圆锥曲线章末试题

1、圆锥曲线章末质量评估、选择题（本大题共10小题，每小题 5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线y= 4x2的焦点坐标是A. (0,1)B.(1,0).(0 ,2.已知椭圆2 2x y _+士=1上一点2516P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为（）.A. 2y2= 4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（2 2 2 2A. x + y + 2x = 0B . x + y + x= 0以抛物线).2 2.x + y x= 0以椭圆2 2x y+ = 1169的顶点为顶点，离心率为的双曲线方程是（2xA 一16482y= 1B.C.2x2

2、7= 1d.以上都不对已知椭圆与双曲线1有共同的焦点，且离心率为；，则椭圆的标准方程为（2 2x yA.20+ 25=1B.2 2x y+ = 125202 2x y C.25+石=12 2x yD.?+25=11的两个焦点为F,H，弦AB过点冋，则厶ABF的周长为（）.2x已知椭圆石+ ”4125A. 10.20.2,；41.4 412x双曲线a).A. 2B.C.D.已知椭圆x2sin2八.a y COS a = 1(0 W a <2 n )的焦点在y轴上，则的取值范围是（).3A.(4冗,n)抛物线n.(4,3n4n) C . (y，n 3.(7，4 n )y= 2x2上两点 A(

3、x1, yd、1Rx2, y2)关于直线y = x + m对称，且X1 %= ?,则m等于（）.2 2C: x2 + y2- 6x + 5= 0相切，且双曲线的右焦点x y10. 已知双曲线-2= 1（a>0, b>0）的两条渐近线均和圆a b为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）.2 22 22 22 2x yA.二=1x yB.= 1C.x y七=1 D.x y=15 44 53 66 3、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）11. 已知点（一2, 3）与抛物线y（0,祁.答案 C 22. 已知椭圆+讣=1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P

4、到另一焦点的距离为（）.2516A. 2 B . 3 C . 5 D . 7解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a = 10, 10-3= 7.选D. = 2px（p>0）的焦点的距离是 5,贝U p=12. 若椭圆x2 + my= 1的离心率为 乎，则它的长半轴长为 .13.已知双曲线x y 孑-1(a>°,2 2b>0）和椭圆6+y9 = 1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .14. 设椭圆的两个焦点分别为F, F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为 P,若厶FFF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .三、

5、解答题（本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）2 215. （10分）双曲线C与椭圆令+着=1有相同的焦点，直线y= .3x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.16. （10分）双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，- 5）、F2（0 , 5），点P（3 , 4）是双曲线的渐近线与椭圆的一 个交点，求双曲线与椭圆的方程.17. （10分）已知抛物线y2 = 2x，直线I过点（0 , 2）与抛物线交于 M N两点，以线段 MN勺长为直径的圆过 坐标原点O,求直线I的方程.2 2过点B（0，- 2）及左焦点F118. （12分）已知椭圆x2+1（a>b>

6、0）的一个顶点为 A（0 , 1），离心率为 a b的直线交椭圆于 C, D两点，右焦点设为 F2.（1）求椭圆的方程；（2）求厶CDF的面积.19. （12分）已知抛物线y2= 4x截直线y= 2x + m所得弦长 AB= 3 5,（1）求m的值；（2）设P是x轴上的一点，且 ABP勺面积为9, 求P的坐标.圆锥曲线章末质量评估一、选择题（本大题共10小题，每小题 5分，共50分，在每小题给出的四个 目要求的）A. (0,1)1. 抛物线y= 4x2的焦点坐标是（）.B. (1,0)C. (0 ,秸)2 1 1 一解析将抛物线方程变为 x = 2x：y，知p = 7，又焦点在y轴上，且开口向

7、上，所以它的焦点坐标为8 8答案 D3以抛物线y2= 4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）.2 2A. x + y + 2x = 0 2222小B. x + y + x = 02 2D. x + y 2x= 0解析因为已知抛物线的焦点坐标为（1,0），所以所求圆的圆心为（1,0），又圆过原点，所以圆的半径答案4 以椭圆故所求圆的方程为（x 1）2+ y2= 1,22即 x + y 2x= 0,故选 D.2 2話+9=1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是（）.2xA.16482y- = 12 2x yB. = 19272 2 2 2x y亠 yxC.=1 或t;一币=1164892

