因式分解知识点归纳

1、因式分解知识点回顾1、 因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解因式分解和整式乘法互为逆运算2、常用的因式分解方法：(1)提取公因式法:ma mb m m(a b c)(2)运用公式法：平方差公式：a2 -b2 = (a b)(a -b)；完全平方公式：a2二2ab b2 = （a二b）2(3)十字相乘法:2x (a - b)x ab = (x a)(x b)因式分解的一般步骤：（1） 如果多项式的各项有公因式 ，那么先提公因式；（2） 提出公因式或无公因式可提 ，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3） 对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解 ，不行的再用求根公式法（

2、4）最后考虑用分组分解法5、 同底数幕的乘法法则：amJan =am" （ m, n都是正整数）同底数幕相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。如：（a b）2L（a b）3 = （a b）56、幕的乘方法则：（am）n =amn （ m,n都是正整数）幕的乘方，底数不变，指数相乘。女口 ：（-35）2 =31°幕的乘方法则可以逆用：即amn = （am）n =（an）m如: 46 =（42）3 =（43）27、积的乘方法则：（ab）n =anbn （ n是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积8、同底数幕的除法法则如：(-2x3y2z)5=(-2)5 (x3

3、)5 (y2)5 z5 =-32x15y10z5am an = am(a 0, m, n都是正整数，且 m - n)同底数幕相除，底数不变，指数相减。女口：（ab）4 （ab） = （ab）3 = a'b'9、零指数和负指数；a0 =1，即任何不等于零的数的零次方等于1。1a “二p （ a = 0, p是正整数），a即一个不等于零的数的-p次方等于这个数的 p次方的倒数。如:10、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 注意: 积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。

4、相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。 只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。 单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。如：-2x2 y3z *3xy =11、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加即 m（a b c）二 ma mb mc（m, a,b, c都是单项式） 积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同 运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。如：2x(2x _3y) _3y(x y)12、多项式与多项式相乘的法则

5、；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加(3a2b)(a -3b)如：(x +5)(x -6)三、知识点分析：1.同底数幕、幕的运算：am an=a m+n (m, n都是正整数).(am)n=amn(m, n都是正整数).例题 1若 2a =64，则 a=;若 27 3n = ( -3)8 ,则 n=例题 2.若 52x1 =125 ,求(x - 2) 2009 x 的值。例题3.计算匕2y尹(2y - x f练习1. 若 a2n =3 ,则 a6n=.2. 设 4x=8 y-1 且 9y=27 x-1，则 x-y 等于。2. 积的乘方(ab)n=a

6、nbn(n为正整数).积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幕相乘.例题 1.计算:In -m 3 了 Nm - n )(n - m )p3. 乘法公式平方差公式： a b ab = a2b2完全平方和公式：(a+b f =a2+2ab+b2完全平方差公式：(a b f =a? 2ab +b4、已知关于x的二次三项式 x mx n有一个因式(x 5)，且m+n=17 ，试求m , n的值例题1.利用平方差公式计算：2009X 2007- 20082例题2.利用平方差公式计算：2 2007.2007 -20020063. (a 2b + 3c d)(a+ 2b 3c d)考点一、因式

7、分解的概念因式分解的概念：把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解和整式乘法互为逆运算1、 下列从左到右是因式分解的是()A. x(a-b)=ax-bxB. x2-1+y 2=(x-1)(x+1)+y 2C. x2-1=(x+1)(x-1)D. ax+bx+c=x(a+b)+c2 2 22、若4a +kab+9b可以因式分解为(2a3b)，则k的值为23、 已知a为正整数，试判断a - a是奇数还是偶数？考点二提取公因式法提取公因式法 ： ma mb me = m(a b c)公因式：一个多项式每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式找公因式的方法：1、系数为各

8、系数的最大公约数2、字母是相同字母3、字母的次数-相同字母的最低次数习题3 2 21、 将多项式20a b -12a be分解因式，应提取的公因式是 ()2 2A、abB、4a b C、4abD、4a be2、已知(19x-31)(13x T7) -(13x T7)(11x -23)可因式分解为(ax b)(8x c)，其中 a， b， c 均为整数，则a+b+e等于()A、-12B、-32C、38D、723、分解因式(1) 6a(a b)-4b(a b)(2) 3a(xy)6b( y-x)n n _2 -x x2011 2010(4)(-3)(-3)4、先分解因式，在计算求值(1) (2x

9、1)2(3x 2) -(2x -1)(3x 2)2 -x(1 -2x)(3x2) 其中 x=1.52 2(2) (a-2)(a a 1)-(a -1)(2-a) 其中 a=184 2 25、已知多项式x - 2012x - 2011x2012有一个因式为x ax 1 ,另一个因式为2x bx 2012 ,求 a+b 的值22536、 若ab *1=0 ,用因式分解法求 -ab(a b -ab -b)的值7、已知 a，b，c满足 ab a b 二 be b c 二 ca c a = 3，求(a 1)(b 1)(c 1)的值。(a，b，c都是正整数)考点三、用乘法公式分解因式平方差公式 a2-b2

