1959年至2016年历届IMO精彩试题不含问题详解

1、实用文档 文案大全 第一届（1959 年） 罗马尼亚 布拉索夫（Bra?ov，Romania） 1. 求证314421?nn 对每个自然数 n 都是最简分数。（波兰） 2. 设Axxxx?1212，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： a)2?A；b)A=1；c)A=2。（罗马尼亚） 3. a、b、c 都是实数，已知关于 cos x 的二次方程 0coscos2?cxbxa 试用 a,b,c 作出一个关于 cos 2x 的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1 时比较 cos x 和 cos 2x 的方程式。（匈牙利） 4. 试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边

2、上的中线是两直角边的几何平均值。（匈牙利） 5. 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以 AM、MB 为底作正方形AMCD、 MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是 P、Q，设这两个外接圆又交于 M、N。 a) 求证：AF、BC 相交于N点； b) 求证：不论点M如何选取，直线MN都通过定点S； c) 当M在A与B之间变动时，求线段PQ的中点的轨迹。（罗马尼亚） 6. 两个平面P、Q 的公共边为 p，A 为P上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D 分别落在平面P和Q上。（捷克斯洛伐克）

3、第二届（1960 年） 罗马尼亚 锡纳亚（Sinaia，Romania） 1. 找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且商等于N的各位数字的平方和。（保加利亚） 2. 寻找使下式成立的实数x：（匈牙利） ? ?92211422?xxx 3. 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证：（罗马尼亚） ? ?annh14tan2? 实用文档 文案大全 4. 已知从A、B两点引出的高线长ha、hb以及从 A引出的中线长ma，求作三角形ABC。（匈牙利） 5. 正方体ABCD-A'B'C

4、'D'（上底面 ABCD，下底面 A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a) 求XY中点的轨迹； b) 求a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ 的点Z的轨迹。（捷克斯洛伐克） 6. 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。 令V1 为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 a) 求证：V1不等于V2； b) 设V1=kV2，求k的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角。（民主德国） 7. 一个等腰梯形的两底为a、c，高为h。 a) 在这个等腰梯形的对称轴上，找到所有的点P，使

5、以P为顶点，且经过梯形腰的两个端点的角为直角； b) 计算P点到两底的距离； c) 判断在什么情况下P点确实存在。讨论各种情况。（保加利亚） 第三届（1961年） 匈牙利 维斯普雷姆（Veszprém，Hungary） 1. 设a，b为常数，解方程组 ?22222zxybzyxazyx，并给出a和b满足什么条件时才能使x、y、z为互不相同的正数。（匈牙利） 2. 设a、b、c为三角形的三条边，其面积为S 。证明Scba34222?并说明何时取等号。（波兰） 3. 解方程1sincos?xxnn，n是自然数。（保加利亚） 4. 设P是三角形P1P2P3内一点。直线P1P，P2P，P3P

6、分别与其对边相交于Q1，Q2，Q3。 证明数字332211,PQPPPQPPPQPP至少有一个不大于2，也至少有一个不小于2。（民主德国） 5. 作三角形ABC满足AC=b，AB=c，且AMB=，其中M是线段BC的中点且<90 °。证明：当且仅当bcb?2tan?时可作出此三角形，并说明何时等号成立。（捷克斯洛伐克） 6. 三个不共线的点A、B、C在平面的同一侧；假设平面ABC不与平面平行。在平面上任取三个点A'、B'、C'。设L、M、N分别为线段AA'，BB'，CC'的中点，G为三角形LMN的重心（不考虑使L、M、N不能构成三角

7、形的情况）。问：当A'、B'、C'各自变化时，G的轨迹是什么？（罗马尼亚） 第四届（1962 年） 捷克斯洛伐克 捷克布杰约维采（?eské Budjovice，Czechoslovakia） 1. 找出具有下列各性质的最小正整数n： a) 它的最后一位数字是 6； 实用文档 文案大全 b) 如果把最后的6去掉并放在最前面，所得到的数是原来数的4倍。（波兰） 2. 试找出满足下列不等式的所有实数 x： 2113?xx（匈牙利） 3. 已知正方体ABCD-A'B'C'D'（ABCD、A'B'C'D'

8、分别是上下底）。一点X沿着正方形ABCD的边界以方向ABCDA作匀速运动；一点Y以同样的速度沿着正方形B'C'CB的边界以方向 B'C'CBB'运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B'开始运动。求线段XY的中点的轨迹。（捷克斯洛伐克） 4. 解方程 cos2x+cos22x+cos23x=1。（罗马尼亚） 5. 在圆K上有三个不同的点A、B、C。试在K上再作出一点D使得这四点所形成的四边形有一个内切圆。（保加利亚） 6. 一个等腰三角形，设R为其外接圆半径，内切圆半径为r ，求证这两个圆的圆心的距离是)2(rRR?。（民主德国） 7. 求证：正四