8、7D.以上都不对解析当顶点为（土4,0）时，a= 4, c = 8,2 2b= 4 3, 16-48= 1 ；2 2当顶点为（0 ,± 3）时，a= 3, c= 6, b= 3 3,鲁刃=1.5.已知椭圆与双曲线2 2x y13=1有共冋的焦点，且离心率为 二于 则椭圆的标准方程为（）.2 2x yA + = 120 252 2x yB + = 125 202 2x yC.25+ 5 =12 2x yD.+= 152522答案 C解析 双曲线3 2 = 1中a1 = 3,b? = 2,贝UC1= _a1 +=5,故焦点坐标为（一5,0）,（”5, 0）,1-,贝V a= 5, a2

9、= 25, b = a C = 20, ，52 2x ylc故所求椭圆+ 2= 1（ a>b>0）的c = 5,又椭圆的离心率 e=- =a bYa2 2故椭圆的标准方程为+ = 1.2520答案 B2 26.（2011 山东烟台期末）已知椭圆 右+ 25= 1的两个焦点为F1,F2,弦AB过点冃，则厶ABF的周长为（）.A. 10B. 20 C. 2 41D. 4 41解析 I AB + | BF + I AF = | AF| + I BF| + | B F2| + | AH| = （| AF| + | AR|） + （| BF| + | BR|） = 4a= 4 41.答案 D

10、2 27双曲线笃一右=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）.a bC. x + y x = 0A. 2B.2 D.解析双曲线倉一 b2= 1的两条渐近线方程为y =± Ox,依题意（ £）= 1,故畧=1,所以c =椭圆焦点在y轴上，cos1> a sin1 >0.an又 Ow a <2n ,尹3n< -4答案9.抛物线y= 2x2上两点 A(X1,yd、RX2,1y2）关于直线y = x + m对称，且X1 X2= ?,贝U m等于（）.1即e2 = 2，所以双曲线的离心率e= 2.故选C.答案 C&已知椭圆2 . 2x si

11、n a y cosa = 1(0 Wa <2n ）的焦点在y轴上，贝U a的取值范围是（3n3A. (4n,n)B.（刁,4n )nn3c. (2,n )D.(三,；n )22解析椭圆方程化为1+ 1=1.sinacosaC.解析依题意，得kAB= xx = 1，X2 X1而 y2 y1= 2(x2 x2)，得X2 + X1 2 且(宁，宁)y2+ y1 X2+ X1在直线 y = x + m上，即卩 一2 = + my2 + y1= X2 + X1 + 2m 2(x2 + x2) = X2+ X1+ 2m232( X2+ X1) 2x2X1 = X2+ X1+ 2m 2m= 3, m=

12、 2答案 A2 2C： x2 + y2 6x + 5= 0相切，且双曲线的右焦点x y10. 已知双曲线-2= 1（a>0, b>0）的两条渐近线均和圆a b为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 （）.2 2x yA- = 154dX_y= iD. 631x yC.3 6 = 1解析圆心的坐标是（3 ,0），圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx± ay= 0,c= 3,根据已知得 一丁一a + b=2,2 2即=2,解得b= 2，得a = c b = 5,故所求的双曲线方程疋-=1.354答案A二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.）211

13、. 已知点（一2, 3）与抛物线y= 2px（p>0）的焦点的距离是 5,贝U p=.解析抛物线y? = 2px（ p>0）的焦点坐标是（2，0）,由两点间距离公式，得（2+ 2）+ （ 3） 2=5.解得p = 4.答案 412. 若椭圆x2 + my= 1的离心率为 字，则它的长半轴长为 .解析当0<n<1时，222.2小y x2 a b311'a4'm1 2 1m= -, a = = 4, a= 2；4 m2 2x y当 m>1 时，1 + j = 1, a= 1.应填 1 或 2.m答案 1或22 2 2 213. 已知双曲线 扌一拳=1（

