圆锥曲线综合

1、圆锥曲线综合系统整体框架【解题策略】本质：设而不求，整体替换步骤1 :假设直线方程（斜率K的讨论）和两个交点坐标步骤2:联立直线方程与曲线方程得到一元二次方程步骤3:利用韦达定理找岀根与系数关系步骤4:分解条件，整体替换【题型一】中点问题x2x2x1、已知椭圆y =1的左焦点为F，O为坐标原点.设过点F的直线交椭圆于 A.B两点，并且线段AB的中点在直线X 0上，求2x2 .已知椭圆一-a直线AB的方程.g"(a b 0)过点C.3,0)，且离心率e 6 b23（1 ）求椭圆的方程;（2）若直线y =kx m与该椭圆有两个交点 M , N，当线段MN的中点在直线x【题型二】垂直问题1

2、、直线丨：y二kx 1与双曲线C : 2x2 -y2二1的右支交于不同的两点 A B .（I）求实数k的取值范围;（II）是否存在实数k，使得以线段 AB为直径的圆经过双曲线 C的右焦点F ?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由2.已知圆C的圆心为C（m,O）, m ： 3，半径为 ,5， 圆C与椭圆E :2 2笃 笃=1（a b 0）有一个公共点A（3,1），印F2a b分别是椭圆的左、右焦点.（1）求圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为（4,4），试探究斜率为k的直线PF1与圆C能否相切，若能, 求出椭圆E和直线PF1的方程；若不能，请说明理由.2 2 _ _2、设椭圆 E:务+当=1

3、(a A0,b>0)过 M(2, J2), N(J6,1)两点, a b0为坐标原点，（I ）求椭圆E的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OAOB?若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由【题型三】弦长问题-面积问题2 x1、设椭圆C:右a求椭圆C的离心率;y2T T7=1（a b 0）的左焦点为F过点F的直线与椭圆C相交于AB两点，直线丨的倾斜角为60,心視.15（2）. 如果|AB|=，求椭圆C的方程.42. 已知椭圆x2 y 1的左、右两个顶点分别为A、B 曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲

4、线设点P在第一象(2)设点P、T的横坐标分别为x2，证明：x1x2=1；( 3)设TAB与POB (其中0为坐标原点)的面积分别为0与S,，uur unr且PAgPBw 15，求32 -S22的取值范围.y2x2TTT 片3.直线丨与椭圆召2=1(a b 0)交于 A(M,yJ，Bg, y?)两点，已知m= (axbyi)，n= (ax2,by2)，若 m_ n且a b椭圆的离心率又椭圆经过点申)O为坐标原点.(1)求椭圆的方程;(2) 若直线丨过椭圆的焦点F(0,c) ( c为半焦距)，求直线丨的斜率k的值；(3) 试问：AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由【题型

5、四】向量问题2 2x y1、设F1，F2分别为椭圆2 -1 (a b 0)的左.右焦点，过F2的直线丨与椭圆C相交于A, B两点，直线丨的倾斜角为a b60“，F1到直线丨的距离为2.3. (I)求椭圆C的焦距；(u)如果AF2 = 2f2b ,求椭圆C的方程.2 2x y2、已知椭圆c : 2 =1(a b0)的离心率为a b3，过右焦点f的直线丨与C相交于A. B两点，当丨的斜率为1时，坐标原3点O到丨的距离为一2(I)求a，b的值；(II )2C上是否存在点P,使得当丨绕f转到某一位置时，有 OPOAOB成立？若存在,求岀所有的p的坐标与丨的方程；若不存在，说明理由3、已知以原点O为中心

6、的双曲线的一条准线方程为(I)求该双曲线的方程;(u)点A的坐标为(一J,0)，B是圆x2 +(yJ)2 =1上的点，点M在双曲线右支上，求MA + MB的最小值，并求此时M点的坐标.【题型五】轨迹问题注：轨迹和轨迹方程是有区别的，求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指岀方程所表示的曲线类型 1.待定系数法：明确告诉曲线类型先根据条件设岀所求曲线的方程，再确定其待定系数.21、已知抛物线c： y2=2px(p 0)过点a (1 , -2 ).求抛物线C的方程，并求其准线方程.2 22、 椭圆C :务占=1 (a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，且过点(2

