公式及其应用公式及其应用在在d内与内与路径无关路径无关.),(),(dyyxqdxyxpdu内任意两点，是设dyxbyxa)

19、,(),(00由条件由条件(2)dyyxqdxyxpab),(),(dyyxqdxyxp),(),(),(00yx),(yx),(yxu只需证只需证),(yxpxu).,(yxqyu由偏导定义由偏导定义limxu),(),(yxuyxxux0 x),(yxxudyyxqdxyxp),(),(),(00yx),(yxxdyyxqdxyxpl),(),(27),(yxxudyyxqdxyxp),(),(),(00yx),(yxxgreengreen公式及其应用公式及其应用xyogabm),(00yx),(yx),(yxxdyyxqdxyxp),(),(),(00yx),(yxdyyxqdxyxp)

20、,(),(),(yx),(yxx),(yxudxyxp),(xxx),(yxpxu于是，于是，),(yxxu),(yxudxyxp),(xxxxyxxp),(积分中值定理积分中值定理0limxxu),(yxxp),(yxpp连续连续同理可证同理可证).,(yxqyu.),(),(dyyxqdxyxpdu所以所以,28greengreen公式及其应用公式及其应用(3)(4):存在存在),(yxu使得使得.),(),(dyyxqdxyxpdu由由(3)知，知，),(yxpxu).,(yxqyu所以，所以，2,puyx y 2,quxy x 由于由于,pqyx连续，故连续，故22,uux yy x

21、xqyp 从而从而xqyp 290),(),(dyyxqdxyxplgreengreen公式及其应用公式及其应用(4)(1):xqyp 对对g内任意一条闭曲线内任意一条闭曲线l, 由于由于g是是单连通的，单连通的， 所以所以l的内部的内部必全部包含在必全部包含在g内，内，从而在从而在xqyp 由由green公式公式qdypdxdxdyypxq0即证。即证。内恒有内恒有l30greengreen公式及其应用公式及其应用定理定理9-2的简单应用：的简单应用：(1)简化曲线积分简化曲线积分例例 计算曲线积分计算曲线积分,)()21 (22dyyxdxyxyl其中其中l是是) 1 , 1 ()0 ,

22、0(222到上从yyx的一段的一段有向弧有向弧.xyo) 1 , 1 (b解解,21),(2yxyyxp,),(2yxyxqyp)(2yxxq由定理由定理9-2, 曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.l31曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.greengreen公式及其应用公式及其应用xyo)0 , 1 (a) 1 , 1 (bl所以所以可以用有向折线可以用有向折线aboal1代替有向弧代替有向弧l. 如图如图. 于是于是,)()21 (22dyyxdxyxyldyyxdxyxy22)()21 (dyyxdxyxy22)()21 (oaab10:, 0:xyoa10:, 1:yxab10

23、xdx0000102)1 (dyy34,)()21 (22dyyxdxyxyl) 1 , 1 ()0 , 0(222到上从yyx:l32xyo 解解1523 原式原式=yyxxxyxd)(d)2(422 102dxxyy d )1(104 xyxxxq2)(42 xxyxyyp2)2(2 原积分与路径无关原积分与路径无关.例例 lyyxxxyx.d)(d)2(422计算计算为为其中其中l.2sin)1 , 1()0 , 0(xybo 的曲线弧的曲线弧到点到点由点由点xqyp )0 , 0()1 , 1()1 , 1(b )0 , 1(greengreen公式及其应用公式及其应用33考虑表达式考

24、虑表达式如果存在一个函数如果存在一个函数yyxqxyxpd),(d),( ),(yxu使得使得 ),(dyxu则称则称yyxqxyxpd),(d),( 并将并将的一个的一个称为称为yyxqxyxpyxuud),(d),(),( yyxqxyxpd),(d),( 全微分式全微分式, ,为一为一原函数原函数. .greengreen公式及其应用公式及其应用(2) 求求yyxqxyxpd),(d),( 的原函数的原函数定理定理9-2的简单应用：的简单应用：34 由由例例,ddd2xxyyxxy .ddd2yyxxyyx 可知可知:,dd2xxyyx 2ddyyxxy 都是都是分别是上面的分别是上面的

