1990年考研数学三真题及全面解析汇报

1、实用文档 文案大全 1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 极限lim(3)nnnnn?_. (2) 设函数()fx有连续的导函数,(0)0,(0)ffb?,若函数 ()sin,0,(),0fxaxxFxxAx? 在0x?处连续,则常数A=_. (3) 曲线2yx?与直线2yx?所围成的平面图形的面积为_. (4) 若线性方程组121232343414,xxaxxaxxaxxa?有解,则常数1234,aaaa应满足条件_. (5) 一射手对同一目标独立地进行四次射击, 若至少命中一次的概率为8081,则该射手的命

2、中率为_. 二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设函数sin()tanxfxxxe?,则()fx是 ( ) (A) 偶函数 (B) 无界函数 (C) 周期函数 (D) 单调函数 (2) 设函数()fx对任意x均满足等式(1)()fxafx?,且有(0),fb?其中,ab为非零常 数,则 ( ) (A) ()fx在1x?处不可导 (B) ()fx在1x?处可导,且(1)fa? (C) ()fx在1x?处可导,且(1)fb? (D) ()fx在1x?处可导,且(1)fab? (3) 向量组12,s? ?

3、线性无关的充分条件是 ( ) (A) 12,s? ?均不为零向量 (B) 12,s? ?中任意两个向量的分量不成比例 (C) 12,s? ?中任意一个向量均不能由其余1s?个向量线性表示 实用文档 文案大全 (D) 12,s? ?中有一部分向量线性无关 (4) 设,AB为两随机事件,且BA?,则下列式子正确的是 ( ) (A) ?PABPA? (B) ?PABPA? (C) ?PBAPB? (D) ?()PBAPBPA? (5) 设随机变量X和Y相互独立,其概率分布为 m -1 1 ?PXm? 12 12 则下列式子正确的是 ( ) (A) XY? (B) ?0PXY? (C) ?12PXY?

4、 (D) ?1PXY? 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1) 求函数2ln()21xetIxdtt t?在区间2,ee上的最大值. (2) 计算二重积分2yDxedxdy?,其中D是曲线24yx?和29yx?在第一象限所围成的区域. (3) 求级数21(3)nnxn?的收敛域. (4) 求微分方程sincos(ln)xyyxxe?的通解. 四、(本题满分9分) 某公司可通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告,根据统计资料,销售收入R(万元)与电台广告费用1x(万元)及报纸广告费用2x(万元)之间的关系有如下经验公式: 221212121514328210.Rxxxxxx? (

5、1) 在广告费用不限的情况下,求最优广告策略； (2) 若提供的广告费用为1.5万元,求相应的最优广告策略. 五、(本题满分6分) 设()fx在闭区间0,c上连续,其导数()fx?在开区间(0,)c 内存在且单调减少；m -1 1 ?PYm? 12 12 实用文档 文案大全 (0)0f?,试应用拉格朗日中值定理证明不等式:()()()fabfafb?,其中常数ab、满足条件0ababc?. 六、(本题满分8分) 已知线性方程组 1234512345234512345,3230,226,54332,xxxxxaxxxxxxxxxbxxxxx? (1) ab、为何值时,方程组有解? (2) 方程组

6、有解时,求出方程组的导出组的一个基础解系； (3) 方程组有解时,求出方程组的全部解. 七、(本题满分5分) 已知对于n阶方阵A,存在自然数k,使得0kA?,试证明矩阵EA?可逆,并写出其逆矩阵的表达式(E为n阶单位阵). 八、(本题满分6分) 设A是n阶矩阵,1?和2?是A的两个不同的特征值,12,XX是分别属于1?和2?的特征向量.试证明12XX?不是A的特征向量. 九、(本题满分4分) 从0,1,2, ,9十个数字中任意选出三个不同数字,试求下列事件的概率： 1A?三个数字中不含0和5；2A?三个数字中不含0或5. 十、(本题满分5分) 一电子仪器由两个部件构成,以X和Y分别表示两个部件

7、的寿命(单位:千小时),已知X和Y的联合分布函数为: 0.50.50.5(),0,0,(,)0,xyxyeeexyFxy?1-若其他. (1) 问X和Y是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率?. 十一、(本题满分7分) 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩(百分制)近似服从正态分布,平均成绩为72 分,96分以上的占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 实用文档 文案大全 附表 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.500 0.692 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 表中()x?是标准正态分布函数.