7、，0).求椭圆C的方程.a2b23、椭圆E经过点A 2,3，对称轴为坐标轴，焦点 FF2在x轴上，离(I)求椭圆E的方程；(u)求 F1AF2的角平分线所在直线的方程.2 24.已知椭圆C :务占=1(a b 0)的长轴长是短轴长的、.3a b右焦点.心率e =2倍， F2是它的左,待定系数法为离之和等于4 .设点PPM + PN =6.求点F(x,y)=0 ;关于原点O对称，P是动点，且直线 AP与BP的斜率之x4.代入转移法：动点P(x, y)依赖于另一动点Q(h ,y°)的变化而变化,uuu um(1)若 P C，且 PF1 PF2 =0, | PF1 | | PF2 |=4，

8、求椭圆 C 的方程;(2)在(1)的条件下，过动点 Q作以F2为圆心、以1为半径的圆的切线 QM ( M是切点)，且使QFj = J2|QM ，求动点Q的轨迹方程.2、定义法：间接定义熟知曲线类型先根据条件得岀轨迹的曲线类型，再用1、若点P到直线x = _1的距离比它到点 (2,0)A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线2、在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0, .3 ) . (0, 、3 )的距 的轨迹为C.写岀C的方程.5、如图，M (-2 0)和 N(2,0)是平面上的两点，动点P满足：P的轨迹方程；3. 直接法：直接利用条件建立 x, y之间的关系1、在平面直角坐标系 xOy中，点B与

9、点A (-1,1 )1积等于 .求动点P的轨迹方程；3并且Q(x°,y0)又在某已知曲线上，则可先用x, y的代数式表示x°,y0,再将x0, y°代入已知曲线得要求的轨迹方程.1、动点P是抛物线y =2x2 +1上任一点，定点为 A(0,_1),点M分"pA所成的比为2,则M的轨迹方程为 轨迹3.解2 2(1)设椭圆E的方程为+右=1(a>b>0),a b1 c 1由e=即訂2,得a= 2c,得b2"2-c2二3c2. 椭圆方程可化为y _3?1.13将A(2,3)代入上式，得C2 +孑_ 1,解得c_ 2,2 2二椭圆E的方程为

10、16+右一1.3由(1)知R( 2,0) ,F2(2,0)，二直线AF的方程为y <x + 2),即3x4y+ 6 0,直线AF的方程为x_ 2.由点A在椭圆E上的位置知,直线丨的斜率为正数.设 P(x, y)为丨上任一点，则 |3x-；y + 6| | x2|.若3x 4y + 6 5x 10,得x + 2y 8 0(因其斜率为负，舍去).于是，由 3x 4y + 6_ 5x+ 10，得 2x y 1 0，二直线丨的方程为 2x y 1 0.4. 解：(1)依题意知a 1分 2 2 2 2 2 2PF1 PF0 -PF2, - PF1 +|PF2 =(2c) =4(a -b )=8b

11、-2 分又 Pc，由椭圆定义可知 PF+|PF2| =2a , (Ipfi + PF2 $ =8b2+8 =4a2-5 分由得a2分(2)由(1)QFlQM，即 QF2 =2QM由已知得 c = 2. F1 一2,0、F2 2,02 2=6 b2 =2。所以椭圆C的方程为 +乂' 6 2- QM 是 L F2 的切线- |QM |2 =| QF212 -19 分- QF=2(|QF22 -1 卜11分设Q(x, y)，则(x +2 )2 +y2 =2 (x 2 丫 + y2 112 2 2 2即 x6 y =34 (或 x2 y -12x 2=0) 13 分综上所述，所求动点 Q的轨迹

12、方程为：(x_6)2 y2 =3414分3中点 2. 2 解：(1)依题意：=1 /. a = 3. 1 分a由 e=C 6，得 c =2 . 2分a 3二 b2 = a2 -c2 =1 3分2二所求椭圆方程为 y2 1. 4分3（2）设 M , N 坐标分别为（ , %） , （x2, y2）将y = kx - m代入椭圆方程，整理得:(3k2 1)x2 6km x 3(m2 -1)-0； =36k2m2 -12(3k2 1)(m2-1) 0(*)要令 P(1 ,n)为 M,N 中点，则 x2 =2，二- 6km =23k2 十13k213k代入（* ）得:2 2 2 212分10分36k2

