高考数学知识点复习12圆锥曲线部分

1、知识点大全圆锥曲线部分一、椭圆：（ 1）椭圆的定义： 平面内与两个定点F1 , F2 的距离的和等于常数 （大于 | F1F2 | ）的点的轨迹。第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(0e 1) 的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注意： 2a| F1 F2 | 表示椭圆； 2a| F1F2|表示线段 F1F2 ； 2a | F1 F2| 没有轨迹；（ 2）椭圆的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程x2y 21(ab 0)y 2x 21( ab0)a 2b

2、2a 2b 2参数方程图形顶点对称轴焦点焦距离心率准线xa cos(为参数 )xb cosybsiny( 为参数)a sinyyB 2PB2PF 2xA1A1A 2 xOA 2F 1F2OB1F 1B 1A1 (a,0), A2 (a,0)A1 (b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2 (0,b)B1 (0,a), B2 (0, a)x 轴， y 轴；短轴为2b ，长轴为2aF1 (c,0), F2 (c,0)F1 (0,c), F2 (0, c)| F1F2 | 2c(c 0)c 2a2b 2ec (0 e 1) （离心率越大，椭圆越扁）axa 2ya 2cc通径2b 2a2

3、ep （ p 为焦准距）知识点大全焦半径| PF1 | a ex0| PF1 | a ey0| PF2 | a ex0| PF2 | a ey0焦点弦| AB | 2a e( xAxB )| AB | 2a e( yAyB )仅与它的中点的横坐标有关仅与它的中点的纵坐标有关焦准距a2b2pccc二、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1F2 |）的点的轨迹。第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e(e1) 的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直线叫做准线。常数叫做离心率。注

4、意：|PF1 | |PF2 |2a 与 | PF2|PF1 |2a（ 2a | F1F2| ）表示双曲线的一支。2a | F1 F2 | 表示两条射线； 2a | F1 F2| 没有轨迹；（ 2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：中心在原点，焦点在x 轴上中心在原点，焦点在y 轴上标准方程x2y 21( ab0)y 2x21(ab 0)a 2b2a 2b2图形顶点对称轴焦点焦距离心率Py F 2yB2PxxF1 A1 OA2F2OB 1F1A1 (a,0), A2 (a,0)B1 (0, a), B2(0, a)x 轴， y 轴；虚轴为2b ，实轴为 2aF1 (c,0), F2 (c,0)F

5、1 (0, c), F2(0, c)| F1F2 | 2c(c 0)c 2a2b 2e c (e 1) （离心率越大，开口越大）a知识点大全准 线xa 2ya 2cc渐近线yb xya xab通 径2b 22ep （ p 为焦准距）aP 在左支|PF1|a ex0P 在下支|PF1|a ey0焦半径| PF2 | a ex0| PF2 | a ey0| PF1 | aex0| PF1 | aey0P 在右支P 在上支|PF2 |a ex0| PF2 | a ey0焦准距pca 2b2cc（ 3）双曲线的渐近线：求双曲线 x 2y21 的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得 x2y 20 ，因式

6、分a 2b2a2b 2解得到。与双曲线 x 2y 21共渐近线的双曲线系方程是x2y 2；a 2b2a2b 2（ 4）等轴双曲线为 x 2y 2t 2 ，其离心率为2三、抛物线：（ 1）抛物线的定义：平面内与一个定点的距离等于到一条定直线的距离点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。（ 2）抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0焦点在 x 轴上，焦点在 x 轴上，焦点在 y 轴上，焦点在 y 轴上，开口向右开口向左开口向上开口向下标准方22 pxy 22 pxx22 pyx22 pyy程lyPPyylyxlOx图形PF xxOFFOPFOl顶点O(0,0)对称轴x 轴y 轴知识点大

7、全焦点F ( p ,0)F (p ,0)F (0, p )F (0,p)22e122离心率准线xpxppp22yy22通径2 p焦半径|PF| x0 |p| PF | | y0|p22焦点弦x1x2p2p（当时，为 2 p 通径）sin 22焦准距p如： AB 是过抛物线 y 22px ( p0)焦点F的弦， M 是 AB的中点， l 是抛物线的准线，MN l ，N 为垂足， BDl ， AHl ， D ， H 为垂足，求证：（1） HFDF ；（2） ANBN ； （3） FNAB ；lyAH（ 4）设 MN 交抛物线于 Q ，则 Q 平分 MN ；QM1 p 2 ；Nxp2 ， x1 x2

