高考数学()复习专题不完全归纳法

1、学习必备欢迎下载高考数学（ 2011）复习专题- 不完全归纳法（一）知识归纳：由事物的部分特殊事例猜想出事物的一般结论，这种方法人们称为 “不完全归纳法”，用不完全归纳法得出的结论需要经过证明，因此全部过程可以小结为下面程序： 计算命题取特殊值时的结论； 对这些结果进行分析，探索数据的变化规律，并猜想命题的一般结论； 证明所猜想的结论 .（二）学习要点：在中学数学内，“归纳猜想证明” 的推理方法一般只局限于数列的内容，而且与正整数 n 有关，其它内容中很少有要求，解决问题时要注意以下几点，计算特例时， 不仅仅是简单的算数过程， 有时要通过计算过程发现数据的变化规律；猜想必须准确，绝对不能猜错，

2、否则将徒劳无功；如果猜想出来的结论与正整数n 有关，一般用数学归纳法证明.【例 1】已知数列 an 满足关系式 a1a( a 0), an2an 1 ( a 2, n N+），1an 1（）用 a 表法 a2， a3，a4；（）猜想 an 的表达式（用 a 和 n 表示），并证明你的结论 .解析 （）学习必备欢迎下载2a222a2a324a2a1a4a3a8a, a41a2, a31 a22a1 3a1 a34a;a a111 7a1a13a（）（a1a20 a, a121 a,） 猜想 an2n 1 a,1 ( 201)a1 (211)a1 (2n 11)a下面用数学归纳法证明：1°

3、;当 n=1 时， a1a20 a,当 n=1 结论正确；( 2011)a2°假设当 n=k 时结论正确，即 ak2 k1 a，1(2 k11)a当 n=k+1 时2ak2k aa k 1 1 ak1 (2k 1 1)a 2 k 1 a2ka2k a, 当 n=k+1 时结论也正确；=1)a1 2 2 k 1 a a 1 (2k根据 1°与 2°命题对一切 nN* 都正确 .评析 “归纳猜想证明”是解决数列的某些问题的一种重要方法，对于一些变换技巧比较高的问题，如果能通过这种方法解答成功，则解答过程比较其它方法更容易 .【例 2】已知数列 an 满足： a11,

4、an 12an32n 1 ,计算 a2，a3 ，a4 的值，由此归纳出 an 的公式，并证明你的结论.解析 很容易算出a2=5，a3=16， a4=44，但由此猜想出结论显然是非常困难的，下面作一些探索 .a2=2 a1+3× 2° =2×1+3× 2°，a3=2（2×1+3× 2°） +3× 21=22×1+2×3×21，a4=2（22×1+2×3×21） +3×22=23× 1+3×3×22；猜想 an

5、=2n1+（ n 1）× 3×2n 2=2n 2（3n1）；用数学归纳法证明： 11°当 n=1 时， a1=2× =1，结论正确；2°假设 n=k 时， ak=2k 2（3k1）正确，当 n=k+1 时， ak 12ak32k 12k 1 (3k1)32k 1 = 2 k 1 (3k2)学习必备欢迎下载2(k 1) 1 3( k1)1, 结论正确；由 1°、 2°知对 nN* 有 an2n 2 (3n1).评析 如果计算出来的数据很难猜出结论时，应考虑整理计算过程，探索数据的变化规律，看看能否猜想成功.【例 3】已知等差数

6、列an 中， a2 =8，前 10 项的和 S10=185，（）求数列an 的通项公式 an；（）若从数列an 中依次取出第2，4，8， 2n ，项，按原来的顺序排成一个新数列，试求新数列的前n 项和 A n；（）设Bn=n（ 5+3 an），试比较 A n 和 Bn 的大小，并说明理由 .解析 （）设公差为d，a18 dd353 (1)32;,ann18510a1 45da15n（）设新数列为bn ， bn a2n32n2A n=3×（ 2+22 +23+ +2n）+2n=3× 2n1+2n6；（）Bn( 9n11) 9n211 ,A13448,A238222,A33 1

7、6 48,nnA 4=3 × 32+2=98 ， A 5=3 × 64+4=196 ， A 6=3× 128+6=390 ， A 7=3 ×256+8=776，而 B1 =20，B2=58， B3=114，B4=188，B5=280， B6=390，B7=518，1、当 n=1， 2， 3， 4， 5 时， Bn>A n；当 n=6 时， B6=A 6；当 n 7，且 nN* 时，猜想 A n>Bn，用数学归纳法证明：1°当 n=7 时， A 7=766>518=B7，结论正确；2 ° 假 设 当n=k （ k 7

8、） 时 ， A k>Bk ， 即3 × 2k+1 +2k 6>9k2+11k2k+1 >3k2+3k+2，n=k+1 时， Ak 1 Bk 1 3 2k 22(k 1) 6 9(k 1) 211(k 1)=6×2 k+29k227k24=6×2 k+1（ 3k2+3k+2）+6 ×（ 3k2+3k+2） 9k2 27k 24学习必备欢迎下载=6×2 k+1（ 3k2+3k+2）+9k 29k12>9k29k12=9k（ k 1） 12 9× 7×（ 7 1） 12>0A k+1>Bk+1，