9、面体有5个不同的球，每个球都与这六条边或其延长线相切；反过来，如果一个四面体有5个这样的球，则它必然是正四面体。（苏联） 第五届（1963年） 波兰 弗罗茨瓦夫（Wroclaw，Poland） 1. 找出下列方程的所有实数根（其中p是实参数）： xxpx?1222（捷克斯洛伐克） 2. 给定一点A及线段BC，设空间中有一点使得以该点为顶点，一边通过A点，另一边与线段BC相交的角为直角，试求出所有满足条件的点的轨迹。（苏联） 3. 在一个n边形中，所有内角都相等，相连的边长度满足a1a2an。 求证：所有边长都相等。（匈牙利） 4. 设 y 是一个参数，试找出方程组?51445334223112

10、5yxxxyxxxyxxxyxxxyxxx的所有解x1，x2，x3，x4，x5。（苏联） 5. 求证2173cos72cos7cos?。（民主德国） 6. 五个同学A、B、C、D、E 参加竞赛，一种猜测说比赛结果的名次依然是ABCDE。但是实际上没有一位同学的名次被猜中，而且预测中名次相邻的同学也没有真的相邻（例如，C、D两位同学名次不是(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)中的任何一种）。还有一种猜测说结果会是DAECB的顺序。实际上是恰好有两个同学所得的名次与预测的一样；而且有两对同学（4个不同的同学）的名次像预测中的一样是相连。试讨论最后的名次如何？（匈牙利） 第六届（1964

11、年） 苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union） 1. a) 求所有正整数n使得2n1能被7整除； 实用文档 文案大全 b) 求证不存在正整数n使得2n+1能被7整除。（捷克斯洛伐克） 2. 假设a、b、c是三角形的三边长，求证： abccbacbcabacba3)()()(222?（匈牙利） 3. 三角形ABC的三边长分别为a、b、c。分别平行于三角形ABC的各边作三角形ABC内切圆 的切线，每条切线都在ABC中又切出一个小三角形，再在每个这样的小三角形中作内切圆，求这四个内切圆的面积之和（用a、b、c表示）。（南斯拉夫） 4. 十七个人互相通信，每一个人都和其他人写信。在他们的

12、信上一共讨论有三个不同的话题，每两个人只讨论一个话题，求证：这些人当中至少有三个人他们所讨论的话题是一样的。（匈牙利） 5.平面上有五个点，任意两点的连线都不平行，也不垂直，现从每一个点向其他四点两两连接的直线作垂线，试求出所有这些垂线的交点的最大数目。（罗马尼亚） 6.四面体ABCD的中心是D0 ，分别过A、B、C作DD0的平行线，这些线分别交平面BCD、 CAD、ABD于点A1、B1、C1，求证：ABCD的体积是A1B1C1D0的三分之一；再问如果D0为三角形 ABC 内的任意一点，结果是否仍然成立？（波兰） 第七届（1965 年） 民主德国 柏林（Berlin，German Democr

13、atic Republic） 1. 找出所有的x（0x2 ）使其满足22sin12sin1cos2?xxx。（南斯拉夫） 2. 如下方程组 ?000333232131323222121313212111xaxaxaxaxaxaxaxaxa 其中x1、x2、x3未知。系数满足以下条件： a) a11、a22、a33为正数； b) 其余系数是负数； c) 在每个方程中，系数的和是正数。 证明该方程组只有唯一解x1=x2=x3=0。（波兰） 3. 给出四面体ABCD，其中AB和CD长度分别为a和b。异面直线AB和CD的距离为d，夹角为。四面体ABCD被平面分为两部分，平面平行于AB和CD。AB和CD

14、到平面的距离的比为k。计算出这两部分的体积之比。（捷克斯洛伐克） 4. 找出所有满足条件的四个实数x1、x2、x3、x4，它们中任何三个数的乘积加上第四个数的和都等于2。（苏联） 5. 给出三角形OAB，其中AOB是锐角。M是边AB上除O外的任意一点，从M点向OA和OB作垂线，垂足为P、Q。设三角形OPQ的垂心为H。当M在下列范围移动时，求H的轨迹。 a) 边AB； b) 三角形OAB内部。（罗马尼亚） 6. 在平面上给出了n个点（n3）。每对点都有线段相连。令d为这些线段中最长的线段的长度。我们定义d就是这个点的集合的直径。证明在给出的点的集合中长度为d的线段至多有n条。（波兰） 实用文档

15、文案大全 第八届（1966 年） 保加利亚 索菲亚（Sofia，Bulgaria） 1. 在一次数学竞赛中共有A、B、C三道题，25名参赛者每人至少答对了一题。在所有没有答对A的学生中，答对B的人数是答对C的人数的两倍，只答对问题A的人数比既答对A又至少答对其他一题的人数多1。又已知在所有恰好答对一题的参赛者中，有一半没有答对A。请问有多少学生只答对B？（苏联） 2. 令a、b、c为三角形的三边，其对角分别为、 。证明如果)tantan(2tan?baba?，那么三角形是等腰三角形。（匈牙利） 3. 求证：从正四面体的内切圆圆心到各顶点距离之和小于从空间中任意其它点到各顶点的距离之和。（保加利