14、 a>0, b>0）和椭圆16 +鲁=1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 .解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是（±乙0），离心率是 故在双曲线中c = 7, e=¥= C，故44 a2 2a= 2, b2= c2 a2= 3，因此所求双曲线的方程是 X y3 = 1.2 2答案7-= 114. 设椭圆的两个焦点分别为F1, F2,过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为 P,若厶F1PF为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .解析由题意，知PF丄冃尸2,且厶F1PF为等腰直角三角形，所以I PF| =厅冋=2c,|PF|=

15、22c,从而 2a= |PF| + | P冋=2c（t+1）,2c1所以e=肓一2+1答案 2 1三、解答题（本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）2 215. （10分）双曲线C与椭圆x8 + y4 = 1有相同的焦点，直线目=3x为C的一条渐近线.求双曲线C的方程.设双曲线方程为x y 孑-b= 1( a>0.b>0).2 2由椭圆X + y = 1，求得两焦点为(2, 0) , (2 , 0),84对于双曲线C: c= 2.又y =3x为双曲线C的一条渐近线，-a= .3，解得 a=1, b = 3,2双曲线c的方程为X = 4 16k&g

16、t;0? kv/k丰0），设 MX1, y" , N（x2, y2）, 3 = 1.16. （10分）双曲线与椭圆有共同的焦点R（0, 5）、F2（0, 5），点P（3 , 4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程.2 2y x解 由共同的焦点F1（0， 5）、F2（0 , 5），可设椭圆方程为 匕+ 匸殒=1;a a 252 2双曲线方程为 右一=1,点R3 , 4）在椭圆上，b25 b169孑 + a25 = 1,2a = 40,双曲线的过点R3 , 4）的渐近线为b卄b2y= 2x，即 4= 2x 3, b = 16.25 b25 b2 2 2 2所以椭圆方程

17、为40+x5= 1；双曲线方程为令一x=1.17. （10分）已知抛物线y2 = 2x，直线I过点（0 , 2）与抛物线交于 M N两点，以线段 MN勺长为直径的圆过 坐标原点O,求直线l的方程.解 由题意，知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y = kx + 2（心0）,y= kx + 2,2解方程组/消去x得ky2 2y+ 4 = 0,ly = 2x,则 y1+ y2= k40 y2=k，f12xi =3 yi21241 ? x1 X2= 4(yi y2)= k2X2= 22OML ON? koM- koN=- 1，二 X1 X2 + 屮 y2= 0,44k2+ k= 0,解得 k

18、=- 1.所以所求直线方程为y =- x + 2,即x + y- 2 = 0.2）及左焦点F118. （12分）已知椭圆x2 + b；= 1（a>b>0）的一个顶点为 A（0 , 1），离心率为 #,过点B（0 ,的直线交椭圆于C, D两点，右焦点设为 F2.（1）求椭圆的方程；求厶CDF的面积.2x 2解（1）易得椭圆方程为-+ y2 = 1.（2）T F1（ 1, 0） ,直线 BF 的方程为 y =-2x-2, y = -2x- 2,由X2 2得 9x2 + 16x + 6 = 0.|2 + y = 1,2T = 16 4X 9X 6= 40>0,所以直线与椭圆有两个公共点，设为 C(X1, yj ,D(X2,，则l_X1 + X2=-X1 X2 = 2,169 , | CD = ；1 +( 2) 2| X1 X2|=5 (X1 + X2) 2- 4X1X2=v5 寸(-j 3=昏, 又点F2到直线BF的距离d =婪,故 SA CDF= "| CD d= 9 ,;10.19. (12分)已知抛物线y2= 4x截直线y= 2x + m所得弦长 AB= 3,5,(1) 求m的值；(2) 设P是x轴上的一点，且 ABP的面积为9,求P的坐标.厂2y =4x,2 2解 (1)由 t得 4x