高二数学不等式的证明题及解答

1、优秀学习资料欢迎下载不等式的证明训练题及解答一、选择题(1)若 l ogab 为整数 , 且 l oga1 >l ogab l ogba2, 那么下列四个结论1 > b >a2 l ogab+l ogba=0bb 0<a<b<1 ab-1=0 中正确的个数是（）A 1B 2C3D4(2)设 x1和 x2 是方程 x2+px+4=0 的两个不相等的实数根, 则（）A | x1|>2且| x2|>2B | x1+x2|>4 C | x1+x2|<4D| x1|=4 且| x2|=1(3)若 x, yR+, 且 xy, 则下列四个数中最小的

2、一个是（）A1(1 1) B1C1D1xy2 x yx y2( x2y 2 )(4)若 x>0, y>0, 且xy ax y 成立 , 则 a 的最小值是（）A2B2C2D222(5)已知 a, bR+, 则下列各式中成立的是（）A cos2·a+sin2·b<lg(a+b)Ba cos2·sin2=a+blglgbCcos22acos2 sin2+·lg+sin·lg>lg(+)D·>aa bba bb(6)设 ,R+, 且-1, 则有（）a bab abA a+b2(2+1)B a+b+1 Ca+b(

3、2 +1)2Da+b2(2 +1)二、填空题(7) 已知 x2+y2=1, 则 3x+4y 的最大值是优秀学习资料欢迎下载(8) 设 x= 1 y2 , 则 x+y 的最小值是(9) 若 1 a5, 则 a+ 1 的取值范围是5a(10)A=1+ 111 与 n ( nN) 的大小关系是23n(11)实数 x =x- y, 则 x 的取值范围是.y三、解答证明题(12) 用分析法证明 :3(1+ a2+a4) (1+ a+a2) 2(13) 用分析法证明 : ab+cd a 2c2b2d 2(14) 用分析法证明下列不等式 :(1) 求证 :57115(2)求证 :x1x2x3x4 ( x4)

4、(3) 求证 : a, b, cR+, 求证 : 2( abab ) 3( a bc 3 abc)23(15)若 a, b>0,2 c>a+b, 求证 :(1)c2>ab；（ 2） c-c2ab <a<c+ c2ab(16)已知 x, yR+, 且 x+y>2, 求证 : 1x 与 1y 中至少有一个小于2y x(17) 设 a, b, cR, 证明 : a2+ac+c2+3b( a+b+c) 0(18) 已知221221x +y 2, 求证 :x +xy +y32(19) 设 an=1 22 3n(n1)( nN* ), 求证 : n(n 1)(n 1)

5、2对所有 * )2ann( n N2都成立优秀学习资料欢迎下载(20) 已知关于 x 的实系数二次方程x2+ax+b=0, 有两个实数根 , , 证明 :(1)b且 |b如果 |<2,|<2, 那么2| |<4+|<4(2)如果 2|<4+ b 且 | b|<4,那么 | |<2,|<2不等式的证明训练题参考答案：1A 2B 3D4B5A6A75 8 -1 9 2, 26 10 A n 11 (- ,0) 4,+ 512证明 : 要证 3(1+ a2+a4) (1+ a+a2) 2只需证3 (1+2)2-22)2, 即证 3(1+2+ )(1+2

6、-a) (1+ +2) 2aa (1+aaaa aa a2=( a+ 1 ) 2+3>01+a+a24只需证2- a) 1+a+a2，展开得2 ，即2 成立3(1+ a2-4 a+2a02(1- a)02422故 3(1+ a +a ) (1+ a+a ) 成立13证明 : 当 ab+cd<0 时 , ab+cd<a2c2b2d 2 成立当 ab+cd0 时 , 欲证 ab+cd a 2c2b2d 2只需证 ( ab+cd)2( a 2c2b2d 2)2展开得 a2b2+2abcd+c2d2( a2+c2)( b2+d2)即2222222222222222aa2abcd a只

7、需证 a2d2+b2c2-2 abcd0，即 ( ad- bc) 20因为 ( ad- bc)20 成立 所以当 ab+cd0时 , ab+cd a 2c2b2d 2 成立综合可知: ab+cd a2c 2b2d 2 成立优秀学习资料欢迎下载14证明 :(1)欲证57115只需证 (57)2(115)2展开得 12+235 >16+2 15 , 即 2 35 >4+215只需证 (235 ) 2>(4+215 ) 2，即 4>15 这显然成立故57115 成立(2)欲证x1x2x3x4( x4)只需证x1x4x3x2 ( x4)即证 ( x 1x 4 )2( x 3x

8、2 ) 2 ( x4)展开得 2x-5+2x1x42x52x3x 2即( x 1)( x4)( x 3)( x 2)只需证( x1)( x4) 2<( x3)( x2) 2即证 x2-5x+4<x2-5 x+6，即 4<6 这显然成立故 x 1x 2x 3x 4 ( x4) 成立(3)欲证 2( abab ) 3(abc3 abc )23只需证+ -2ab + +-3 3abca ba b c即证c+2ab 3abc3+，c+2 ab =c+ab + ab 3 3cabab 33 abca, b, cRc+2ab 3 3abc 成立 故原不等式成立15证明 : （ 1）ab(

9、ab ) 2<c2，2ab<c2优秀学习资料欢迎下载（ 2）欲证 c-c2ab <a<c+c2abc2ab< - <c2aba cc2aba2-2 + 2< 2-只需证 -a c，即| -|<，即ac c c ab只需证 a( a+b)<2 aca>0, 只要证 a+b<2c( 已知 ) ，故原不等式成立16证明 :( 反证法 ): 假设 1x 与 1y 均不小于2, 即 1 x 2,1y 2, 1+x2y,1+ y2x 将两式yxyx相加得 : x+y2, 与已知 x+y>2 矛盾 ,故 1x 与 1 y 中至少有一个小

10、于 2yx17证明 : 目标不等式左边整理成关于a 的二次式且令f ( a)= a2+( c+3b) a+c2+3b2+3bc判别式 =(2-4(2+32+3 )=-3(+)2+3 )cbbcb c0cb当 =0 时 , 即 b+c=0, 等号成立 故 a2+( c+3b) a+c2 +3b2+3bc0 成立18证明 : 设 x=kcos , y=ksin ,1 k22x2+xy+y2=k2(cos 2+cossin +sin 2)= k2(1+ 1 sin2 )2sin2 -1,1 k2k2(1+ 1 sin2 ) 3 k2, 故 1 x2+xy+y23222n(n 1)19证明 : n(n1)n2nan n= ,>1+2+3+ + =2122 3n(n1)2(1 2n)n n(n 1)n又an222222n(n2)n22n 1(n1) 2, 故命题对 nN 都成立22220证明 : 依题