16、亚） 4. 求证：对于任一自然数n ，以及任一实数tkx2?（t=0,1，n；k为整数），都有 xxxxxnn2cotcot2sin1.4sin12sin1?（南斯拉夫） 5. 解方程组： 1111334224114443223113442332112441331221?xaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaaxaa 其中a1、a2、a3、a4是四个不同的实数。（捷克斯洛伐克） 6. 已知三角形ABC，K、L、M分别是BC、CA、AB的内点。求证三角形AML、BKM、CLK之中至少有一个三角形的面积不大于三角形ABC的四分之一。（波兰） 第九届（1967 年） 南斯拉

17、夫 采蒂涅（Centinje，Yugoslavia） 1. 在平行四边形ABCD中，AB=a，AD=1，BAD=A，且三角形ABD 是锐角三角形。求证：当且仅当AAasin3cos?时，以A、B、C、D为圆心，半径为1的四个圆能覆盖这个平行四边形。（捷克斯洛伐克） 2. 求证：只有一条边大于1 的四面体体积不大于81。（波兰） 3. 令k，m，n为自然数且满足m+k+1是一个大于n+1的质数，cs=s(s+1)。求证： ).()(21knmkmkmcccccc?能被乘积c1c2cn整除。（英国） 4. 三角形A0B0C0和A1B1C1是锐角三角形。考虑所有与三角形A1B1C1相似且外接于三角形

18、 A0B0C0的所有三角形ABC（即BC边包含A0，CA边包含B0，AB边包含C0），试构造出满足此条件的面积最大的三角形ABC。（意大利） 实用文档 文案大全 5. 考虑数列cn，其中 .82128222128211nnnnaaacaaacaaac? 其中a1、a2、a8是不全为零的实数。如果数列cn中有无穷多项等于0，试求所有使cn=0的自然数n。（苏联） 6. 在一次运动会中，连续n天内（n>1）一共颁发了m块奖牌。在第一天，颁发了一块奖牌以及剩下m-1个中 的71 ；在第二天颁发了两块奖牌以及剩下的71；依此类推。在最后一天即第n天，剩下的n块奖牌全部颁发完毕。问该运动会共进行了

19、几天，一共颁发了多少块奖牌？（匈牙利） 第十届（1968 年） 苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union） 1. 求证有且仅有一个三角形，它的边长为连续整数，有一个角是另一个角的两倍。（罗马尼亚） 2. 试找出所有自然数n，其各位数的乘积等于n2-10n-22。（捷克斯洛伐克） 3. 考虑以下方程组 1212132222121.xcbxaxxcbxaxxcbxaxxcbxaxnnnnn? 其中x1、x2、xn是未知数，a、b、c为实数并且a0。令=(b-1)2-4ac。证明对这个方程组 a) <0，无解； b) =0，有且只有一个解； c) >0，有一个以上的解。（保加

20、利亚） 4. 求证任何四面体上都有一个顶点使得经过该顶点的三条边可构成一个三角形的三边。（波兰） 5. 设f是定义域和值域都为实数集的函数并且对于任一实数x和任一正数a，等式 2)()(21)(xfxfaxf?都成立。 a) 证明函数f是周期函数（比如，存在一个正数b使得对于所有x满足f(x+b)=f(x)）。 b) 当a=1时，给出一个非常值函数的例子。（民主德国） 6. 对于任一自然数n，试求和 .22.422122101?kkkkknnnn（x表示不大于x的最大整数）。（英国） 实用文档 文案大全 第十一届（1969 年） 罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania） 1.

21、 证明对任意正整数a和任一正整数n都满足：数字z=n4+a不是质数。（民主德国） 2. 令a1，a2，an为实数常数，x为实数变量，且 123212)cos(.2)cos(2)cos()cos()(?nnxaxaxaxaxy。若f(x1)=f(x2)=0，证明对于一些整数m有x2-x1=m。（匈牙利） 3. 对每一个k = 1, 2, 3, 4, 5，试找出a>0应满足的充要条件，使得存在一个四面体，其中k个边长均为a，其余6-k个边的长度均为1。（波兰） 4. 以AB为直径作半圆。C是上不同于A和B的一个点，D是C到AB的垂线的垂足。我们作三个圆1、2、3都与直线AB相切。在这里，1是

22、ABC的内切圆，而2和3都与直线CD和圆相切，且位于直线CD的两边。证明1、2、3还有一条公切线。（荷兰） 5. 给出平面上n个点（n>4） ，其中任意三点都不共线。证明至少有?23n个凸四边形其顶点都是给出的点其中的四个。（蒙古） 6. 求证：对于所有实数x1、x2、y1、y2、z1、z2，其中x1>0，x2>0，02111?zyx，02222?zyx ，满足不等式22222111221212111)()(8zyxzyxzzyyxx?，并给出等号成立的条件。（苏第十二届（1970 年） 匈牙利 凯斯特海伊（Keszthely，Hungary） 1. M是三角形ABC的边AB

