高考数学专题讲义不等式的解法

1、学习必备欢迎下载第十三讲不等式的解法 高考在考什么【考题回放】1、（山东文7）命题“对任意的x R， x3x21 0 ”的否定是（）A不存在 xR， x3x21 0B存在 xR， x3x21 0C存在 xR，x3x210D对任意的 xR，x3x210【答案】 C【分析】 注意两点：（1）全称命题变为特称命题；（2）只对结论进行否定。2、（全国 2 理 6）不等式 :x1 >0 的解集为x 24(A)( -2, 1)(B)(2,+ )(C) ( -2, 1)(2,+ )(D)(-, -2) (1,+ )解不等式 :x1 >0，x10 ，原不等式的解集为 (-2,1) (2,+) ，选

2、2)( xx 24( x2)C。3、 ( 安徽文 8) 设 a 1, 且 mlog a (a21), nlog a ( a 1), plog a (2 a) , 则 m, n, p 的大小关系为(A) (B)n(C) p(D)p n m pm pm nm n解析：设 a1, a21，a1，mloga(a21), nloga(a1), plog(2 a),2a2aa m, n, p 的大小关系为m p n，选 B。安徽理3)若对任意 xR,不等式x ax恒成立，则实数a 的取值范围是4 (A) a 1(B)a 1(C)a 1（ D） a1解析：若对任意xR, 不等式 x ax 恒成立，当x 0

3、时， x ax， a 1，当 x<0 时， xax ， a 1，综上得1a1a 的取值范围是a 1，选 B。，即实数5、（北京理7）如果正数 a，b，c，d 满足 abcd4 ，那么（）ab c d ，且等号成立时 ab c d ，且等号成立时 ab c d ，且等号成立时 ab c d ，且等号成立时a， b，c，d 的取值唯一a， b，c，d 的取值唯一a， b，c，d 的取值不唯一a， b，c，d 的取值不唯一解析：正数 a，b，c， d 满足 abcd4 ， 4= a b2 ab ，即 ab4 ，当且仅当a=b=2 时，“ =”成立；又 4=cd 2cd()，c+d4= =2=2

4、，当且仅当 c d时，“ ”成立；综上得 ab c d ，且等号成立时a， b， c，d 的取值都为2，选 A。学习必备欢迎下载6（重庆理 13）若函数f(x) =x22ax a21的定义域为，则 a 的取值范围为_.R【答案】：1，0【分析】 ：2x2 2 ax a120 恒成立，x22axa0恒成立，(2 a) 24a 0 a( a1)01a0. 高考要考什么1. 绝对值不等式和无理不等式都是高考的重点内容，其难点是解无理不等式中去根号的方法和条件。因此要求学生熟练掌握去根号，去绝对值符号的方法。2.处理指数、 对数不等式方法一般是运用函数的单调性转化为有理不等式（组） 来求解。因此本讲的

5、重点是指数、 对数函数的单调性， 其难点是如何转化为有理数不等式组， 特别是对数不等式中定义域条件的限制。3. 比较法是证明不等式的基本方法之一，是高考的重点，在运用比较法证明不等式时的难点是对差或商进行合理变形。 突破重难点【范例 1】 设函数f( )x21，其中a0，试解不等式f() 1。xaxx解析： 由题可知：f (x)x21 ax， 由 f ( x)1x 21ax1x 21 ax 1（ 1）若 0<a<1 时，原不等式等价于下列不等式组：，ax1，ax1002a 2 )0x2a；x21(ax1) 2x(x01 a 21 a故此时不等式的解为0 x2a；1a 2（ 2）若

6、a>1 时，原不等式等价下列不等式组ax10，x1 ，2aa2ax( x1 a 2 )0x 0或xa21故此时不等式的解为x0；（ 3）若 a=1 时，原不等式可化为x2x10，x 0，1 x 121x2x2 x 1故此不等式的解为 x0。综上可知原不等式的解为：学习必备欢迎下载（ ）若0时，x2a ；1a 101 a2（ 2）若 a1时， x 0。小结：对于含参数的不等式，重点在于对参数的讨论， 应做到正确分类 （标准一致，不重不漏）。【范例 2】 已知 f ( x)lg(1x)x在 (0， +)上是减函数，试解关于x的不等式lg 1x11lg 21xxx解：由题意可知： f ( x)

7、lg(1 x)xf1lg( 1x1x1， f (1)lg 21x)xxx故原不等式可化为 fx1f (1)x又因为函数 yf ( x)在 x(0，) 上是单调减函数则原不等式等价于下列不等式x1，x11，x1xx21010xxxx( x 2x 1) 0，x15 或 0 x15 ，x1或1x022x1或1x 0故原不等式的解为1x15 或 1x1522【范例 3】 解不等式2x1x2分析： 首先应打开绝对值符号（由定义或等价变换均可）然后再解无理不等式，也可以用图形求解。解： 原不等式2x1x22x1x2因为2x1x22x1x2学习必备欢迎下载2 x10x11x202x22 x 1 (x 2)

8、2x22x 5 02x102x10又 2x1x2x20或202x1( x2) 2xx2或1x2x2或1x 2x26x51x02522x或 1x21552x2x121所以原不等式组x512x52因此，原不等式的解集为x 1x 52解法二：原式2 x1x22 x1x2令 y02x 1, y1x2，y2 x 2如图，由 2 x1x 2解得： x2 5原不等式的解集为：1 ，5)2小结： 此题为北京 2002 年高考试题，从以上第一种解法知，此题既考查了绝对值不等式的解法， 又考查了两种无理不等式的解法，不失为一道好题。选择解法一时，应特别注意等价变换、有序，最好不要一开始就讨论、略显杂乱，对于用图像法求解时，画图应规范，重要的点的坐标必须标出。【范例 4】 若a， b R，求证： a2b21 ab a b分析： 作差后既不易分解因式，也不易配方，可将差式中的b 看作常数，为分解这个关于 a 的二次三项式，可用求根法，虽然方法特殊，但思路的出发点仍是将差式分解。证法一： 作差并整理得：学习必备欢迎下载a2(b1)ab2b为求其根，先求其判别式：1(b1)24(b 2b1)3(b1) 20故对任