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文档简介

1、学习必备欢迎下载高考数学( 2011)复习专题- 不完全归纳法(一)知识归纳:由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论,这种方法人们称为 “不完全归纳法”,用不完全归纳法得出的结论需要经过证明,因此全部过程可以小结为下面程序: 计算命题取特殊值时的结论; 对这些结果进行分析,探索数据的变化规律,并猜想命题的一般结论; 证明所猜想的结论 .(二)学习要点:在中学数学内,“归纳猜想证明” 的推理方法一般只局限于数列的内容,而且与正整数 n 有关,其它内容中很少有要求,解决问题时要注意以下几点,计算特例时, 不仅仅是简单的算数过程, 有时要通过计算过程发现数据的变化规律;猜想必须准确,绝对不能猜错,

2、否则将徒劳无功;如果猜想出来的结论与正整数n 有关,一般用数学归纳法证明.【例 1】已知数列 an 满足关系式 a1a( a 0), an2an 1 ( a 2, n N+),1an 1()用 a 表法 a2, a3,a4;()猜想 an 的表达式(用 a 和 n 表示),并证明你的结论 .解析 ()学习必备欢迎下载2a222a2a324a2a1a4a3a8a, a41a2, a31 a22a1 3a1 a34a;a a111 7a1a13a()(a1a20 a, a121 a,) 猜想 an2n 1 a,1 ( 201)a1 (211)a1 (2n 11)a下面用数学归纳法证明:1°

3、;当 n=1 时, a1a20 a,当 n=1 结论正确;( 2011)a2°假设当 n=k 时结论正确,即 ak2 k1 a,1(2 k11)a当 n=k+1 时2ak2k aa k 1 1 ak1 (2k 1 1)a 2 k 1 a2ka2k a, 当 n=k+1 时结论也正确;=1)a1 2 2 k 1 a a 1 (2k根据 1°与 2°命题对一切 nN* 都正确 .评析 “归纳猜想证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法,对于一些变换技巧比较高的问题,如果能通过这种方法解答成功,则解答过程比较其它方法更容易 .【例 2】已知数列 an 满足: a11,

4、an 12an32n 1 ,计算 a2,a3 ,a4 的值,由此归纳出 an 的公式,并证明你的结论.解析 很容易算出a2=5,a3=16, a4=44,但由此猜想出结论显然是非常困难的,下面作一些探索 .a2=2 a1+3× 2° =2×1+3× 2°,a3=2(2×1+3× 2°) +3× 21=22×1+2×3×21,a4=2(22×1+2×3×21) +3×22=23× 1+3×3×22;猜想 an

5、=2n1+( n 1)× 3×2n 2=2n 2(3n1);用数学归纳法证明: 11°当 n=1 时, a1=2× =1,结论正确;2°假设 n=k 时, ak=2k 2(3k1)正确,当 n=k+1 时, ak 12ak32k 12k 1 (3k1)32k 1 = 2 k 1 (3k2)学习必备欢迎下载2(k 1) 1 3( k1)1, 结论正确;由 1°、 2°知对 nN* 有 an2n 2 (3n1).评析 如果计算出来的数据很难猜出结论时,应考虑整理计算过程,探索数据的变化规律,看看能否猜想成功.【例 3】已知等差数

6、列an 中, a2 =8,前 10 项的和 S10=185,()求数列an 的通项公式 an;()若从数列an 中依次取出第2,4,8, 2n ,项,按原来的顺序排成一个新数列,试求新数列的前n 项和 A n;()设Bn=n( 5+3 an),试比较 A n 和 Bn 的大小,并说明理由 .解析 ()设公差为d,a18 dd353 (1)32;,ann18510a1 45da15n()设新数列为bn , bn a2n32n2A n=3×( 2+22 +23+ +2n)+2n=3× 2n1+2n6;()Bn( 9n11) 9n211 ,A13448,A238222,A33 1

7、6 48,nnA 4=3 × 32+2=98 , A 5=3 × 64+4=196 , A 6=3× 128+6=390 , A 7=3 ×256+8=776,而 B1 =20,B2=58, B3=114,B4=188,B5=280, B6=390,B7=518,1、当 n=1, 2, 3, 4, 5 时, Bn>A n;当 n=6 时, B6=A 6;当 n 7,且 nN* 时,猜想 A n>Bn,用数学归纳法证明:1°当 n=7 时, A 7=766>518=B7,结论正确;2 ° 假 设 当n=k ( k 7

8、) 时 , A k>Bk , 即3 × 2k+1 +2k 6>9k2+11k2k+1 >3k2+3k+2,n=k+1 时, Ak 1 Bk 1 3 2k 22(k 1) 6 9(k 1) 211(k 1)=6×2 k+29k227k24=6×2 k+1( 3k2+3k+2)+6 ×( 3k2+3k+2) 9k2 27k 24学习必备欢迎下载=6×2 k+1( 3k2+3k+2)+9k 29k12>9k29k12=9k( k 1) 12 9× 7×( 7 1) 12>0A k+1>Bk+1,

