高考数学总复习基础知识与典型例题立体几何

1、3. 正多面体 : 每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体 . 正多面体只有五种 , 如图 : 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 .4.球 :(1) 球面和球的概念:与定点的距离等于或小于定长的点的集合,叫做球体 ,简称球 .定点叫做球心 ,定长叫做球的半径.与定点距离等于定长的点集合叫做球面.如图的球中， O 是球心，线段OC 是半径，线段 AB 是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.球的截面的性质 :简用一个平面去截球，截面是圆；球心到截面圆心的连线垂直于截面；单球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面的半

2、径 r，有下面的关系： d 2R2r 2 ;几注 :球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆.何球面面积 S 球面 =4 R2；球体积 V 球= 4 R3.体3经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O°经线，也称为本初子午线 .经线指的是某点与地轴形成半圆圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O°经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角 .某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角.注

3、意：东西经 180°经线重合，如图1.球面距离指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离.如图 2 所示： NS 为地轴， P 所在经线为 NPS ，设 P 点所在经线为 0°经线， B 所在经线为东径 n 度 (n AOB) ，P 在北纬 m 度 (m POA )要确定 Q在地球上的位置， 必须知道 Q的经度与纬度.注 :棱柱、棱锥是常见的多面体。在正棱柱中特别要运用侧面与底面垂直的性质解题.在正棱锥中，要熟记由高 PO，斜高 PM ，侧棱 PA，底面外接圆半径 OA ，底面内切圆半径 OM ，底面正多边形半边长 OM ，构成的三棱锥， 该三棱锥四个面均

4、为直角三角形。多面体中表面上两点的最短距离。多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。关于组合体体积的计算问题。有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。因此，组合体体积的求法，即为 “加、 减” 法，关键是合理的分割，可使计算简化。关于等积变换问题(等积变换的依据是等底等高的棱

5、锥体积相等.)等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。用等积变换求点到平面的距离,是用两种不同的体积计算方法,来建立所求距离的方程,使问题得解 .异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。球是由曲面围成的旋转体。研究球，主要抓球心和半径。例 41.M=

6、 正四棱柱 ，N= 长方体 ，P= 直四棱柱 ，Q= 正方体 , 下列关系中正确的是 （）(A) QY M Y N Y P(B) QüM üN üP(C) QY N Y M Y P(D) QüN üM üP例 42. 四棱锥成为正棱锥的一个充分但不必要条件是()(A) 各侧面是正三角形(B) 底面是正方形(C) 各侧面三角形的顶角为 45 度(D) 顶点到底面的射影在底面对角线的交点上例 43. A、 B 为球面上任意两点，则通过A 、B 可作的大圆个数是 ()(A) 只能作一个(B) 无数个(C)可能作一个或零个(D)以上都不对例

7、44.长方体的三个相邻面的面积分别为2，3， 6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）(A) 7(B)56 (C)14(D)64 2例 45.将两邻边长之比为 3:4 的长方形 ABCD沿对角线 AC折成一个直二面角， 若四点 A 、B 、C、 D 的外接球的球面面积为100，则 B、 D 两点间的球面距离为（）简(A)5(B)(C) 5(D) 3单42例 46.设地球半径为R，在北纬 30°圈上有甲、乙两地，它们的经度差为120°，那几何么这两地间的纬线之长为（） (A)3 R(B)3 R (C) R (D)2 R体3例 47.如图，以正方体ABCD

8、 A1 B1C1D1 的顶点为顶点，且四个面均为直角三角形的四面体是.(要求：只写出其中的一个，并在图中画出相应的四面体)例 48. 若棱锥底面面积为150cm2 ，平行于底面的截面面积是54cm2 ，底面和这个截面的距离是 12cm，则棱锥的高为；例 49. 已知 A ，B ，C，D 为同一球面上的四点，且连接每两点的线段长都等于2，则球心到平面BCD 的距离等于 _ 。例 50. 如图，在平行六面体 AB CD A1B1C1D1 中，已知 AB=5，AD=4 ，AA1=3，AB AD ， A1AB= A1 AD=。（ 1）求证：顶点A1 在底面 ABCD 上的射影O 在 BAD 的平分线3