25、,xy,xyyxyxxyxydd)(d ,ddyxxy 原函数原函数. .全微分式全微分式. .greengreen公式及其应用公式及其应用35 下面说明一般怎样下面说明一般怎样 判断全微分式判断全微分式求原函数求原函数xqyp 由定理由定理9-2，yyxqxyxpd),(d),( 是一个是一个全微分式全微分式, ,即即 ),(dyxuyyxqxyxpd),(d),( (1) 判断全微分式判断全微分式36xqyp 若若),(),(00d),(d),(yxyxyyxqxyxpxyxpxxd),(00),(0yxc),(yxbyyxqyyd),(00d(x0 , y)yyxqyyd),(0 xyx

26、pxxd),(0或或则则oxy),(00yxa greengreen公式及其应用公式及其应用(2) 求原函数求原函数),(yxu),(yxu),(),(00d),(d),(yxyxyyxqxyxpacbadb37例例问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解在全平面成立在全平面成立.xqeypy 所以上式是所以上式是全微分式全微分式. 222yxexy 因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域，全平面为单连通域，yyxexxeyxuyyxyd)2(d )(),(),()0 , 0( yyxe

27、yyd )2(0 xxexd )(00 xyo法一法一 )0 ,(x(x,y)greengreen公式及其应用公式及其应用38这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出: 222dyxxey222),(yxexyxuy yyxexxeyyd)2(d)( )dd(yxexeyy )(dyxe )d2d(yyxx 222dyx),(yxu法二法二greengreen公式及其应用公式及其应用39因为函数因为函数u满足满足pxexuy 故故yy2)( 从而从而所以所以,cyxxeyxuy 222),(问问 是否为全微分式是否为全微分式?yyxexxeyyd)2(d)( 用曲线积分求其

28、一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是, xxeuyd )(22xxey )(y 由此得由此得yxey2 y的待定函数的待定函数法三法三greengreen公式及其应用公式及其应用)(yxeyyucyyyy2d2)(40解解,2)(2xyxyyyp )()(xyxyxxq ,),(2xyyxp )(),(xyyxq xqyp 积分与路径无关积分与路径无关设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyld)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算例例即即格林公式及其应用格林公式及其应用xyxy2)

29、( 41xyo 10d0 x21 (1,0) 10dyyxyxy2)( 由由cxx 2)( 0 c知知2)(xx )1 , 1( 法一法一设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyld)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy , 0)0( 由由格林公式及其应用格林公式及其应用 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy42xyo法二法二)1 , 1( )1 , 1()0,0(2d)(dyxyxxy )1 , 0( 10d0 yy 102d1xx0

30、 1022x 21 格林公式及其应用格林公式及其应用设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,yxyxxyld)(d2 具有连续的导数具有连续的导数, 其中其中, 0)0( 且且 )1 , 1()0,0(2.d)(dyxyxxy 计算计算 )1 , 1()0,0(22ddyyxxxy43greengreen公式公式 ldyqxpyxypxqdddd)(四、小结四、小结单单( (复复) )连通区域的概念连通区域的概念 greengreen公式的三个应用公式的三个应用green公式的实质公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用

31、条件greengreen公式及其应用公式及其应用44lyqxpd与路径无关内在dd)2(cdcyqxp闭曲线, 0dd) 1 (yqxpuyxudddd),() 3(使内存在在.,)4(xqypd 内内在在 与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题 条件条件在在单连通单连通开区域开区域d上上),(),(yxqyxp具有具有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, ,则以下则以下四个命题四个命题成立成立. .greengreen公式及其应用公式及其应用45xyo思考题思考题.)(dd)0, 1()1,0(2 yxxyyxi计算曲线积分计算曲线积分为为其中其中l.)0 , 1()1, 0(的直线段的直线段至至自积分路径自积分路径ba 是非题是非题解解 因为因为xqyxxyyp 422)(故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.)1, 0( a )0 , 1(b aoyxxyyxi2)(dd obyxxyy