高二数学推理与证明知识点与习题

1、学习必备欢迎下载推理与证明一、推理1. 推理 ：前提、结论2. 合情推理 :合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（ 1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理（ 2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。3. 演绎推理 :从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，

2、利用演绎推理的形式进行证明题型 1用归纳推理发现规律1、观察： 715 2 11；5.516.52 11； 3 3193 2 11 ； . 对于任意正实数a, b ，试写出使 ab2 11 成立的一个条件可以是_.点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故 ab222、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图 . 其中第一个图有1 个蜂巢，第二个图有 7 个蜂巢， 第三个图有 19个蜂巢，按此规律， 以f (n)表 示 第 n 幅 图的蜂巢总数.则f (4) =_; f ( n) =_.【解题思路】找出f (n)f (n 1

3、) 的关系式解析 f (1)1, f ( 2)16, f (3)1 612,f (4) 1 6 12 18 37f (n) 1612186(n1)3n23n 1【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系题型 2 用类比推理猜想新的命题例 已知正三角形内切圆的半径是高的1 ，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.3【解题思路】从方法的类比入手解析 原问题的解法为等面积法，即S1 ah3 1 arr1 h ，类比问题的解法应为等体积法，223V1 Sh4 1 Srr1 h 即正四面体的内切球的半径是高13344【名师指引】（ 1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类

4、比（ 2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法 :综合法、分析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法. 用这种方法证明一个命题的一般步骤：学习必备欢迎下载(1) 假设命题的结论不成立；(2) 根据假设进行推理 , 直到推理中导出矛盾为止(3) 断言假设不成立(4) 肯定原命题的结论成立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点 1 综合法在锐角三角形ABC 中 , 求证 : sin

5、 Asin Bsin C cosAcosBcosC解析 ABC 为锐角三角形，AB2AB ，2ysin x 在 (0,) 上是增函数，sin Asin(B)cos B22同理可得 sin BcosC ， sinCcosAsin A sin Bsin C cosAcosBcosC考点 2分析法已知 ab0, 求证abab解析 要证abab ，只需证 (ab ) 2(a b) 2即 ab2abab ，只需证 bab ，即证 ba显然 ba 成立，因此abab 成立【名师指引】注意分析法的“格式”是“要证- 只需证 -”，而不是“因为 - 所以 - ”考点 3反证法已知 f (x)a xx2 ( a

6、1) ，证明方程 f ( x)0 没有负数根x1【解题思路】 “正难则反” ，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 解析 假设 x0是 f ( x) 0 的负数根，则x00且 x01且 ax0x02x010ax 010x021，解得 1x02 ，这与 x0 0 矛盾，x012故方程 f ( x)0 没有负数根【名师指引】否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多三、数学归纳法一般地 , 当要证明一个命题对于不小于某正整数N 的所有正整数n 都成立时 , 可以用以下两个步骤:(1) 证明当 n=n0 时命题成立 ;(2) 假设当 n=k (k N,且 k n0 ) 时命题成立

7、 , 证明 n=k+1 时命题也成立 .在完成了这两个步骤后, 就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立. 这种证明方法称为数学归纳法 .考点 1 数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识例 1 已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k（ k 2 且为偶数）时命题为真， ，则还需证明（）A.n=k+1 时命题成立B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2 时命题成立D. n=2（ k+2）时命题成立学习必备欢迎下载解析 因 n 是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k 的下一个偶数是k+2，故选 B【名师指引】 用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面： （1）n

8、的范围以及递推的起点（ 2）观察首末两项的次数（或其它），确定 n=k 时命题的形式f (k) （ 3）从 f (k 1)和 f (k) 的差异，寻找由k 到 k+1递推中，左边要加（乘）上的式子考点 2数学归纳法的应用题型 1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式122 3n(n1)1 (n 1)22解析 （ 1）当 n=1 时，左 =2 ，右 =2，不等式成立（ 2）假设当 n=k 时等式成立，即1 22 3k(k1)1 (k1) 21 (k2则 1 22 3k( k 1)(k 1)(k 2)1)2(k1)(k2)21 (k1)2(k 1)(k2)(k2)2( k 1)( k2)

9、(k1) (k 2)02221 22 3k(k 1)( k 1)(k 2)1 ( k 1) 122当 n=k+1 时，不等式也成立综合（ 1）（ 2），等式对所有正整数都成立【名师指引】（ 1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行；（ 2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形；（ 3）由 k 推导到 k+1 时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面习题1、用反证法证明命题： “三角形的内角中至少有一个不大于60 度”时，反设正确的是（）。(A) 假设三内角都不大于60 度；(B)假设三内角都大于 60 度；(C)假设三内角至多有

10、一个大于60 度；(D)假设三内角至多有两个大于60 度。2、在十进制中2004410001010102210 3 ，那么在 5 进制中数码 2004 折合成十进制为（）A.29B. 254 C. 602D. 20042n11a n2 1，n N) ”时，在验证 n=1 成立时，左边应该是（）3、利用数学归纳法证明 “ 1 a a a=a， (a1(A)1(B)1 a(C)1 a a2(D)1a a2 a34、用数学归纳法证明“ (n 1)( n 2)(nn)2n1 2( 2n 1) ”（ nN ）时，从 “ n k到 n k1”时，左边应增添的式子是（）A 2k1B 2(2k1)C 2k1D

11、 2k2k1k15、已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明1111n12(12n11 ) 时，若已假设nk(k 2为偶2341n42n数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（）学习必备欢迎下载ACnk1Bnk2时等式成立时等式成立n2k2 时等式成立D n2(k2) 时等式成立6、否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()A有一个解B有两个解C至少有三个解D 至少有两个解7、否定“自然数a、 b、c 中恰有一个偶数”时的正确反设为()A、c都是奇数B 、c或都是奇数或至少有两个偶数aba bC a、b、 c 都是偶数D a、b、 c 中至少有两个偶数8、已知： a b c>0， ab bc ca>0， abc>0.求证： a>0， b>0， c>0.19、已知 a， b，c (0,1) 求证： (1 a) b，(1 b) c， (1 c) a 不能同时大于 4.10、（