9、上；（ 2）求这个平行六面体的体积。1.角 ：异面直线所成的角,直线和平面所成的角,二面角 ,都化归为平面几何中两条相交直线所成的角。异面直线所成的角：通过平移的变换手段化归，具体途径有：中位线、补形法等。直线和平面所成的角：通过作直线射影的作图法得到。二面角： 化归为平面角的度量，化归途径有：定义法，三垂线定理法，棱的垂面法及面积射影法。2.距离：异面直线的距离，点面距离，线面距离及面面距离。异面直线的距离：除求公垂线段长度外，通常化归为线面距离和面面距离。线面距离，面面距离常化归为点面距离。3.计算问题：（ 1）空间角的计算步骤：一作、二证、三算异面直线所成的角范围： 0° 90

10、°方法：平移法；补形法.直线与平面所成的角范围： 0° 90° 方法：关键是作垂线，找射影.二面角范围： 0° 180° 方法：定义法；三垂线定理及其逆定理；垂面法.注：二面角的计算也可利用射影面积公式S=Scos 来计算（ 2）空间距离空 两点之间的距离 .点到直线的距离 .点到平面的距离 . 两条平行线间的距离 .间 两条异面直线间的距离 . 平面的平行直线与平面之间的距离. 两个平行平面之间的距离 .角七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离 .与七种距离之间有密切联系， 有些可以相互转化， 如两条平行线的距离可转化

11、为求点到直距线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.离在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2) 转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法 .求异面直线的距离：(1) 定义法，即求公垂线段的长 .(2)转化成求直线与平面的距离 .(3) 函数极值法， 依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.注 : 在解答立体几何的有关问题时，应注意使用转化的思想： 利用构造矩形、直角三角形、直角梯形将有关棱柱、棱锥的问题转化成平面图形去解决.将空间图

12、形展开是将立体几何问题转化成为平面图形问题的一种常用方法.补法把不规则的图形转化成规则图形，把复杂图形转化成简单图形.利用三棱锥体积的自等性，将求点到平面的距离等问题转化成求三棱锥的高. 平面图形的翻折， 要注意翻折 前后的长度、 角度、位置的变化， 翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变例 51. 空间四边形 ABCD 中， E、 F 分别为 AC、 BD中点，若 CD 2AB 4， EF AB，则EF与 CD 所成的角为 () (A)30° ( B)45 ° (C)60 ° (D)90 °例52.如图， AB=2， AC，BD， C， D， CD=

13、1 ，则直线 AB 与所成的角为（） (A)30 0(B)60 0(C)arctan1(D)45 02例53.已知正方形 ABCD ，沿对角线 AC 将 ADC 折起，设 AD 与平面 ABC 所成的角为，当取最大值时，二面角ACD等于()B( A) 1200( B) 900( C) 600(D)450例54.若三直线 PA、PB、PC 两两垂直，且PA=PB=PC=3，则点 P 到平面 ABC 的距离为（）(A)2(B) 3(C)5(D)7例 55. 等边 ABC 的边长是1， BC 边上的高是AD，沿 AD 折成直二面角，则点A 到BC 的距离是（） (A)2214(D)1(B)(C)24

14、例 56.如图，在棱长为2 的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中， O 是底面 ABCD 的中心， E是 CC1 的中点，那么异面直线OE 和 AD1 之间的距离等于 ()2(B)1(C)2(D) 3(A)2例 57.正方体 ABCD- A1B1C1D1 中，（ 1）BC1 与底面 ABCD 所成角为；（ 2）A1C 与底面 ABCD 所成的角的正切值为；（ 3）BC1 与对角面 BB1 D1D 所成的角为。例 58.若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和2a ，到棱的距离为2a，则此二面角的度数是.空例 59.二面角l为60，在其内一点 A 到平面、的距离分别为2， 3，B,

15、 C，则ABC 的周长的最小值为.间角D1C 1与A 1B 1距E离DCAOB例 60.如图，P ABCD是正四棱锥， ABCDABC111D1 是正方体，其中 AB2, PA6 .（ 1）求证： PAB1D1 ；（2）求平面 PAD 与平面 BDD1 B1 所成的锐二面角的大小；（ 3）求 B1 到平面PAD 的距离 .空1. 空间向量及其加减与数乘运算：间(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量长度相等且方向相同的有向线段表示同一向向量或相等的向量量(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广及(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：其rrrr运加法交换律： abba

