高考数学概率与统计部分知识点梳理_6888

1、名师总结优秀知识点高考数学概率与统计部分知识点梳理一、概率：随机事件 A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.随机事件 A 的概率 0P( A)1，其中当 P( A) 1时称为必然事件；当P( A) 0 时称为不可能事件P(A)=0 ；注：求随机概率的三种方法：（一）枚举法ABa bcde例 1 如图 1 所示，有一电路是由图示的开关控制，闭合，五，个开关中的任意两个开关，使电路形成通路则使电路形成通路的概率是分析：要计算使电路形成通路的概率，列举出闭合五个开关中的任意两个可能出现的结果总数， 从中找出能使电路形成通路的结果数，根据概率的意义计算即可。解：闭合五个开关中的两个，可能

2、出现的结果数有10 种，分别是b、 c、 d、aaaae、bc、bd、be、cd、ce、de，其中能形成通路的有6 种，所以 p( 通路 )=6 = 3105评注 : 枚举法是求概率的一种重要方法, 这种方法一般应用于可能出现的结果比较少的事件的概率计算 .（二）树形图法例 2 小刚和小明两位同学玩一种游戏游戏规则为：两人各执“象、虎、鼠”三张牌，同时各出一张牌定胜负，其中象胜虎、虎胜鼠、鼠胜象，若两人所出牌相同，则为平局例如，小刚出象牌，小明出虎牌，则小刚胜；又如，两人同时出象牌，则两人平局如果用A、 B、 C 分别表示小刚的象、虎、鼠三张牌，用A1、 B1、 C1 分别表示小明的象、虎、鼠

3、三张牌，那么一次出牌小刚胜小明的概率是多少？分析：为了清楚地看出小亮胜小刚的概率，可用树状图列出所有可能出现的结果，并从中找出小刚胜小明可能出现的结果数。解：画树状图如图树状图。由树状图（树形图）或列表可知，可能出现的结果有9 种，而且每种结果出现的可能性相同，其中小刚胜小明的结果有3 种所以 P（一次出牌小刚胜小明）= 13点评 : 当一事件要涉及两个或更多的因素时， 为了不重不漏地列出所有可能的结果， 通过画树形图的方法来计算概率（三）列表法例 3 将图中的三张扑克牌背面朝上放在桌面上，从中随机摸出两张，并用这两张扑克牌上的数字组成一个两位数请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）组成的

4、两位数是偶数的概率；（ 2）组成的两位数是6 的倍数的概率分析：本题可通过列表的方法，列出所有可能组成的两位数的可能情况，然后再找出组成的两位数是偶数的可能情况和组成两位数是 6 的倍数的可能情况。解：列的表格如下：根据表格可得两位数有：23，24，32，34，42，43所以（ 1）两位数是偶数的概率为21（ 2）两位数是 6 的倍数的概率为33点评：当一事件要涉及两个或更多的因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通过画树形图的方法来计算概率2. 等可能事件的概率（古典概率）：P(A)= m 。n3、互斥事件：（ A、 B 互斥，即事件 A、 B 不可能同时发生）。计算公式：P(A+B)

5、P(A)+P(B) 。4、对立事件：（ A、B 对立，即事件 A、B 不可能同时发生，但A、B 中必然有一个发生）。计算公式是： P（A）+ P(B) ； P( A )=1 P(A) ；5、独立事件：（事件A、B 的发生相互独立，互不影响） P(A?B) P(A)? P(B) 。提醒：（ 1）如果事件 A、B 独立，那么事件 A 与 B 、 A 与 B 及事件 A 与 B 也都是独立事件； （2）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是1 P（A B）1P(A)P(B) ；（ 3）如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是1P（ A B

6、）1 P(A)P(B)。6、独立事件重复试验：事件A 在 n 次独立重复试验中恰好发生了次的概率 kPn (k ) Cnk p k (1 p) n k ( 是二项展开式 (1p) pn 的第 k+1 项 ) ，其中 p 为在一次独立重复试验中事件A 发生的概率。提醒：（ 1）探求一个事件发生的概率，关键是分清事件的性质。在求解过程中常应用等价转化思想和分解( 分类或分步 ) 转化思想处理，把所求的事件：转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识 ) ；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率， 转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有 k 次发生

7、的概率， 但要注意公式的使用条件。（ 2）事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件；（3）概率问题的解题规范：先设名师总结优秀知识点事件 A=“”， B= “”；列式计算；作答。二、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的 . 试验如果满足下述条件：试验可以在相同的情形下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. 若是一个

8、随机变量， a，b 是常数 . 则a b 也是一个随机变量 . 一般地，若是随机变量，f (x) 是连续函数或单调函数，则f () 也是随机变量 . 也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量可能取的值为：x1 ,x2 ,xi ,取每一个值 x1 (i1,2,) 的概率 P(xi )p i，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列.x1x2xiPp1p 2p i有性质： p 1 0, i1,2, ；p1p2p i1 .注意： 若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量. 例如：0,5 即 可以取 0 5 之间的一切数，包括整数、小数、无理数 .3. 二项分

9、布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：P( k)C nk p k q nk 其中 k0,1, n, q 1 p 于是得到随机变量的概率分布如下：我们称这样的随机变量服从二项分布，记作B（ n· p），其中 n，p 为参数，并记 Ck pk qn kb(k;n p) .n二项分布的判断与应用 .二项分布，实际是对 n 次独立重复试验 . 关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只

