高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――随机抽样

1、学习必备欢迎下载20XX 年高考数学一轮复习精品学案（人教版A 版）随机抽样一【课标要求】1能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题；2结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性；3在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法；4能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据.二【命题走向】统计是在初中数学统计初步的深化和扩展，本讲的主要内容是随机抽样的方法在总体中抽取样本。预测 20XX 年高考对本讲的考察是：（ 1）以基本题（中、低档题为主） ，多以选择题、填空题的形式出现，以实际问题为背景，综合考察

2、学生学习基础的知识、应用基础知识、解决实际问题的能力；（ 2）热点是随机抽样方法中的分层抽样、系统抽样方法.三【要点精讲】三种常用抽样方法：1简单随机抽样：设一个总体的个数为N。如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。实现简单随机抽样，常用抽签法和随机数表法.（ 1）抽签法制签：先将总体中的所有个体编号（号码可以从1 到 N），并把号码写在形状、大小相同的号签上，号签可以用小球、卡片、纸条等制作，然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌；抽签：抽签时，每次从中抽出1 个号签，连续抽取n 次；成样：对应号签就得到一个容量为n

3、 的样本。抽签法简便易行，当总体的个体数不多时，适宜采用这种方法.（ 2）随机数表法编号：对总体进行编号，保证位数一致；数数：当随机地选定开始读数的数后，读数的方向可以向右，也可以向左、向上、向下等等。在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求和与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码。成样：对应号签就得到一个容量为n 的样本 .结论： 用简单随机抽样，从含有N 个个体的总体中抽取一个容量为n 的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为1；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为n；NN 基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性； 简

4、单随机抽样的特点：它是不放回抽样；它是逐个地进行抽取；它是一种等概率抽样。2系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先学习必备欢迎下载定出的规则，从每一部分抽取 1 个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样） 。系统抽样的步骤可概括为：（ 1）将总体中的个体编号。采用随机的方式将总体中的个体编号；（ 2）将整个的编号进行分段。为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k .当 N 是N ；当 N 不是整数时， 通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数n整数时， kN能被nnn整除，这时kN；nl ；（ 3）确定起始的个体编号。在第1 段用简单随机

5、抽样确定起始的个体边号（ 4 ） 抽 取 样 本 。 按 照 先 确 定 的 规 则 （ 常 将 l 加 上 间 隔 k）抽取样本：l ,l k, l2k, l ( n 1)k 。3分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.结论：（ 1）分层抽样是等概率抽样，它也是公平的。用分层抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为 n 的样本时，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，都等于n ；N（ 2）分层抽样是建立在简单随机抽样或系统抽样的基础上的，由于它充分利用了已知信息，因此利用它获取的样本

6、更具有代表性，在实践的应用更为广泛.四【典例解析】题型 1：统计概念及简单随机抽样例 1为调查参加运动会的1000 名运动员的年龄情况，从中抽查了龄，就这个问题来说，下列说法正确的是（）100 名运动员的年A 1000 名运动员是总体C抽取的100 名运动员是样本B每个运动员是个体D样本容量是100解析：这个问题我们研究的是运动员的年龄情况，因此应选D。答案： D点评：该题属于易错题，一定要区分开总体与总体容量、样本与样本容量等概念。例 2今用简单随机抽样从含有6 个个体的总体中抽取一个容量为2 的样本。 问： 总体中的某一个体a 在第一次抽取时被抽到的概率是多少? 个体 a 不是在第1 次未

7、被抽到，而是在第2 次被抽到的概率是多少? 在整个抽样过程中，个体a 被抽到的概率是多少?解析：（ 1） 1 ，（2） 1 ，（3） 1 。333点评：由问题 (1) 的解答，出示简单随机抽样的定义，问题( 2 )是本讲难点。基于此，简单随机抽样体现了抽样的客观性与公平性.题型 2：系统抽样例 3为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本。解析：（ 1）随机地将这1003 个个体编号为（ 2）利用简单随机抽样，先从总体中剔除1， 2， 3， 10033 个个体 (可利用随机数表)，剩下的个体数1000 能被样本容量50 整除，然后再按系统抽样的

8、方法进行学习必备欢迎下载3点评：总体中的每个个体被剔除的概率相等，也就是每个个体不被剔除的概率1003相等1000.采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是50，所以在整个抽样过程中10031000每个个体被抽取的概率仍然相等，都是例 4（ 20XX 年湖南理， 15）10005050。100310001003.对有 n(n4)个元素的总体1,2,n 进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2, , m和 m1,m2, n(m 是给定的正整数，且2 mn -2),再从每个子总体中各随机抽取2 个元素组成样本 .用ij 表示元素 i 和 j同时出现在样P本中的概率，则P1n =;所有 Pij(1 ij

