定积分在几何上的应ppt课件

1、定积分在几何上的运用定积分在几何上的运用一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、体积二、体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长四、小结四、小结第二节第二节(Application of the Definite Integral to Geometry)xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.1.直角坐标情形直角坐标情形图图6-2-16-2-11 1图图6-2-12例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线x

2、y 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解解方程组解方程组).9 ,3(),4 ,2(),0 ,0( 得得到到两两曲曲线线的的交交点点为为 236xyxxy选选 为积分变量为积分变量x3, 2 x,0, 2)1( xdxxxxdA)6(231 ,3 , 0)2( xdxxxxdA)6(322 于是所

3、求面积于是所求面积21AAA dxxxxA)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 阐明：留意各积分区间上被积函数的方式阐明：留意各积分区间上被积函数的方式问题：问题：积分变量只能选积分变量只能选 吗？吗？x例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解解方程组解方程组).4 , 8(),2, 2( 得得两两曲曲线线的的交交点点为为 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242所求面积为所求面积为 42224dyyyA18642426 yyy假设曲边梯形的曲边为参数方程假设曲边梯形的曲边为参

4、数方程 )()(tytx 曲边梯形的面积曲边梯形的面积.)()(21 ttdtttA （其其中中1t和和2t对对应应曲曲线线起起点点与与终终点点的的参参数数值值）在在1t,2t（或或2t,1t）上上)(tx 具具有有连连续续导导数数，)(ty 连连续续.例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab 图图6-2-522221xyaboxyba面积元素面积元素 ddA

5、2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212 dA 2.2.极坐标情形极坐标情形 d ( ) 设由曲线设由曲线)( 及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( 在在, 上延续，且上延续，且0)( d xo图图6-2-66-2-6例例 5 5 求求双双纽纽线线 2cos22a 所所围围平平面面图图形形的的面面积积.解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A图图6-2-7解解 dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d2

6、)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0例例 6 6 求心形线求心形线)cos1( a所围平面图形的所围平面图形的面积面积)0( a. 1cosa d xo图图6-2-86-2-8 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1.1.旋转体的体积旋转体的体积图图6-2-9一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲

7、边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上上任任取取小小区区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 图图6-2-10yr解解hPxhry 取取积积分分变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP图图6-2-11以以dx为底的窄边梯形绕为底的窄边梯形绕x轴旋转

8、而成的薄片的轴旋转而成的薄片的体积为体积为dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo图图6-2-11a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax 旋旋转转体体的的体体积积dxxaVaa33232 .105323a 图图6-2-12 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yx cddyy2)( dcV图图6-2-13解解绕绕x轴轴旋旋转转的的

9、旋旋转转体体体体积积dxxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a oyx2 a yy x a 图图6-2-14(1)BCA绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可可看看作作平平面面图图OABC与与OBC分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.dyyxVay)(2202dyyxa)(2201 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(tdttta.633a 2aoyx2 a a 图图6-2-14(2)BCA)(2yxx

10、)(1yxx 补充补充 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线)(xfy 、直线直线ax 、bx 及及x轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay| )(|2 利用这个公式，可知上例中利用这个公式，可知上例中dxxfxVay| )(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(sin(2dtttta.633a xoab2.平行截面面积为知的立体的体积平行截面面积为知的立体的体积xdxx 假设一个立体不是旋转体，但却知道该立假设一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定

11、轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数,)(dxxAdV .)( badxxAV立体体积立体体积图图6-2-15RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为直直角角三三角角形形x截面面积截面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R 图图6-2-166-2-16解

12、解取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为,222Ryx xyoRx垂垂直直于于x轴轴的的截截面面为为等等腰腰三三角角形形截面面积截面面积22)(xRhyhxA 立体体积立体体积dxxRhVRR 22.212hR 图图6-2-176-2-17xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是曲线弧上的两是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点个端点，在弧上插入分点BMMMMMAnni ,110并并依依次次连连接接相相邻邻分分点点得得一一内内接接折折线线，当当分分点点的的数数目目无无限限增增加加且且每每个个小小弧弧段段都都缩缩向向一一点点时时，三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长图图6-2-18

13、6-2-18 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy )(bxa ，其中，其中)(xf在在,ba上有一阶连续导数上有一阶连续导数xoyabxdxx 取积分变量为取积分变量为x，在，在,ba上任取小区间上任取小区间,dxxx ，以对应小切线段的长代替小弧段的长以对应小切线段的长代替小弧段的长 dy小小切切线线段段的的长长22)()(dydx dxy21 弧长元素弧长元素dxyds21 弧长弧长.12dxysba 1.1.直角坐标情形直角坐标情形图图6-2-196-2-19dx解解,21xy dxxds2)(121 ,1dxx 所求弧长为所求弧长为dxxsba 1.)1()1(322323ab oxy图图

14、6-2-206-2-20ba3223yx 解解nnxny1sin ,sinnx dxysba 21dxnxn 0sin1ntx ndtt 0sin1dtttttn 0222cos2sin22cos2sindtttn 02cos2sin.4n 曲线弧为曲线弧为,)()( tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数.22)()(dydxds 222)()(dttt dttt)()(22 弧长弧长.)()(22dttts 2.2.参数方程情形参数方程情形解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20( t根据对称性根据对称性14ss

15、 dtyx 20224dttta 20cossin34.6a 曲线弧为曲线弧为)( ( ) ( )cos( )sinxy )( 22)()(dydxds 22( )( ),d 弧长弧长22( )( ).sd 3.3.极坐标情形极坐标情形)0( a解解22( )( )sd 213sincos33 3a ,3cos3sin2 a.23a daa242623cos3sin3sin 30 d23sin 30a 0()3 例例 15 15 求极坐标系下曲线求极坐标系下曲线的长的长. . 3sin3a 四、小结四、小结1.1.平面图形的面积平面图形的面积直角坐标、参数方程、极坐标；直角坐标、参数方程、极坐

16、标；2.2.旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为知的立体的体积平行截面面积为知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周3.3.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念直角坐标系下直角坐标系下参数方程情形下参数方程情形下极坐标系下极坐标系下弧微分的概念弧微分的概念求弧长的公式求弧长的公式 1.求由求由 及及 所围图形的面积所围图形的面积.xxeyey ,1 x2.求由求由 及及 所围图形的面积所围图形的面积.25yx 21yx 3.求星形线求星形线 所围图形的面积所围图形的面积. )0(sincos33ataytax练习题练习题 21cos0sin021cos6.22