第1.2节充分统计量与完备统计量

1、一、充分统计量一、充分统计量二二、因子分解定理因子分解定理三、完备统计量三、完备统计量(不讲不讲）第第1.21.2节节 充分统计量与完备统计量充分统计量与完备统计量四、指数型分布族（四、指数型分布族（不讲不讲）1. 问题的引出问题的引出 一、充分统计量一、充分统计量22( ,),nNX S 例例如如，设设总总体体服服从从在在上上一一节节中中，用用222,nX S去去估估计计总总体体的的 和和， 是是否否将将 和和的的信信息息完完全全提提炼炼出出来来呢呢？ 2. 定义定义 定义定义 1.41.4 1922年英国统计学家年英国统计学家Fisher提出了描述总体信息提出了描述总体信息是否被完全提炼的

2、概念是否被完全提炼的概念充分统计量充分统计量.1212,.,( , )(,.,)(nnXXXXF xTT XXX 设设是是来来自自总总体体 具具有有分分布布函函数数的的一一个个样样本本，为为一一个个 一一维维或或多多12),.,TnTtXXX维维 统统计计量量，当当给给定定时时，若若样样本本（）的的T条条件件分分布布( (离离散散总总体体为为条条件件概概率率，连连续续总总体体为为条条件件密密度度) )与与参参数数 无无关关，则则称称 为为 的的充充分分统统计计量量. .即即1212(,.,|, )(,.,|)nnP XXXTtP XXXTt 3. 充分统计量的意义充分统计量的意义例例1(p6

3、1(p6 例例1.31.3)1 ( , ),XBp设设总总体体 服服从从两两点点分分布布即即111 0(), ,xxP Xxppx 12(,.,)TnXXXX是是来来自自总总体体 的的一一个个样样本本，试试证证11.niiXXpn 是是参参数数 的的充充分分统统计计量量证证利用定义证明其是充分统计量利用定义证明其是充分统计量1122,.,|nnkP Xx XxXxXn1122,.,nnkP Xx XxXxXnkP Xn 1122,.,nnP Xx XxXxnXkP nXk 112211,.,nnniiniiP Xx XxXxXkPXk 1122110,.,nnniniiiP Xx XxXxxk

4、PXk 其其他他1122110 . ,nnniniiiP Xx P XxP XxxkPXk ，其其他他110, , nikinxkC 其其他他，.pXp显显然然该该条条件件分分布布与与 无无关关，因因而而 是是 的的充充分分统统计计量量说明说明利用定义判别充分统计量比较麻烦，因而需利用定义判别充分统计量比较麻烦，因而需要需求更好的判别准则。要需求更好的判别准则。111110(),(), nniiiixnxnikkn kinppxkC pp 其其他他，二、因子分解定理二、因子分解定理1. 充分统计量的判别准则充分统计量的判别准则 定理定理1.3(因子分解定理因子分解定理)(Fisher-Neym

5、an准则准则)(1) 连续型情况连续型情况12( , ),(,.,)TnXf xXXX设设总总体体 具具有有分分布布密密度度12(,.,)nT XXXT是是一一个个样样本本，是是一一个个统统计计量量，则则是是 的的充充分分统统计计量量的的充充要要条条件件是是：样样本本的的联联合合分分布布密密度度可可以以分分解解为为12121( )(, )(,.,) ( (,.,), )ninniLf xh x xxg T x xx 1212,.,.,.nnhx xxgTx xx其其中中 是是的的非非负负函函数数且且与与 无无关关， 仅仅通通过过 依依赖赖于于(2) 离散型情况离散型情况1 2( )( )(,

6、),(, ,.),iiXP Xxp xi设设总总体体 的的分分布布律律1212(,.,)(,.,)TnnXXXT XXX是是一一个个样样本本，是是一一T个个统统计计量量，则则 是是 的的充充分分统统计计量量的的充充要要条条件件是是：样样本本的的联联合合分分布布律律可可以以分分解解为为12121( )(, )(,.,) ( (,.,), )innniP xh x xxg T x xx 1212,.,.,.nnhx xxgTx xx其其中中 是是的的非非负负函函数数且且与与 无无关关， 仅仅通通过过 依依赖赖于于说明：说明：T如如果果参参数数 为为向向量量时时，统统计计量量 也也是是随随机机向向量

7、量，例例如如22 ( ,),(,).nTX S则则相相应应的的统统计计向向量量可可以以为为以下将通过几个例子来说明判别法则的应用以下将通过几个例子来说明判别法则的应用证明涉及测度论，从略证明涉及测度论，从略例例2(p8 例例1.4) 根据因子分解定理证明例根据因子分解定理证明例2.32.3解解1122,.,nnP Xx XxXx111111()() ()nnniiiiiixnxxnppppp 1111111() ()() ()niixnnnnXnpppppp 121212111(,.,), (,.,), ( (,.,), )() (),nnnnTnT x xxX h x xxg T xpxxp

8、Xp 其其中中因因而而， 是是充充分分统统计计量量例例3(p8 3(p8 例例1.51.5)1211(,.,)( ).TnniiXXXPXXn 设设是是来来自自泊泊松松分分布布的的一一个个样样本本，试试证证是是参参数数 的的充充分分统统计计量量解解111221,.,e!niixnnnniiP XxXxXxx 11111ee!niixnnnXnnnniiiixx 12121121(,.,), (,.,)!,(,.,),)e, nnniinTnnT xxxX h xxxxg T xxxX其其中中因因而而是是充充分分统统计计量量. . 例例4(p9 4(p9 例例1.61.6)1211(,.,).TnniiXXXXXn 设设是是来来自自正正态态总总体体N( ,1)N( ,1)的的一一个个样样本本，试试证证是是参参数数 的的充充分分统统计计量量 解解211212() ()e()niixnL 211122exp()()ninixxx 22111222exp()() ()nininxxx 22111222exp() exp() ()nininxxx 12212121212122(,.,),(,.,)exp() ,(,.,),)exp() ,()nnniinnT xxxxh xxxxxng T xxxTX其其中中因因