23、上的任何一点，r、r1、r2分别是三角形ABC、AMC、BMC的内切圆的半径，q是AB外旁切圆的半径（即与AB边相切，与CA、CB的延长线上相切的圆），类似的， q1、q2分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： qrqrqr?2211。（波兰） 实用文档 文案大全 2. 已知a、b、n是大于1的整数，且a、b是两个计数系统的底。An-1和An是a进制数，Bn-1和Bn是b进制数；它们的联系如下： 0,0,.,.,.,.1021101021101?nnnnnnnnnnnnnnxxxxxBxxxBxxxAxxxA 证明：当且仅当a>b 时有nnnnBBAA11?。（罗马尼亚） 3. 实数a0

24、，a1，an，满足条件：1=a0a1a2an。并数字b1，b2，bn，被定义为 knkkknaaab1)1(11?。 a) 求证对于所有n都有0bn2。 b) 设c满足0c2，证明对于足够大的n存在满足上面要求的a0，a1，能使bn>c。（瑞典） 4. 试找出所有的正整数n使得集合n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。（捷克斯洛伐克） 5. 在四面体ABCD中，BDC是直角。假设点D到平面ABC的垂线的垂足H是ABC的垂心。求证：(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)，并指出在什么情况下等号成立。（保加利亚） 6

25、. 一个平面上有100个点，任意三点都不共线。求证由这些点为顶点的三角形中至多有70%是锐角三角形。（苏联） 第十三届（1971 年） 捷克斯洛伐克 日利纳（?ilina，Czechoslovakia） 1. 证明下面的说法在n=3或n=5时是正确的，而在其它大于2的自然数n是错误的： 如果a1，a2，an为任意实数，那么(a1-a2)(a1-a3).(a1-an)+(a2-a1)(a2-a3).(a2-an)+.+(an-a1)(an-a2).(an-an-1)0。（匈牙利） 2. 一个有9个顶点A1，A2，A9的凸多面体P1，若将顶点A1移至Ai时则P1平移为Pi（i=2,3，9），求证在

26、P1，P2，P9中至少有两个多面体有一个公共内点。（苏联） 3. 求证：一个由形式2k-3（k=2,3，）组成的整数的集合包含一个每个元素两两互质的无限子集合。（波兰） 4. 四面体ABCD的所有面都是锐角三角形。我们定义形如XYZTX的所有闭合多边形路径如下：X是AB边上不同于A和B的一点；类似地，Y，Z，T分别是边BC、CD、DA的内点。求证： a) 如果DAB+BCDCDA+ABC，那么在所有闭合路径之中，没有最小长度。 b) 如果DAB+BCD=CDA+ABC ，那么将有无数条最短路径，它们的长度都是2sin2?AC，其中=BAC+CAD+DAB。（荷兰） 5. 证明对于任一自然数m，

27、都存在一个在同一平面上的有限点集S，满足下列条件：对于S中的每个点A，恰好有m个在S中的点到A点的距离为单位长。（保加利亚） 6. 令A=(aij)(i，j=1,2，n）为一个元素都是非负整数的方阵。假设有一个元素aij=0，那么第i行的元素和第j列的元素的和不小于n 。求证：这个方阵的所有元素的和不小于22n。（瑞典） 实用文档 文案大全 第十四届（1972 年） 波兰 托伦（Toru，Poland） 1. 有十个互不相同的二位数，求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。（苏联） 2. 设n4， 求证每一个圆内接四边形都可以分割成n个圆内接四边形。（荷兰） 3. 设

28、m、n 为任意非负整数。求证：)!(!)!2()!2(nmnmnm?是整数。（0！=1）（英国） 4. 找出下述方程组的解（x1，x2，x3，x4，x5），其中x1，x2，x3，x4，x5是正实数。 0)(0)(0)(0)(0)(4221422531253124252425231423142253225321?xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（荷兰） 5. 令f和g为定义域和值域都为实数集的函数，并对于所有的x和y都满足等式()()2()()fxyfxyfxgy?。求证：如果f(x)不恒为0，对于所有x都有()1fx?，那么对于所有y都有()1gy?。（保加利亚）

29、6. 给出四个不同的平行平面，证明存在一个正四面体，它的顶点分别在这四个平面上。（英国） 第十五届（1973 年） 苏联 莫斯科（Moscow，Soviet Union） 实用文档 文案大全 1. 点O在直线g上；12,.,nOPOP OP是单位向量，而P1，P2，Pn都与g在同一平面且都在g的一侧。证明当n为奇数时，12.1 nOPOPOP? ? ?。这里OM代表向量OM的长度。（捷克斯洛伐克） 2. 判断是否存在不在同一平面内的有限点集M，对于M内的任何两个点A和B，都可以在M中找到任何两个点C、D使得AB和CD平行但不重合。（波兰） 3. 找出所有实数a和b使得方程43210xaxbxa