13、 害 - 12(3k2。廿-1 06k2 -1013分 k的取值范围是（-：f)(乎=).6 614分2 2垂直2.解：（1）由已知可设 圆c的方程为（x - m） y = 5（m ： 3） 将点A的坐标代入圆C的方程，得（3-m）2 - 1=5 即（3-m）2 =4，解得 m =1，或 m=5v m : 3 m = 1二圆C的方程为（x _1）2 y2 =5 .6分依题意设直线 PF1的方程为y=k（x - 4）4，即 kx_y 4k 4=0若直线PF1与圆C相切，则k 0 4k +411时，直线PF1与x轴的交点横坐标为21时，直线PF1与x轴的交点横坐标为2-4，- c=4, Fi（4,

14、0）, F2（4,0）由椭圆的定义得: a = 3 . 2，即 a2 =18， b2 = a2-c2 =2直线PF1能与圆C相切，直线PF1的方程为x - 2y 4 = 0，椭圆E的方程为2 X18.14分2111 4k 一 24 k 11 = 0，解得 k ，或 k = 2 236，不合题意，舍去11弦长 2设点 P（Xi,yJ、T（X2,y2）（洛 0，%0，i =1,2），y2 x212 2因为kAP二kAT，所以y1=： y2 ，即一也22 X1 +1X2+1（%十1）（X2+1）2 2 因为点P和点T分别在双曲线和椭圆上，所以 为2 一准 =1，x22 准 =1 .44即 yi2 =

15、4 X12 -1，y22 =4 1 - X22 .224 X1 -14 1 -X2所以一2丁，即（X1+1）（X2+1）X1 +1X2 +1所以 X1X2 二 1 .（3）（3）解：设点 p（xy1）、T（x2, y2） （ x>0，y>0，1,2 ），则卩人=（一1一为，一y,），4 2因为PAPB乞15，所以：i.1一为1 -x1y1215，即x,2yj16因为点P在双曲线上，则xj-九=1，所以42 2 1'4X1 一4 一16，即X1 -4因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1 X1 - 2 因为S | AB | F IS211|OB|y1I，4，则f t1刍三

16、亠，tt-当 1 <t <2 时，f t 0，当 2 :：t 乞 4时，f t : 0 ,所以函数f t在1,2上单调递增，在2,4 上单调递减因为 f 2 =1，f 1= f 4 =0，所以当 t =4，即 x1=2时,2252 min = f 4=0 当t= 2，即x1、2 时,2 2 2 2Q -S2 max = f (2 ) = 1 所以S S的取值范围为10,11弦长面积3.解：(1 )ta'± +a2cJa2 _b2a a2 =14b2二 a= 2, = 12椭圆的方程为 上-x24(2)依题意，设丨的方程为y =kx .3由y 二 kx 、32二f

17、1-42 2(k24)x22、3kx-1=02 2 2 1 2 2 2 2 2 1 所以 S-S2二y2y1= 44x2I i n 1 =5-旨-4x2由(2)知，xx2=1，即 x2:4x14设 t =音，则 1 < t < 4，S -S2 =5t 7 设 ft =5t 显然 0x1 X2二三逊，皿2二亠k2+4k2+4=(4 k2)x(x2 3k(x! x2) 3由已知 m n = 0 得：a2x2 b2%y2 = 4%x2 (k% ,3)(kx2,3)= (k2 4)(-宀)、.3k 晋亠。解得 - 2(3)当直线AB斜率不存在时，即 = x2, % = -y2，由已知mn

18、= 0，得4片2 -yj = 0= %2 = 4x122 4 X1J 2又A(x1, y,)在椭圆上，所以x1 =1 =421 110分S石曲卜-力匕曲巧十1角形的面积为定值.当直线AB斜率存在时：设 AB的方程为y =kx ty = kx ty22: (k2x2 -14)x22ktx t2 -4 = 0必须 0 即 4k2t2 -4(k2 4)(t2 -4) 02 kt得到一24，x1x2t2 -4k2 4t m _ n，二 4x,x2 y,y2 =0= 4x,x2 (k t)(kx2 t) = 02 2代入整理得：2t -kS_1_|t|_2“k2| AB 尸1 |t |、.( X2)2 -4X1%k2 4所以三角形的面积为定值.14分|t| .4k2 4t2 16,4t .1 2|t|0 _0 _c|c2 _ 2向量2.解：(I)设F c,0 ,当丨的斜率为1时，其方程为x_y_c=0,O到丨的距离为c = 1 由 e = c 3 得 a = . 3， b = . a2 - c2 = . 2