10、有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列.4. 几何分布：“k ”表示在第 k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件 A 发生记为 A k ，事 A 不发生记为 A k , P(A k )q ，那么 P( k)P(A 1A 2A k1 A k ) . 根据相互独立事件的概率乘法分式：P( k)P(A 1)P( A 2 ) P(A k1 )P(A k )q k1p(k1,2,3,) 于是得到随机变量的概率分布列 .123kPqqpq2pq k 1 p我们称服从几何分布，并记g(k, p)q k1 p ，其中 q1p. k1,2,35. 超几何分布：

11、一批产品共有N件，其中有 M（ MN）件次品，今抽取 n(1nN) 件，则其中的次品数是一离散型随机变knk量，分布列为 P( k)C MC NM(0kM,0nkN M ) . 分子是从 M件次品中取 k 件，从 N-M 件正品中取 n-k 件的取C Nn法数，如果规定m r 时 C mr0 ，则 k 的范围可以写为k=0，1， n. 超几何分布的另一种形式：一批产品由a 件次品、 b 件正品组成，今抽取 n 件（ 1 n a+b），则次品数的分布列为knkP( k)C aCbk0,1, n. .C a bn超几何分布与二项分布的关系 .设一批产品由a 件次品、 b 件正品组成，不放回抽取n

12、件时，其中次品数服从超几何分布. 若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab 个产品编号，则抽取n 次共有 ( ab) n 个可能结果，等可能：( k) 含 C nk ak b n k 个结果，故P( k)Cnk ak b n kka)k(1an k, k0,1,2, n ，即 B(a) .我们先为 k 个次品选定位置，共k(ab) nC n (a)nC n 种选法；abbab然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P( k)P( k) ，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.三、数学期望与方差 .

13、1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量的概率分布为x1x2xiPp1p 2pi则称 Ex1 p1x 2 p 2x n p n为的数学期望或平均数、均值. 数学期望又简称期望 . 数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平 .2. 随机变量ab 的数学期望： EE(a b) aE b当 a0时， E(b)b ，即常数的数学期望就是这个常数本身 .当 a1时， E(b) Eb ，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和.当 b0时， E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.名师总结优秀知识点单点分布： Ec1c 其分布列为： P (1) c .01两

14、点分布： E0q1 pp ，其分布列为：（ p + q = 1）Pqp二项分布： Ekn!p kqn knp 其分布列为 B(n, p) .k!(nk)!（ P 为发生 的概率）几何分布： E1其分布列为 q( k, p) . （P 为发生的概率）p3. 方差、标准差的定义：当已知随机变量的分布列为P(xk )p k (k 1,2,D ( x1 E )2 p1 (x 2 E )2 p 2( xn E )2 pn为的方差 .显然 D0 ，故的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. D4. 方差的性质 .随机变量ab 的方差 D ( )D (ab)a 2 D . （a、b

15、 均为常数）单点分布：D0其分布列为 P(1)p两点分布： Dpq其分布列为：（ p + q = 1）二项分布： Dnpqq几何分布：Dp 2) 时，则称D.为的根方差或标准差. 随机变量越小，稳定性越高，波动越小.01Pqp5. 期望与方差的关系 .如果 E和 E都存在，则 E()EE设和是互相独立的两个随机变量，则E()EE, D()DD期望与方差的转化：DE2 (E) 2 E(E )E()E( E)（因为 E为一常数）EE0.四、正态分布 . （基本不列入考试范围）1. 密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量，位于x 轴上方，落在任一区间 a, b) 内的概率等于它与x 轴. 直线 xa

16、 与直线x b 所围成的曲边梯形的面积y（如图阴影部分）的曲线叫的密度曲线，以其作为y=f (x)图像的函数f (x) 叫做的密度函数，由于“x(,) ”是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.xab1( x) 22. 正态分布与正态曲线：如果随机变量的概率密度为：f (x)e22.（ xR,为常数，且0），称服2从参数为, 的正态分布，用 N (,2)表示.f (x) 的表达式可简记为N(,2) ，它的密度曲线简称为正态曲线 .正态分布的期望与方差：若 N (,2) ，则的期望与方差分别为：E, D2 .正态曲线的性质 .曲线在 x 轴上方，与 x 轴不相交 .曲线关于直线 x对称

17、 .当 x时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.当 x 时，曲线上升；当x 时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近 .当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”. 表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .1x 23. 标准正态分布： 如果随机变量的概率函数为(x)2 (x) ，则称服从标准正态分布 . 即 N (0,1) 有2e(x)P(x)，( x)1( x)求出，而 P（a b）的计算则是P(ab)(b)(a).注意：当标准正态分布的(x) 的 X 取 0 时，有( x)0.5当( x) 的 X 取大于 0 的数时，有(x)0.5 . 比如( 0.5) 0.07930.5 则 0.5必然小于0，如图 . yS正态分布与标准正态分布间的关系：若 N (, 2) 则的分布函数通常用 F ( x) 表示，且有 P( x)F(x)(xx) .a标准正态分布曲线S阴 =0.5Sa=0.5+S名