30、x?至少有一个实根。对于所有这样的对（a，b），找出22ab?的最小值。（瑞典） 4. 一个士兵需要在一个等边三角形的区域内探测有没有地雷，他的扫雷器的半径是三角形高的一半，士兵从三角形的一个定点出发，试问如果要完成任务且使行程最短他应该走什么样的路径？（南斯拉夫） 5. G是一个定义域为实数集的形如f(x)=ax+b（a、b为实数）的非常值函数的集合，且G满足： a) 如果f和g都在G内，那么gf也在G内；这里()() ()gfxgfx?。 b) 如果f在G内，那么它的反函数1f?也在G 内；这里f(x)=ax+b的反函数是1()xbfxa?。 c) 对于G内的每一个f，都有一个实数xf可使

31、f(xf)=xf。 求证：存在一个实数k对于G内的所有f都有f(k)=k。（波兰） 6. 设a1，a2，an是n个正数，q是0到1之间的一个给定的实数。找到n个数b1，b2，bn使之满足： a) 对于k=1,2,.,n都有ak<bk ； b) 对于k=1,2,.,n-1都有11kkb qbq?； c) 12121.(.)1nnqbbbaaaq? ?。（瑞第十六届（1974年） 民主德国 埃尔福特（Erfurt，DR Germany） 1. 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一个正整数，这三个数p、q、r满足0<p<q<r。扑克牌被洗过并随机分配给每个玩家。每个玩家各

32、自记下并公布自己拥有的牌的点数。然后再次洗牌；计数依旧保留。该过程（洗牌、发牌、记数）进行过至少两轮。最后一轮之后，A一共有20点，B有10点，C有9点。在最后一轮B获得了r点。问在第一轮谁获得了q点？（美国） 2. 在三角形ABC中，证明AB 边上存在点D使得CD是AD和DB的几何平均数的充要条件是2sinsinsin2CAB?。（芬兰） 3. 求证：数字3021221nkknk?不论任何整数n0都不能被5整除。（罗马尼亚） 4. 考虑一个8×8的棋盘分成p个不重叠的长方形并满足： 实用文档 文案大全 i) 每个长方形都有相同数目的黑格子与白格子。 ii) 如果ai是第i个长方形的

33、白色格子的个数，那么a1<a2<<ap。 找出所有可能的p的最大值。对于这个p值，判断所有可能的数列a1，a2，ap。（保加利亚） 5. 判断S所有可能的值，其中a、b、c、d是任意正数。 abcdSabdabcbcdacd?（荷兰） 6. 设P为非常值的整系数多项式。如果n(P)是所有满足(P(k)2=1的不同整数k的个数，求证：n(P)-deg(P)2，这里deg(P)表示多项式P的次数。（瑞典） 第十七届（1975 年） 保加利亚 布尔加斯（Burgas，Bulgaria） 1. 设xi，yi（i=1,2,，n）是实数且满足x1x2xn和y1y2yn。求证：如果z1，z

34、2，zn是y1，y2，yn的任一排列，那么有2211()()nniiiiiixyxy?。（捷克斯洛伐克） 2. 设a1，a2，a3，是一个正整数的无穷递增序列。求证：对于每个p1都有无穷多个am可以写成am=xap+yaq的形式，其中x，y是正整数且q>p。（英国） 3. 在任意三角形ABC外，三角形ABR，BCP，CAQ按如下构造：CBP=CAQ=45°，BCP=ACQ=30°，ABR=BAR=15°。求证QRP=90°且QR=RP。（荷兰） 4. 当44444444用十进制数表示时，它的各位数的和为A。令B为A的各位数的和。找出B的各位数的和。

35、（A和B都用十进制表示。）（苏联） 5. 判断并证明在一个半径为单位长的圆周上是否能找到1975个点使它们两两之间的距离都是有理数。（苏联） 6. 找到所有多项式P，有两个变量，并具有下列性质： (i) 对于一个正整数n和所有实数t，x，y都有P(tx,ty)=tnP(x,y)； (ii) 对于所有实数a，b，c，都有P(b + c, a) + P(c + a, b) + P(a + b, c) = 0； (iii) P(1,0)=1。（英国） 第十八届（1976 年） 奥地利 利恩茨（Lienz，Austria） 1. 一个平面凸四边形的面积是32，两条对边和一条对角线的长度的和是16。判断

36、另一条对角线所有可能的长度。（捷克斯洛伐克） 2. 令P1(x)=x2-2，Pj(x)=P1(Pj-1(x)，j=2,3，。说明，对于任一正整数n，方程Pn(x)=x的根是互不相同的实数。（芬兰） 实用文档 文案大全 3. 一个长方形的箱子可以用单位立方体填满。如果用体积为2的立方体尽量多地填充箱子，使每个边都与箱子的边平行，那么恰好可以填充箱子的40%。判断这个箱子所有可能的尺寸规模。（荷兰） 4. 判断和为1976的若干个正整数的乘积的最大值，并证明。（美国） 5. 考虑以下方程组，其中q=2p，x1，x2，xq为未知数： 111122121122221122000qqqqpppqqaxa