8、（ 5）设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ，则 y1 y2OFE4DB（ 6）112（7） A, O, D 三点在一条直线上|FA|FB|；p（8）过 M 作 MEAB ，ME 交 x 轴于 E ，求证：| EF |1 | AB |，|ME |2|FA|FB |；2四、圆锥曲线的统一定义：若平面内一个动点M 到一个定点 F 和一条定直线 l 的距离之比等于一个常数e(e0) ，则动点的轨迹为圆锥曲线。其中定点F 为焦点，定直线l 为准线， e 为离心率。当 0 e 1 时，轨迹为椭圆；当 e 1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。五、轨迹方程的求法：（ 1）直

9、接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系“翻译”成含x, y 的等式就得到曲线的轨迹方程。如：已知ABC 底边BC 的长为8，两底角之和为135o，求顶点且的轨迹方程。（ 2）定义法： 其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则根据定义直接求出动点的轨迹方程。如：已知圆x 2y 216 ，定点A(2,0)，若 P 是圆上的动点，AP 的垂直平分线交OP于 R，求R 的轨迹方程。（ 3）几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等）可以用几何法，列出几何式，再代人点的坐标较简单。，知识点大全如： AB

10、 是 O 的直径， 且 | AB |2a ， M 为圆上一动点， 作 MNAB ，垂足为 N ，在 OM 上取点 P ，使 |OP | | MN |，求点 P 的轨迹。（ 4）相关点法（代人法） ：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的；如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程。如 ： 在 双 曲 线 x 2y 21( a 0, b 0) 的 两 条 渐 近 线 上分 别 取 点 A 和 B ， 使a 2b2|OA| |OB|c2 （其中 O 为坐标原点， C

11、为双曲线的半焦距） ，求 AB 中点的轨迹。（ 5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点 ( 含参数 ) 的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程。常与参数法并用。如：己知两点P( 2,2) ，Q (0,2)以及一直线l : yx ，设长为2的线段AB 在直线l 上运动，求直线PA和QB的交点M的轨迹方程。（ 6）整体法（设而不求法） ：当探求的轨迹较复杂时，可扩大考察视角，将问题中的条件、结论的各种关系看成一个整体，从整体出发运用整体思想，注重整体结构的挖掘和分析。如：以 P( 2,2) 为圆心的圆与椭圆x22y2m 交于 A, B 两点

12、， 求 AB 中点 M 的轨迹方程。（ 7）参数法： 有时求动点应满足的几何条件不易得出， 也无明显的相关点， 但却较易发现 （或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等） 的制约，即动点坐标 ( x, y) 中的 x, y 分别随另一变量的变化而变化，称这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参数即可；在选择参数时，选用的参变量要以具有某种物理或几何的性质，如时间、 速度、距离、角度，有向线段的数量、直线的斜率，点的横、纵坐标等，也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围 的对动点坐标取值范

13、围的影响。注意：所有的求轨迹的问题都要根据题意，求其中x, y 的取值范围。六、直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）会利用方程组解的状况确定直线与圆锥曲线的位置关系；解此类问题一般从直线与圆锥曲线联立的方程组的解的个数来入手。 （要注意考虑二次项系数为零，思考此时几何意义），也通过图形进行讨论。 （要注意的是：与对称轴、渐近线平行的情况）如：试确定实数A 的不同取值，讨论直线y k( x 1) 与双曲线 x24 y 24 的公共点的个数。知识点大全（ 2）会求直线被圆锥曲线所截的弦长，弦的中点坐标：解决此类问题时，由于直线和圆锥曲线相交，故其方程组的0 （尤其含有待定的系数是否则会增解）要注意韦达定理的应用，而韦达定理的前提条件是0 。；涉及到中点坐标，如：设抛物线经过两点( 1,6) 和 (1, 2) ，对称轴与x 轴平行，开口向右，直线y2x7被抛物线截得的线段长是4 10 ，求抛物线方程。（ 3）当直线与圆锥曲线相交时，求在某些给定条件下地直线线方程；解此类问题，一般是根据条件