9、 n 的和等于.【答案】4, 6m(nm)【解析】 P1nCm11Cn1m 14(m1)(n m1)4; 第二空可分 :Cm2Cn2mm(m1)(n m)( nm 1)m( nm)i, j1,2,mC2当时 ,Pijm1 ;C2m当 i, jm1, m2, n时 ,Pij1;当i1,2, m ,jm1, m2, , n时,Pijm(nm)44 ;m( nm)所以 Pij1146.点评：当总体中个体个数较多而差异又不大时可采用系统抽样。采用系统抽样在每小组内抽取时应按规则进行 .(20XX 年广东卷文 ) （本小题满分13 分）随机抽取某中学甲乙两班各10 名同学 ,测量他们的身高(单位 :cm

10、),获得身高数据的茎叶图如图 7.(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高;(2)计算甲班的样本方差学习必备欢迎下载(3) 现从乙班这 10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm 的同学 ,求身高为 176cm 的同学被抽中的概率 .解析 （ 1）由茎叶图可知： 甲班身高集中于160 : 179之间，而乙班身高集中于 170 : 180之间。因此乙班平均身高高于甲班;(2) x158162163168168170171179179 18217010甲班的样本方差为1222168 17022(158 170)162 170163 170168 170101 7 021 7 1221 7 021

11、 7 021 7 01 7 01 7 01 7 91 7 91 8 2 57（ 3）设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为A；从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于173cm 的同学有：（ 181，173）（ 181，176）（ 181，178） （ 181，179） （179， 173） （ 179， 176） （ 179， 178）（ 178，173）(178,176)（ 176， 173）共 10 个基本事件，而事件A 含有 4 个基本事件；42；P A510题型 3：分层抽样例 5（ 2009 全国卷文）（本小题满分 12 分）某车间甲组有 10 名工人，其中有 4 名女工人；乙

12、组有 10 名工人，其中有 6 名女工人。 现采用分层抽样 （层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取 4 名工人进行技术考核 .（ 1）求从甲、乙两组各抽取的人数；（ 2）求从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人的概率；（ 3）求抽取的 4 名工人中恰有 2 名男工人的概率 .解析 本题考查概率统计知识，要求有正确理解分层抽样的方法及利用分类原理处理事件概率的能力，第一问直接利用分层统计原理即可得人数，第二问注意要用组合公式得出概率，第三问关键是理解清楚题意以及恰有2 名男工人的具体含义，从而正确分类求概率 .解 （1）由于甲、乙两组各有10 名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共

13、抽取 4 名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人.（ 2）记 A 表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1 名女工人，则C41C618P( A)15C102（ 3） Ai 表示事件：从甲组抽取的2 名工人中恰有 i 名男工人， i 0，1，2Bj 表示事件：从乙组抽取的2 名工人中恰有j 名男工人， j0，1，2B 表示事件：抽取的4 名工人中恰有2 名男工人。Ai 与 B j 独立， i， j0，1，2，且 BA0B2 A1 B1 A2B0故 P(B) P(A0 B2A1 B1A2 B0)P(A0 ) P(B2)P( A1) P(B1)P(A2) P(B0)学习必备欢迎下载C42 C42C41

14、 C61 C61C41C62C62C102 C102C102C82C102C102点评：本小题主要考查分层抽样的概念和运算， 以及运用统计知识解决实际问题的能力。例 6甲校有 3600 名学生，乙校有 5400 名学生，丙校有 1800 名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个样本容量为90 人的样本，应在这三校分别抽取学生（）A30 人， 30 人， 30 人B 30 人， 45 人， 15 人C20 人， 30 人， 10 人D 30 人， 50 人， 10 人解析： B；点评：根据样本容量和总体容量确定抽样比，最终得到每层中学生人数。题型 4：综合问题例 7（ 1

15、）某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、 120 个、 180 个、 150 个销售点 .公司为了调查产品销售的情况， 需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本，记这项调查为；在丙地区中有 20 个特大型销售点，要从中抽取 7 个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为 .则完成、这两项调查宜采用的抽样方法依次是A分层抽样法，系统抽样法B分层抽样法，简单随机抽样法C系统抽样法，分层抽样法D简单随机抽样法，分层抽样法分析：此题为抽样方法的选取问题.当总体中个体较多时宜采用系统抽样；当总体中的个体差异较大时，宜采用分层抽样；当总体中个体较少时，宜采用随机抽样.依据题意

16、，第项调查应采用分层抽样法、第项调查应采用简单随机抽样法.故选 B.答案： B（ 2）某初级中学有学生270 人，其中一年级108 人，二、三年级各81 人，现要利用抽样方法抽取10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2， 270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1，2， 270，并将整个编号依次分为10 段 .如果抽得号码有下列四种情况： 7，34， 61， 88， 115，142， 169， 196，223， 250； 5，9， 100， 107，111， 121， 180， 195，200， 265； 11，38， 65， 92，119， 146， 173， 200， 227，254； 30，57， 84， 111， 138， 165， 192，219， 246， 270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A、都不能为系统抽样B、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样解析： D。D、都可能为分层抽样点评：采用什么样的抽样方法要依据研究的总体中的个体情况来定。学习必备欢迎下载五【思维总结】常用的抽样方法及它们之间的联系和