37、xaxaxaxaxaxaxax? ? 每个系数aij属于数集-1,0,1。证明这个方程组有一个解(x1，x2，xq)满足： a) 所有的xj (j=1,2,.,q)都是整数； b) 至少有一个值j使得xj0； c) (1,2,)jxqjq? ?。（荷兰） 6. 数列un被定义为 20111152,(2)2nnnuuuuuu?，n=1,2, 求证对于正整数n都有? ?2132nnnu?，其中x代表不大于x的最大整数。（英国） 第十九届（1977 年） 南斯拉夫 贝尔格莱德（Belgrade，Yugoslavia） 1. 等边三角形ABK、BCL、CDM、DAN在正方形ABCD内。证明KL、LM、

38、MN、NK四条线段的中点和AK、BK、BL、CL、CM、DM、DN、AN这八条线段的中点是一个正十二边形的十二个顶点。（荷兰） 2. 在一个实数的无限数列中，任意七个连续项的和是负数，任意十一个连续项的和是正数。判断这个数列里最大的数。（越南） 3. 给定n为大于2的一个整数，设Vn是整数1+kn（k=1,2，）的集合。一个属于Vn的数m，如果不存在p、qVn使得pq=m的话就称作m在Vn中不可分解。证明存在一个数rVn可以有多种方式表示成在Vn中不可分解的数的积（乘积中若仅仅是因数的顺序不同视为同一种分解）。（荷兰） 4. 已知四个实常量a、b、A、B，以及()1cossincos2sin2

39、fabAB?。求证：如果f()0对所有的实数都成立，那么有a2+b22和A2+B21。（英国） 5. 已知a、b为正整数。当a2+b2除以a+b后，商为q，余数为r。找到所有的使得q2+r=1977的正整数对(a,b)。（民主德国） 6. 已知f(n)是一个定义域和值域都为正整数集的函数。证明如果对于每个正整数n都有f(n+1)>f(f (n)，那么对于每个n都有f(n)=n。（保加利亚） 实用文档 文案大全 第二十届（1978 年） 罗马尼亚 布加勒斯特（Bucharest，Romania） 1.已知 m和n是自然数且1m<n。在十进制中，1978m的后三位数字和1978n的后三

40、位数字相同。找出使得m+n最小的m和n值。（古巴） 2. P是球内一定点。三条从P发出的互相垂直的射线与球面分别相交于点U、V、W；Q代表由PU、PV、PW决定的平行六面体中P的相对的顶点。求出Q点的轨迹。（美国） 3. 所有正整数的集合是两个不相交的子集f(1)，f(2)，f(n)，g(1)，g(2)，g(n)，的并集，这里f(1)<f(2)<<f(n)<，g(1)<g(2)<<g(n)<，以及对于所有n1都有g(n)=f(f(n)+1。判断f(240)的值。（英国） 4. 在三角形ABC中，AB=AC。一个圆与三角形ABC的外接圆内切并分别与

41、AB、AC相切于P、Q。求证：线段PQ的中点是三角形ABC的内切圆的圆心。（美国） 5. 令ak(k=1,2,3,n,)是不同正整数组成的数列。证明对于所有的自然数n 都有2111nnkkkakk?。（法国） 6. 一个国际组织有来自六个不同国家的成员。成员列表中共有1978个名字，编为1,2，1978。求证：至少有一个成员的编号是来自他同一国家的其它两个成员的编号的和，或者是来自他同一国家的一个成员的编号的两倍。（荷兰） 第二十一届（1979 年） 英国 伦敦（London，United Kingdom） 1. 设p和q 都是自然数并且满足111 11123413181319pq?。求证：p

42、可被1979整除。（联邦德国） 2. 一个棱柱的顶面是五边形A1A2A3A4A5，底面是B1B2B3B4B5。这两个五边形的每条边和每条线段AiBj（i、j=1，5），都用红色或者绿色着色。每条边都被着色和每个顶点都是棱柱的顶点的三角形都有两边被涂上不同的颜色。说明上下底面的所有10条边都是同一颜色。（保加利亚） 3. 在平面上有两个圆相交。设A是其中一个交点。从A点同时出发的两点以恒定的速度，并以相同的方向绕各自的圆运动。在转完一圈后两个点又同时回到了A点。求证：平面内存在一定点P，在任一时刻P与这两个动点的距离相等。（苏联） 4. 给定一平面，点P在平面上，点Q不在平面上，找到所有在平面上

