高考数学常用的解题方法

1、优秀学习资料欢迎下载高考中常用数学的方法-配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法 . 这些方法是数学思想的具体体现 , 是解决问题的手段 , 它不仅有明确的内涵 , 而且具有可操作性 , 有实施的步骤和作法 .配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧 , 由于这种配成“完全平方”的恒等变形 , 使问题的结构发生了转化 , 从中可找到已知与未知之间的联系 , 促成问题的解决 .待定系数法的实质是方程的思想 , 这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中 , 从而通过解方程 ( 或方程组 ) 求得未知数 .换元法是一种变量代换 , 它是用一种

2、变数形式去取代另一种变数形式 , 从而使问题得到简化 , 换元的实质是转化 .二、例题解析例 1已知长方体的全面积为 11, 其 12 条棱的长度之和为 24, 则这个长方体的一条对角线长为 ( ).(A)2 3( B)14( C)5( D)6分析及解： 设长方体三条棱长分别为x, y, z, 则依条件得：2( xy+yz+zx)=11,4( x+y+z)=24. 而欲求的对角线长为x 2y 2z2 , 因此需将对称式 x 2y 2z2 写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式 , 完成这种组合的常用手段是配方法 . 故 x 2y2z2(xy z) 22( xyyzxz)

3、=62-11=25x 2y 2z25, 应选 C.例12为双曲线x 2y21的两个焦点 , 点 P 在双曲线上且满足2设 F和 F41PF2=90°, 则F1PF2 的面积是 ().F( A)1( B)5( C)2(D) 52分析及解： 欲求 S PF F1|PF1|PF2|(1), 而由已知能得到什么122呢？由 F1PF2=90°, 得 | PF1|2| PF2 |220(2),又根据双曲线的定义得 | PF1|-|PF2|=4(3), 那么 (2) 、(3) 两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方 , 即可找到三个式子之间的优秀学习资料欢迎下载关

4、系. 即|PF1 | |PF2 |2| PF1 |2| PF2 |22|PF1 | |PF2 | 16,故|PF1 |PF2|1(| PF1 |2| PF2 |2 16)14 222S PF1F21|PF1 | |PF2 | 1, 选(A).2注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3设双曲线的中心是坐标原点 , 准线平行于 x 轴, 离心率为 5 , 已知点2P(0,5) 到该双曲线上的点的最近距离是2, 求双曲线方程 .分析及解：由题意可设双曲线方程为y 2x 21, e5 , a=2b, 因此所a2b 22求双曲线方程可写成：y24 x2a2(1),故只需求出 a 可求解

5、 .设双曲线上点 Q 的坐标为 ( x, y),则| PQ|=x2( y5) 2(2),点 Q( x, y)在双曲线上 , ( x, y) 满足 (1) 式 , 代入 (2)得 | PQ|=y 2a 2( y5)2(3), 此44时 | PQ| 2 表示为变量 y 的二次函数 , 利用配方法求出其最小值即可求解 .由(3) 式有2525a 2( ya或 |PQ|( y 4)4y - a).4二次曲线的对称轴为 y=4, 而函数的定义域 ya 或 y- a, 因此 , 需对 a4 与 a>4 分类讨论 .(1) 当 a4 时, 如图 (1) 可知函数在 y=4 处取得最小值 ,令 5a24

6、 , 得 a2 =442所求双曲线方程为yx21 .4(2) 当 a>4 时, 如图 (2) 可知函数在 y=a 处取得最小值 ,令 5(a 4) 25a 24, 得 a2=49,44所求双曲线方程为 y 24x21.4949注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的 , 其中利用配方法求解二次函数的最值问题 , 由于二次函数的定义域与参数 a 有关 , 因此需对字母 a 的取值分类讨论 , 从而得到两个解 , 同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解优秀学习资料欢迎下载题 .例 4设 f( x) 是一次函数 , 且其在定义域内是增函数, 又 f 1 f 1 (x)4x12 ,试求