16、 ;rrrrrr算加法结合律： ( ab) ca(bc) ;rrrr数乘分配律： ( ab)ab .2. 共线向量与共面向量 :(1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意两个向量总是共面的(3)共线向量定理：rr rrr rrr对空间任意两个向量a、b(b0), a / b 的充要条件是存在实数使 ab ;推论： 如果 l 为经过已知点rO，点 P 在直线 l 上的A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对任一点uuuruuurrr充要条件是存在实数 t , 满足等式 OPOAta . 其中向量 a 叫做直

17、线 l 的方向向量 .(4)共面向量定理 :urrrr rurrr如果两个向量 a, b 不共线 ,则向量 p 与向量 a,b 共面的充要条件是存在实数对x, y ，使 pxayb.推 论 ： 空 间 一 点P 位 于 平 面MAB 内 的 充 要 条 件 是 存 在 有 序 实 数 对 x, y ， 使uuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuurMPxMAyMB 或对空间任一定点O，有 OPOMxMAyMB .urr r r3.空间向量基本定理：如果三个向量a,b, c 不共面 ，那么对空间任一向量P ，存在一个rr(b1, b2 ,b3 ) ，则空间向量的直角坐标运算: 设

18、a =(a1,a2,a3), brrr a b (a 1 b1 , a 2 b 2 , a 3 b 3 ) , a ( a 1 , a 2 , a 3 )(R) ,r r a b a1b1 a 2 b 2 a3 b 3rra1a 2a 3 a b a1b , a2b2, a3b3(R)1b1b 2b 3rrrrr2 a2 2 a3 2 a b a 1b1 a2 b 2 a 3b 3 0 aa aa1空r2rrrrr(用到常用的向量模与向量之间的转化：aaaaa a )间向a, ba ba1b1a2 b2a3b3 cos量| a | | b |a12a 22a32b12b22b32及uuuruu

19、uruuur(x , y ,z )( x , y , z ) =(x x, y y ,z z)设 A( x , y , z), B(x , y ,z ) ，则 ABOB OA唯一的有序实数组urrrr空x、y、z，使 p xaybzc .r r rrr r间其中 a,b, c叫做空间的一个基底，a,b, c 都叫做基向量向推论：设 O、A 、B、 C 是不共面的四点，则对空间任一点量x、 、z, 使uuuruuuruuuruuur及yOPxOAyOBzOC ( 这里隐含 x+y+z 1).注：设四面体uuurr uuurr uuurur其ABCD 的三条棱， ABb, ACc, ADd, 其中

20、uur1r rruuruuuuruuur运AQ( a bc) 用 AQ AMMQ即证.算3P, 都存在唯一的有序实数组Q是 BCD 的重心，则向量其111222222111212121运这就是说， 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐算标减去始点的坐标则uuuruuuruuurx1 ) 2y1 )2z1 )2 ，这就是d ABABABAB(x2( y2( z2空间两点间的距离公式rr6. 法向量：若向量 a所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作 a，rr如果 a, 那么向量 a 叫做平面的法向量 .法向量的用法：r 利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，

21、设n 是平面的法向量， AB 是平面的一条射线，uuuruuruuurr其中 A，则点 B 到平面的距离为| ABn |)uur. (实质是AB 在法向量 n 方向上的投影的绝对值| n |4. 两个向量的数量积rrrrrr(1)r r向量 a,b 的数量积 a ba b cos a,b ;gr(2)r rrr rrrr r0; ar 2ar2 .向量的数量积的性质: agea cosa ,e ( e 是单位向量 ) ； aba b(3)向量的数量积满足如下运算律:rrrrrrrrrr交换律 : abba ; 与实数相乘的结合律( a )b(a b) = a (b) ;rr rrrrrr rr

22、 rrr分配律 : a(bc)a bac . 注 :向量的数量积不满足结合律即a(bc)(a b)c5. 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，rr r且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底， 常用 i ,j , kr rr来表示在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以 i , j , k 的方向为正方向建立三条数轴 : x 轴、 y 轴、 z 轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点rr rO叫原点，向量 i ,j ,k都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy 平面、 yOz平面、 z0x 平面作空间直角坐标系O xyz 时