43、的点R，其比值QPPAQR?最大。（美国） 实用文档 文案大全 5. 找到所有满足条件的实数a，使得存在非负实数x1，x2，x3，x4，x5满足关系5553253111,kkkkkkkxakxakxa?。（以色列） 6. 设A和E是一个正八边形上的两个相对顶点。一只青蛙从顶点A开始起跳。它从除了E以外的任何一个顶点，可能跳到两个相邻顶点的任何一个。当它到达顶点E时，青蛙停下来并留在这里。设an为恰好n次跳到E点的不同路线的总数。证明a2n-1=0， 1121(),1,2,3,2nnnaxyn? ? ，其中22x? ，22y?。 注意：n次跳跃的路径是满足下列条件的顶点（P0，Pn）的序列： i

44、) P0=A，Pn=E； ii) 对于每一个i（0in-1），Pi与E不同； iii) 对于每一个i（0in-1），Pi和Pi+1是相邻的。（联邦德国） 1980年由于主办国蒙古（Mongolia）资金不足，IMO未举行。 第二十二届（1981 年） 美国 华盛顿特区（Washington DC，United States of America） 1. P是三角形ABC内一点。D、E、F是P点分别向BC、CA、AB作的垂线的垂足。找到所有的点P ，使BCCAABPDPEPF?的值最小。（英国） 2. 设1rn，考虑集合1,2,n的有r个元素的子集。每个子集都有一个值最小的元素。令F(n,r)代

45、表这些 最小的数的算术平均值；证明1(,)1nFnrr?。（联邦德国） 3. 判断m3+n3的最大值，其中m、n是满足m,n1,2，1981及(n2-mn-m2)2=1的整数。（荷兰） 4. a) 当n取哪些值时（n>2），有一个由n个连续整数组成的集合，其最大的元素是剩下的n-1个数的最小公倍数的因数？ b) 当n取哪些值时（n>2），正好存在一个集合满足条件？（比利时） 5. 三个全等的圆有一个公共点O，并处于一个三角形内。每个圆都与这个三角形的两条边相切。求证：这个三角形的内心、外心和点O共线。（苏联） 6. 函数f(x, y)对于所有非负整数x，y都满足 (1) f(0,

46、y) = y+1； (2) f(x+1, 0) = f(x, 1)； (3) f(x+1, y+1)=f(x, f(x+1, y)。判断f(4,1981)的值。（芬兰） 实用文档 文案大全 第二十三届（1982 年） 匈牙利 布达佩斯（Budapest，Hungary） 1. 函数f(n)定义在所有正整数n上，且取值为非负整数。另外，对于所有的m、n有 f(m+n)-f(m)-f(n)=0或1，f(2)=0，f(3)>0，以及f(9999)=3333。判断f(1982)的值。（英国） 2. 非等腰三角形A1A2A3的边为a1、a2、a3（ai是Ai的对边）。对于所有的i=1,2,3，Mi

47、是边ai的中点，Ti是三角形的内切圆与边ai的切点。用Si表示Ti关于角Ai的角平分线对称的点。求证：直线M1S1、M2S2、M3S3共点。（荷兰） 3. 考虑一个满足下列要求的无限正实数数列xn：x0=1，对于所有i0，xi+1xi。 a) 证明对于每个这样的数列，都有一个n1 使得2220 11123.999nnx x xxxx?。 b) 找到一个可以使2220 11124nmxxxxxx?对于所有n都成立的这种数列。（苏联） 4. 求证：如果n是一个正整数，并能够使方程x3-3xy2+y3=n有一个整数解（x，y），那么该方程有至少三组整数 解。说明当 n=2981时方程无整数解。（英国

48、） 5. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有AMCNrACCE?。如果B、M、N共线，求r的值。（荷兰） 6. 设S是边长为100的正方形，L是在S内部不自交的系列线段A0A1, A1A2, A2A3, . , An-1A n并且A0 与 An不重合。已知对于每一个在S边界上的点P，L中存在一个点与P之间的距离不大于12。求证：L中存在两点X、Y，X与Y的距离不大于1，并且L上位于X和Y之间的部分不少于198。（越南） 第二十四届（1983法国 巴黎（Paris，France） 1. 找出所有的函数f，它定义域和值域为正实数集，并满足以下要求： i) 对于所有正数

49、x、y都有f(xf(y) = yf(x)； ii) 当x时，f(x)0。（英国） 2. 设A是同一平面上不全等的两个圆心分别为O1和O2的圆C1和C2的两个交点的其中一个。一条公切线分别切C1于P1，切C2于P2；另一条分别切C1于Q1，切C2于Q2。设M1是P1Q1的中点，M2是P2Q2的中点。证明O1AO2=M1AM2。（苏联） 3. 设a、b、c为正整数，它们两两互质。说明2abc-ab-bc-ca是不能用xbc+yca+zab表示的最大的整数，其中x、y、z是非负整数。（联邦德国） 4. 设ABC是一个等边三角形，是在三条线段AB、BC、CA（包括A、B、C）上所有点的集合。判断是否对