9、即 n=k+1 时,结论也正确;根据 1°、 2°知当 n 7 且 nN* 时,有 A n>Bn.评析 从上面例子可以看出,归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力,还需要有一定的经验,否则很难作出上述准确的猜想.【例 4】已知数列 an 满足: a1a2 1且an 2 an212, 问是否存在常数 p、anq,使得对一切 nN* 都有 an 2pa n 1qa n , 并说明理由 .解析 a3a2223, a4a322设存在这样的常数 p、q,a1a211,a3pa2qa1p q 3p 4pa3qa23pq 11q, 由 此 猜 想 , 对 n N* , 有a41an

10、24an 1an ,下面用数学归纳法证明这个结论:1°当 n=1 时, a3 34a2a1 ,结论正确;2°假设当 n=k 时结论正确,即 ak 2 4an 1ak ,当 n=k+1 时,ak222ak 2 (4ak 1ak ) 2ak 2 ak2(ak212) 2ak 1 ,ak 3ak 14ak 24ak 24ak 2ak 1ak 1ak 1当 n=k+1 时结论正确,故当nN* 时, an 24an 1an 成立 .评析 例 4 是一类探索题型,由条件直接推出结论是非常困难的,通过归纳猜想证明的方法,难度不大.训练题一、选择题1. 已知数列an的前n 项和Snn2an

11、 (n2) ,而 a11 ,通过计算a2 ,a3 , a4 ,猜想 an()学习必备欢迎下载A 2B22D21)2Cn2n 1(nn( n 1)2 12.已知数列an的 通 项 公 式 an1N*),记2 ( n( n 1)f ( n) (1a1 )(1a2 )(1a3 ) (1an ) ,通过计算 f (1), f (2),f (3), f (4)的值,由此猜想 f (n)()A n 2B n 2C 2n 1D n 12(n 1)4n(n 1)2n(n 1)3数列 an 中, a1=1,Sn 表示前 n 项和,且 Sn,Sn+1, 2S1 成等差数列,通过计算 S1,S2, S3,猜想 Sn

12、=()A 2n 1B2n 1Cn(n 1)D112n 12 n 12n2 n 1且2计算1an 1a,(an 1a) 2(an 1a )1 0,a, a, 然后猜4已知 a =1,nnn23想 an ()A nBn2Cn3D n 3n5 设 0, 已 知 a12 c o ,asn12 an , 则 猜 想 an2()A 2 cosnB 2cosn 1C 2cos2n 1D 2 sinn2226从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶,每步只能跨上1 级或 2 级,走完这 n级台阶共有 f (n) 种走法,则下面的猜想正确的是()A f ( n)f (n1)f ( n2)(n3)B f (n)2 f

13、( n1)( n2)C f (n)2 f (n1)1( n2)D f (n) f (n1) f (n2)(n3)二、填空题:学习必备欢迎下载7已知数列an 中, a11,且 4an 1an an 12an9, 通过计算 a2 ,a3 , a4 , 然后猜想 an8在数列an 中, a11, an 1(n1)an , 通过计算 a2 , a3 , a4 , 然后猜想 an9设数列 an 的前 n 项和为 Sn,已知 Sn=2nan(nN+),通过计算数列的前四项,猜想 an10已知函数 f ( x)2, 记数列 an 的前 n 项和为 Sn,且 a1f (1),当 n 22x时, Sn21 (n

14、25n2), 则通过计算 a1, a2 , a3 , 的值,猜想 an 的通项公f ( an )2式 an三、解答题11是否存在常数a,b,c,使等式222n(n1)21 22 3n(n1)(anbnc)对 nN+都成立,并证明你的结论 .12已知数列an 的各项为正数,其前n 项和为 Sn,又 an 与 Sn 满足关系式:4S14S24SnSn ,试求 an 的通项公式 .a1 2a2 2an 2已知数列的各项为正数,n 为前 n 项和,且11 )anSn(an,归纳13San2出 an 的公式,并证明你的结论.14.已知数列an 是等差数列, a1 1, a32, 设Pn a1 a3a9a

15、k (k 3n 1 ,n N+),Qna2a6a10am ( m4n2, nN+),问 Pn 与 Qn 哪一个大?证明你的学习必备欢迎下载结论 .15已知数列 an : a01, an p | an 1 | 1(n N* ,0 p 1),()归纳出 an 的公式,并证明你的结论;1an 0.()求证:p答案与解析一、 1.B2.A3.D4.B5.B6.A二、 7 6n52n18 n!9 2n 12n 110n+111令 n=1 得 ab c24 , 令 n=2 得 4a2b c44 ,令 n=3 得 9a3bc 70 , 解、得 a=3,b=11,c=10,记原式的左边为 Sn,用数学归纳法证明猜想 Sn n(n1) (3n 211n 10) (证明略)1212计算得 a12, a24, a36, 猜测 an2n ,用数学归纳法证明 (证明略) .13 S1a11 (a11 )a11; 1 a21 (a21 ) a22 1;2a12a2 2 a31 (a31 )a332 ,猜想 annn 1( n N* ).2a3用数学归纳法证明(略).14 ann 2 , P1301 3113n 11 3n2n 1 ,22224

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