23、，一般使 xOy=1350 , yOz=900 r, 使对于空间任一向量a ，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组a1 ,a2 ,a3rrrrraa ia ja k , 有 序 实 数 组 a ,a ,a 叫 做 a 在 空 间 直 角 坐标 系 Oxyz中的坐标，记为r123123uuura = (a1 , a2 , a3 ) 对于空间任一点A，对应一个向量OA ，于是存在唯一的有序实数组x，y ， z，使uuurrrrOAxiy jzk ，即点 A 的坐标为 (x, y, z) .urrl, 利用法向量可求二面角的平面角定理：设 m, n 分别是二面角中平面的法向量， 则ur rm

24、, n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 .ur rurrlurr的法向量）.二面角的平面角mn 或arc cosm n（ m ，n 为平面，arc cos urrur r| m |n |uuurur| m | n |ur直线 AB 与平面所成角arc sinABm的法向量 ).uuurur( m 为平面uuuruur| AB | m |r异面直线 l1 , l 2 间的距离d| CDn |r( l1, l2 的公垂向量为 n ， C、D 分别是 l1 , l 2 上任| n |ruuur一点， d 为 l1,l 2 间的距离 ). ( 实质是 CD 在公垂向量n 方向上的投影的绝对

25、值)rrrrrurr例 61.已知向量 a ( 1，3， 2) ，b ( 2，0， 2) ，c ( 0，2，1) ，m 2a3bc ，ur)则 m 的模为 ( A)133( B)137(C)12(D)13例 62. 如图，已知空间四边形ABCD， M 、 G 分别是 BC、 CD 的中点，连结AM 、 AG、1) (A)AG( B)CG (C)BC1BCMG，则 AB+(BD BC) 等于 ( D)例 63.uuur2 uuuruuur60ouuuruuuruuur 2空若 OA 、 OB 、 OC 三个单位向量两两之间夹角为,则|OA + OB + OC |( )(A)6(B)6(C)3(D

26、)3间r例 64.uuurruuuruuurr()向设 OA a ， OB b ， OC c ，则使 A、 B、C 三点共线的条件是量rrrr1 r1 rrrrrrr及(A) cab ，(B) cab(C) c3a4b(D) c4a 3b其23uuuruuuruuuruuur运例 65.设 A， B， C， D 是空间不共面的四点，且满足ABAC0， ACAD0 ，uuuruuur0 ，则 BCD 是(算ABAD)( A) 钝角三角形( B) 直角三角形( C) 锐角三角形r( D) 不确定例 66.rrrrrr设 a 、b 是平面内的两个非零向量， 则 na 0，nb 0 是 n 为平面的法

27、向量的 ()(A)充分条件(B)充要条件(C) 必要条件(D) 既非充分又非必要条件例 67.若 A( 1，2，3) 、B(2， 4，1)、C( x， 1， 3)是直角三角形的三个顶点，则xuurrrruurrrr uurrrruuruuruur例 68.已知 F1i2 j3k ， F22i3 jk ， F33i4 j5k ，若 F1，F2，F3共同作用在一个物体上，使物体从点M1(1, 2, 1)移到点 M 2(3, 1, 2)，则合力所作的功为 _.例 69. A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D (10,14,17) 这四个点是否共面 _.(注 :共面填“是”

28、,不共面填“否”)例 70.如图直角梯形OABC 中， COA OAB， OC 2， OA AB 1， SO平2面 OAB C， SO=1，以 OC、 OA、 OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立直角坐标系 O-xyz.uuuruuur求 SC 与 OB 的夹角的大小（用反三角函数表示）；rrr设 n(1, p, q), 满足 n平面 SBC, 求 : n 的坐标 ; OA 与平面 SBC 的夹角（用反三角函数表示） ； O 到平面 SBC 的距离 .rrruuurruuur的坐标为设 k(1,r , s)满足k且kOB.填写: k_.SC异面直线SC、 OB 的距离为 _.（注：只要

29、求写出答案）数学基础知识与典型例题 (第九章直线、平面、简单的几何体)答案例 1.C例 2.A例 3.D例4.A 例5.D例6.B 例7., , , , ,例 8.8例 9.4例 10.解: BC a, BAC 45° , ACa, AB2 a, ABD 中， AB 2 a， DAB30°， BD 6 a,AD = 2 6 a,作 CE/AB ,且 CE=AB, BCE=135° ,则 BE=5 a, 又 CD =15 a, BE =5 a,333DE=51 a, DCE 是 AB 与 CD 所成的角或其补角 , cosDCE= DC2 EC2DE2=30 , c