50、于划分的两个不相交的子集，两个子集中至少有一个包括一个直角三角形的三个顶点。证明你的判断。（比利时） 5. 选择1983个不同的正整数，它们都小于或等于105，没有任何三个数字成等差数列。有可能吗？证明你的答案。（波兰） 6. 设a、b、c是三角形的三边。求证：a2b(a-b)+b2c(b-c)+c2a(c-a)0，并判断何时等号成立。（美国） 实用文档 文案大全 第二十五届（1984 年） 捷克斯洛伐克 布拉格（Prague，Czechoslovakia） 1. 证明70227yzzxxyxyz?，其中x、y、z是非负数且满足x+y+z=1。（联邦德国） 2. 找出两个正整数a、b，它们满足

51、： i) ab(a+b)不能被7整除 ii) (a+b)7 - a7 - b7能被77整除。 证明你的答案。（荷兰） 3. 在平面上有两点O、A。对于平面上不同于O点的点X，用a(X)表示从OA逆时针移动至OX的角的大小（用弧度表示，0a(X)2）。设C(X)是以O 为圆心，()aXOXOX?为半径的圆。平面上的每个点都用有限种颜色着色。证明存在点Y使得a(Y)>0且该点的颜色在圆C(Y)的圆周上也出现。（罗马尼亚） 4. 设ABCD是一个凸四边形且直线CD是以AB为直径的圆的切线。证明当且仅当直线BC和AD平行时，直线AB是以CD为直径的圆的切线。（罗马尼亚） 5. 设d是平面上一个有

52、n个顶点（n>3）的凸多边形的所有对角线长度的和，p 是它的周长。求证：213222dnnnp?，其中x代表不超过x的最大整数。（蒙古） 6. 令a、b、c、d为奇数且0<a<b<c<d，ad=bc。求证：如果对于某些整数k与m有a+d=2k且b+c=2m，那么a=1。（波兰） 第二十六届（1985 年） 芬兰 约察（Joutsa，Finland） 1. 一个圆的圆心在圆内接四边形ABCD的边AB上。四边形的其它三边与这个圆相切。证明AD+BC=AB。（英国） 2. 设n、k是互质的自然数，k<n。集合M=1,2, . , n-1中的每个数都用蓝色或白色上色

53、。保证： i) 对于所有的iM，i k，i与n-i颜色相同； ii) 对于所有的iM，i k，i与 |i-k | 颜色相同。 证明M内的所有数字颜色相同。（澳大利亚） 3. 对一个系数是整数的多项式P(x)=a0+a1x+akxk，为奇数的系数的数目为w(P)。对于i=0，1，令Qi (x)=(1+x)i。求证：如果i1，i2，in是整数且满足0i1<i2<<in，那么121()()niiiiwQQQwQ? ?。（荷兰） 实用文档 文案大全 4. 给出由1985个不同的正整数组成的集合M，其元素中没有一个有大于26的质因数。证明M至少包含一个由四个不同元素组成的子集，其元素的

54、积是一个整数的四次方。（蒙古） 5. 一个圆心为O的圆经过三角形ABC的顶点A和C，并与AB与BC再次分别交于点K和N。三角形ABC和KBN两者的外接圆相交于两个不同的点B和M。求证OMB是直角。（苏联） 6. 对于所有的实数x1，构造数列x1，x2，并使其对于每个n1 都满足11()nnnxxxn?。求证：只存在一个x1的值使得对于每一个n都有0<xn<xn+1<1。（瑞典） 第二十七届（1986 年） 波兰 华沙（Warsaw，Poland） 1. 设d是不等于2,5,13的任意整数。说明在集合2,5,13,d可以找到两个不同的数a、b，使得ab-1不是完全平方数。（联邦

55、德国） 2. 平面上有一个三角形A1A2A3和一点P0。我们定义对于所有的s4都有As=As-3。我们构造一组点P1，P2，P3，使得Pk+1是Pk绕点Ak+1顺时针旋转120°得到的（k=0,1,2，）。证明如果P1986=P0，那么三角形A1A2A3是等边三角形。（中国） 3. 给正五边形的每个顶点赋值一个整数，使五个整数的和为正。如果三个连续的顶点分别被赋值为x、y、z且y<0，那么执行下面的操作：数字x、y、z分别被x+y、-y、z+y代替。只要五个数中有一个数是负的，就重复执行操作。判断是否可以在有限步后结束操作。（民主德国） 4. 设A、B是平面上一个中心为O的正n边形（n5）的相邻顶点。一个三角形XYZ，开始与三角形OAB重合，现用如下的方式移动三角形XYZ：保持Y、Z始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当Y、Z都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。（以色列） 5. 找到所有满足条件的函数f，它定义在非负实数上，取值也为非负实数，且满足： i) 对于所有的x,y0，都有f(xf(y)=f(x+y)； ii) f(2)=0； iii) 对于0x2有f(x)0。（英国） 6.