10、 = (a b)(a-b)运用平方差公式分解的多项式是二次项，这两项必须是平方式，且这两项的符号相反习题1、 下列各式中，能用平方差公式分解因式的是()A 2, ,2 22, 2, 2 2,2A、x 4y B、x -2y 1 C、-x4yD、-x -4y2、分解下列因式2 2 2 2(1) 3x -12(2)(x 2)(x 4) x -4(3)(x y) -(x- y)3 2 2 2 2 2 2(4)x -xy(5)(a-b) -1(6)9(a - b) -30(a -b ) 25(a b)009 2011(7)2010 -13、若n为正整数，则(2n1) -(2n-1) 一定能被8整除完全平

11、方式a2二2ab b2 =(a二b)2运用完全平方公式分解的多项式是三项式，且符合首平方，尾平方，首尾两倍中间放的特点，其中首尾两项的符号必须相同，中间项的符号正负均可。习题22222221、 在多项式 x 2xy -y -x2xy -y x - xy+y 4x 1+4x中，能用完全平方公式分解因式的有()A、B、 C、 D、2、下列因式分解中，正确的有()3 2 2 2 2 4a-a b a(4-a b ) x y-2xy xy = xy(x -2)-a ab-ac =-a(a-b-c) 2 2 2 2 2 29abc-6a b =3abc(3-2a) x y xy xy(x y)333A、

12、0个B、1个C、2个 D、5个23、如果x 2( -3)x16是一个完全平方式，那么m应为()A、-5B、3C、7D、7 或-14、分解因式2232(1) mx -4mx 2m 2a -4a 2 - X 2x - X2 2 2(4)(2x 3) -(x-3)( 5)8x y-8xy 2y22224oo(6) (x -2xy) +2y (x -2xy)+y(7) 4x2 12xy+9y 2 4x+6y-3115、已知 a b = 2 , ab = 2，求 a3b a2b2ab3222 26、证明代数式x y -10x 8y 45的值总是正数7、已知a, b , c分别是 ABC的三边长，试比较(

13、a2，b2 -c2)2与4a2b2的大小考点四、十字相乘法(1)二次项系数为1的二次三项式X2 px q 中如果能把常数项q分解成两个因式a、b的积，并且a 'b等于一次项系数p的值，那么它 就可以把二次三项式x2px q分解成2 2x px q=x a bx ab=x ax b例题讲解1、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X3=(-2) X(-3)=1 X6=(-1) X(-6),从中可以发现只有2 X3的分解适合，即2+3=51 - 2解：x2 5x 6= x2(23)x2 313=(x 2)(x - 3)1 X2+1 X3=5用

14、此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例题讲解2、分解因式：x2 -7x 6解：原式=x2 (-1) (-6)x (-1)(-6)1 _-1=(x T)(x - 6)1-6(-1 ) + (-6) = -7练习分解因式(1) x214x - 24 a2 -15a36(3) x2 4x - 5(5) y2 _2y _ 15 x2 -10x - 24ax2 bx ca1c1a? C22、二次项系数不为1的二次三项式条件:(1) a = a1a2(2) c = c1c2(3) b PC2 a2C|a1c2 a2c1 分解结果:ax2 bx c= (

15、a1x c1)(a2x c2)例题讲解1、分解因式：3x2 -11x10分析：1>-23-5(-6 ) + (-5 ) = -11解：3x2 -11x 10= (x -2)(3x -5)分解因式：(1) 5x2 76( 2) 3x2 - 7x 2(3) 10x? 17x +3(4)2-6y +11y+103、二次项系数为1的多项式例题讲解、分解因式：a2 -8ab -128b2分析：将b看成常数，把原多项式看成关于 a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 X8b1-16b8b+(-16b)=-8b2 2 2解: a 8ab128b=a +8b+ (16b)a + 8b 汉(一16b)

16、 = (a+8b)(a 16b)ii222222分解因式(1) x 3xy+2y(2) m -6m n+8n(3) a ab 6b4、二次项系数不为1的多项式例题讲解 2x2 -7xy +6y22 2x y - 3xy + 21 X；-2y把xy看作一个整体1K -12-3y1 -2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解:原式=(x-2y)(2x-3y)解：原式=(xy _1)(xy_2)分解因式：（1）15x2 +7xy 4y2(2) a2x2 _6ax + 8考点五、因式分解的应用1、分解下列因式2(1) 3x -332.(2) x y _4x32(3) x 6x -

17、27x2 2(4) a b 2b12、计算下列各题2(1) (4a -4a 1)"(2a -1)3、解方程2 2(1) 16(x 1) =25(x-2)(2) (a2 b2-c2-2ab) - (a-b-c)2(2) (2x 3) =(2x 3)4、如果实数a式b，且10a+b = 心,那么a+b的值等于10b+a b+12 2 2 2 2 2 2 2 21 -23 -45 -62009 -20102011 -20125、 .1 23 45 62009 2010201120126、若多项式x2 ax -12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，试确定符合条件的整数a的值（写出3个）7、先变形再求值14334（1）已知 2x -y ： ，xy =4，求2x y -x y 的值16(2)已知 3x2 -8x 2 =0，求-12x2 32x 的值&