7、 f( x) 的表达式 .分析及解：因为此函数的模式已知 , 故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数 y=f( x)= ax+b(a>0), 可知f1 ( x)1 ( x b) ,1111a f1 f1( xb)b(abb) 4x12 .(x)a2 xa2aa14(且a0)(1)a2比较系数可知：12(ab b)12(2)a解此方程组 , 得a1 , b=2, 所求 f( x)= 1 x2 .22例 5 如图 , 已知在矩形ABCD中, C(4,4),点 A 在曲线 x2y 29 ( x>0, y>0)上移动 , 且 AB, BC两边始终分别平行于 x 轴, y 轴,

8、 求使矩形 ABCD的面积为最小时点 A的坐标.分析及解： 设 A( x, y), 如图所示 , 则 SABCD(4- x)(4- y)(1)此时 S表示为变量 x, y 的函数 , 如何将 S表示为一个变量x( 或 y) 的函数呢？有的同学想到由已知得 x2+y2=9, 如何利用此条件？是从等式中解出x( 或 y),再代入 (1)式 , 因为表达式有开方 , 显然此方法不好 .如果我们将 (1) 式继续变形 , 会得到 S=16-4( x+y)+ xy(2)这时我们可联想到 x2+y2 与 x+y、xy 间的关系 , 即( x+y) 2=9+2xy.因 此 ,只需 设t=x+y, 则t 29

9、代入(2)式 得xy=,2S=16-4t +t 291 (t4) 27 (3) S 表示为变量 t 的二次函数 ,222 0<x<3,0<y<3, 3<t<3 2 , 当 t=4 时 , SABCD的最小值为 7 .2xy4,2 ,22 )或(22 ,22 )此时7 ,得A的坐标为 (2xy22222注：换元前后新旧变量的取值范围是不同的, 这样才能防止出现不必要的错误 .例 6设方程 x2+2kx+4=0 的两实根为 x1, x2, 若 ( x1)2( x2) 2 3, 求 k 的取值x2x1优秀学习资料欢迎下载范围 .解： ( x1 ) 2( x2 )

10、2( x1x2 ) 22 ( x1x2 ) 22 22 3,x2x1x2x1x1 x2以 x1x22k , x1x24 代入整理得 (k2-2)25,又=4k2-16 0, | k22 |5 解得 k(- ,25) 25,+ .k 24 0例 7点 P( x, y) 在椭圆 x 2y 21上移动时 , 求函数 u=x2+2xy+4y2 +x+2y 的最4大值 .解：点 P(x,y)在椭圆 x2y21上移动 ,可设 x2 cos于是4ysinu x 22xy4 y2x2 y= 4 cos24 sincos4sin 22 cos2sin= 2(cossin) 2cossin1令 cossint ,

11、 sincos2 sin() , |t|2 .1 ) 23 ,(|t| 2 ).4于是 u= 2(t 2t1)2(t22当 t= 2 ,即 sin()1时,u 有最大值 .4=2k+4(kZ)时, umax622 .例 8过坐标原点的直线 l 与椭圆 ( x3) 2y 21相交于 A, B两点, 若以 AB62为直径的圆恰好通过椭圆的左焦点F, 求直线 l 的倾斜角 .解：设 A(x1122,y ),B(x ,y )直线 l 的方程为 y=kx,将它代入椭圆方程整理得 (132 )x26x30(*)k由韦达定理 , x1x26(1), x1 x23(2)13k 213k 2又 F(1,0)且

12、AFBF, k AFk BF1 ,即y1y21,x11 x21将 y1 kx1 , y2kx2 代入上式整理得(k 21)x1 x2x1x21,优秀学习资料欢迎下载将 (1)式 ,(2)式代入 ,解得k 21.故直线 l 的倾斜角为或 5.366注：本题设交点坐标为参数,“设而不求” ,以这些参数为桥梁建立斜率为 k的方程求解 .例 9设集合 A= x | 4x2x1a0, xR (1) 若 A 中有且只有一个元素 , 求实数 a 的取值集合 B；(2) 当 aB 时, 不等式 x2-5 x-6<a( x-4) 恒成立 , 求 x 的取值范围 .解： (1)令 t=2x,则 t>0 且方程 4 x2 x 1a0 化为 t2-2t+a=0(*), A 中有且只有一个元素等价于方程 (*) 有且只有一个正根 ,再令 f(t)=t