30、os =30 .32DC EC1010例 11. D 解析： b 与 可能相交，可能平行，也可能b 在 内，故选 (D)例 12.C 例 13.C例 14.C例 15.D例 16. 1 个，无数个例 17. 20例18.3例 19.(1)过 F 作 FG AB 于 G， FG /AE， FG 1 AE，又 CD平面 ABC，AE平面 ABC， CD/AE，2CD 1 AE， FG /CD ， FGCD， 四边形 CDFG 是平行四边形， DF /CG， CG平面 ABC， DF / 平2面 ABC；(2) Rt ABE 中， AE 2a，AB 2a，F 为 BE 中点，AFBE，又 DF FG

31、 ， DF AE， DF 平面 ABE， DF AF ，又 BE AF ， AF平面 BDF ， AF BD 。例 20.解析：（ 1）欲证 EG平面 BB1 D1D，须在平面 BB1D1 D 内找一条与 EG 平行的直线，构造辅助平面 BEGO 及辅助直线 BO，显然 BO即是 .（ 2）按线线平行线面平行面面平行的思路，在平面 B 1D 1H 内寻找 B1D 1 和 OH两条关键的相交直线，转化为证明： B1 D1平面 BDF ， OH平面 BDF。为证 A1O平面 BDF ，由三垂线定理，易得BD A1O，再寻 A1O 垂直于平面 BDF 内的另一条直线。猜想 A1O OF.借助于正方体

32、棱长及有关线段的关系计算得：A1O2+OF2=A1F2 A1OOF.（ 4） CC1平面 AC CC1BD 又 BD AC BD平面 AA1C 又 BD平面 BDF 平面 BDF 平面 AA1C例 21.B例 22.A例 23.B 例 24.A例 25.A 例 26.A例 27.C 例 28.例 29.45例 30. 分析： 此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解PA AB, APB 90°在 RtAPB 中, ABP 45° ,设 PAa, 则 PBa,AB 2 a, PB PC，在 Rt PBC 中， PBC60°,PBa.BC 2a,PC 3

33、a. APPC,在 RtAPC 中， ACPA2 PC 2 a 2 ( 3a)2 2a(1)PCPA,PC PB,PC平面 PAB， BC 在平面 PBC 上的射影是BP. CBP 是 CB 与平面 PAB 所成的角 PBC60°, BC 与平面 PBA 的角为 60°.(2)由上知， PAPBa,ACAB 2a.M 为 AB 的中点，则AB PM， AB CM.AB 平面 PCM.说明 :要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.例 31.D例 32. C 例 33.B 例 34.C 例 35.D 例 36.C 例 37.arc cos1例 38.6

34、5 例 39. 7a32例 40. (1) PD底面 ABCD ， AC PD，又底面 ABCD 为正方形， ACBD，而 PD 与 BD 交于点 D ， AC平面 PBD ，又 AC 平面 PAC ，平面 PAC平面 PBD .（ 2）记 AC 与 BD 相交于 O，连结 PO，由（ 1）知， AC平面 PBD， PC 在平面 PBD 内的射影是PO， CPO 就是 PC 与平面 PBD 所成的角， PD=AD,在 RtPDC 中， PC=2 CD ，而在正方形ABCD 中，12OC=AC=CD ，在 Rt POC 中，有 CPO=30° .即 PC 与平面 PBD 所成的角为30

35、°.2 2（ 3）在平面 PBD 内作 DEPO 交 PB 于点 E，连 AE ，则 PC平面 ADE .以下证明：由（ 1）知， AC平面 PBD， AC DE，又 PO、AC 交于点 O， DE平面 PAC， DEPC，（或用三垂线定理证明）而 PD平面 ABCD ， PDAD，又 AD CD， AD平面 PCD ， AD PC， PC平面 ADE，由 AC 平面 PBD ，过点 O 作 OF DE 于 F，连 AF ，由三垂线定理可得，AF DE ， OFA 是二面角A ED B 的平面角，设 PD=AD=a，在 Rt PDC 中，求 OF=6 a,而 AO=2 a,在 Rt AOF 中， OFA=60 °，即所求的二面角62A EDB 为 60° .例 41.B 例 42.A 例 43.D 例 44.C 例 45.C 例 46.A 例 47. C1 -CAB 或 A 1-ABC 等 例 48. 30c m 例 49.66依题意知，这四点为