9、即 n=k+1 时，结论也正确；根据 1°、 2°知当 n 7 且 nN* 时，有 A n>Bn.评析 从上面例子可以看出，归纳猜想不仅仅是要有对数据的观察能力，还需要有一定的经验，否则很难作出上述准确的猜想.【例 4】已知数列 an 满足： a1a2 1且an 2 an212, 问是否存在常数 p、anq，使得对一切 nN* 都有 an 2pa n 1qa n , 并说明理由 .解析 a3a2223, a4a322设存在这样的常数 p、q，a1a211,a3pa2qa1p q 3p 4pa3qa23pq 11q, 由 此 猜 想 ， 对 n N* ， 有a41an

10、24an 1an ,下面用数学归纳法证明这个结论：1°当 n=1 时， a3 34a2a1 ，结论正确；2°假设当 n=k 时结论正确，即 ak 2 4an 1ak ,当 n=k+1 时，ak222ak 2 (4ak 1ak ) 2ak 2 ak2(ak212) 2ak 1 ,ak 3ak 14ak 24ak 24ak 2ak 1ak 1ak 1当 n=k+1 时结论正确，故当nN* 时， an 24an 1an 成立 .评析 例 4 是一类探索题型，由条件直接推出结论是非常困难的，通过归纳猜想证明的方法，难度不大.训练题一、选择题1. 已知数列an的前n 项和Snn2an

11、 (n2) ，而 a11 ，通过计算a2 ,a3 , a4 ,猜想 an（）学习必备欢迎下载A 2B22D21)2Cn2n 1(nn( n 1)2 12.已知数列an的 通 项 公 式 an1N*），记2 ( n( n 1)f ( n) (1a1 )(1a2 )(1a3 ) (1an ) ，通过计算 f (1), f (2),f (3), f (4)的值，由此猜想 f (n)（）A n 2B n 2C 2n 1D n 12(n 1)4n(n 1)2n(n 1)3数列 an 中， a1=1，Sn 表示前 n 项和，且 Sn，Sn+1， 2S1 成等差数列，通过计算 S1，S2， S3，猜想 Sn

12、=（）A 2n 1B2n 1Cn(n 1)D112n 12 n 12n2 n 1且2计算1an 1a,(an 1a) 2(an 1a )1 0,a, a, 然后猜4已知 a =1，nnn23想 an （）A nBn2Cn3D n 3n5 设 0, 已 知 a12 c o ,asn12 an , 则 猜 想 an2（）A 2 cosnB 2cosn 1C 2cos2n 1D 2 sinn2226从一楼到二楼的楼梯共有 n 级台阶，每步只能跨上1 级或 2 级，走完这 n级台阶共有 f (n) 种走法，则下面的猜想正确的是（）A f ( n)f (n1)f ( n2)(n3)B f (n)2 f

13、( n1)( n2)C f (n)2 f (n1)1( n2)D f (n) f (n1) f (n2)(n3)二、填空题：学习必备欢迎下载7已知数列an 中， a11,且 4an 1an an 12an9, 通过计算 a2 ,a3 , a4 , 然后猜想 an8在数列an 中， a11, an 1(n1)an , 通过计算 a2 , a3 , a4 , 然后猜想 an9设数列 an 的前 n 项和为 Sn，已知 Sn=2nan（nN+），通过计算数列的前四项，猜想 an10已知函数 f ( x)2, 记数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 a1f (1),当 n 22x时， Sn21 (n

14、25n2), 则通过计算 a1, a2 , a3 , 的值，猜想 an 的通项公f ( an )2式 an三、解答题11是否存在常数a，b，c，使等式222n(n1)21 22 3n(n1)(anbnc)对 nN+都成立，并证明你的结论 .12已知数列an 的各项为正数，其前n 项和为 Sn，又 an 与 Sn 满足关系式：4S14S24SnSn ，试求 an 的通项公式 .a1 2a2 2an 2已知数列的各项为正数，n 为前 n 项和，且11 )anSn(an，归纳13San2出 an 的公式，并证明你的结论.14.已知数列an 是等差数列， a1 1, a32, 设Pn a1 a3a9a

15、k (k 3n 1 ,n N+），Qna2a6a10am ( m4n2, nN+），问 Pn 与 Qn 哪一个大？证明你的学习必备欢迎下载结论 .15已知数列 an ： a01, an p | an 1 | 1(n N* ,0 p 1),（）归纳出 an 的公式，并证明你的结论；1an 0.（）求证：p答案与解析一、 1.B2.A3.D4.B5.B6.A二、 7 6n52n18 n！9 2n 12n 110n+111令 n=1 得 ab c24 ， 令 n=2 得 4a2b c44 ，令 n=3 得 9a3bc 70 ， 解、得 a=3，b=11，c=10，记原式的左边为 Sn，用数学归纳法证明猜想 Sn n(n1) (3n 211n 10) （证明略）1212计算得 a12, a24, a36, 猜测 an2n ，用数学归纳法证明 （证明略） .13 S1a11 (a11 )a11; 1 a21 (a21 ) a22 1;2a12a2 2 a31 (a31 )a332 ，猜想 annn 1( n N* ）.2a3用数学归纳法证明（略）.14 ann 2 , P1301 3113n 11 3n2n 1 ,22224