8、 1990年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析 一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】2 实用文档 文案大全 【解析】对原式进行分子有理化, 分子分母同乘以有理化因子3nnnn? . 3(3)(3limli3nnnnnnnnnnnnnn? 3lim3nnnnnnnnn?, 再分子分母同时除以n,有 原式4lim3111nnn?. 因为lim0nan?,其中a为常数, 所以原式42.11? (2)【答案】ba? 【解析】由于()Fx在0x?处连续,故0(0)lim()xAFFx?. 0lim()xFx? 为“00”型的极限未定式,又()fx在点0处导数存在,所以 00(

9、)sin()coslimlim1xxfxaxfxaxAbax? . 【相关知识点】函数()yfx?在点0x连续：设函数()yfx?在点0x的某一邻域内有定义,如果00lim()(),xxfxfx?则称函数()fx在点0x连续. (3)【答案】142 【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令22xx? , 解得1x?和2x?,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ?2212Sxxdx? 223111124.232xxx? (4)【答案】12340aaaa? 【解析】由于方程组有解()()rArA?,对A作初等行变换, 第一行乘以?1?加到第四行上,有 x y O 2 1?实用文档 文案大全

10、 11223341411001 100 01100 11000110 011 10010101aaaaaaaaa?, 第二行加到第四行上,再第三行乘以?1?加到第四行上,有 112233123412411001100011011000111100110aaaaaaaaaaaaa?. 为使()()rArA?,常数1234,aaaa应满足条件:12340aaaa? . 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理： 设A是mn?矩阵,线性方程组Axb?有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广 矩阵?AAb ?的秩,即是()()rArA?(或者说,b可由A的列向量12,n? ?线表出,亦等同于12,

11、n? ?与12,nb? ?是等价向量组). 设A是mn?矩阵,线性方程组Axb?,则 （1） 有唯一解 ? ()().rArAn? （2） 有无穷多解 ? ()().rArAn? （3） 无解 ? ()1().rArA?b不能由A的列向量12,n? ?线表出. (5) 【答案】23 【解析】这是一个四重伯努利试验概率模型,设试验的成功率即射手的命中率为p,则进行四次独立的射击, 设事件Y为“射手命中目标的次数”,Y 服从参数804,81np?的二项分布,由二项分布的概率公式,事件“四次均不中”的概率为4(1)p?,它是至少命中一次的对立事件.依题意 48012(1)118133ppp?. 本题

12、的另一种分析方法是用随机变量X表示独立地进行射击中命中目标的次数,p表示一次射击的命中率,则(4,)XBp?,依题意 ? ?41101,81kPXPXk? 实用文档 文案大全 即412(1). 813pp? 【相关知识点】二项分布的概率公式： 若(,)YBnp?,则?(1)kknknPYkCpp ?,0,1,kn?. 二、选择题(本题满分15分 ,每小题3分.) (1)【答案】(B) 【解析】由于sin2lim2xxxee?,而2limtanxx?,所以, sin2limtanxxxxe?,故() fx无界. 或考察()fx在2(1,2,) 4nxnn? ?的函数值,有22lim()limnn

13、nnfxxe?,可见 ( ) fx 是无界函数 .应选(B). 以下证明其他结论均不正确. 由444444sinsinfefe? ? ?,知(A)不正确； 由0044f,f?,而?00f?,知(D)不正确. 证明(C)不正确可用反证法. 设?sinxgxtanx e?,于是?gx的定义域为0122Dx|xk,k,? ?且?gx的全部零点为012nxn ,n,.?若?fxxgx?以T?0T?为周期,则有 ?xTgxTxgx,xD.? 令0x,?有?0TgT,?即?0gT?.从而Tk?,其中k为某一正数.于是2k?也是 ?xgx的周期.代入即得,对xD?有 ?222xkgxkxkgxxgx.? 这

14、表明?20kgx?在xD?上成立,于是?0gx?在xD?上成立,导致了矛盾. 故 ?fxxgx?不可能是周期函数. 实用文档 文案大全 【相关知识点】极限的四则运算法则: 若0lim()xxfxA?,0lim()xxgxB?,则有 0lim()()xxfxgxAB?. (2)【答案】(D) 【解析】通过变量代换1tx?或按定义由关系式(1)()fxafx?将()fx在1x?的可导性与()fx在0x?的可导性联系起来. 令1tx?,则()(1)ftaft?.由复合函数可导性及求导法则,知()ft在1t?可导,且 11()(1)(1)(0)ttftafttafab?, 因此,应选 (D). 【相关

15、知识点】复合函数求导法则:如果()ugx?在点x可导,而()yfx?在点()ugx?可导,则复合函数?()yfgx?在点x可导,且其导数为 ()()dyfugxdx? 或 dydydudxdudx?. (3)【答案】(C) 【解析】本题考查线性无关的概念与理论,以及充分必要性条件的概念. (A)(B)(D)均是必要条件,并非充分条件.也就是说,向量组12,s? ?线性无关,可以推导出(A)(B)(D)选项,但是不能由(A)(B)(D)选项中的任意一个推导出向量组12,s? ?线性无关. 例如:(1,0),(0,1),(1,1)显然有(1,0)(0,1)(1,1)(0,0)?,该向量组线性相关.

16、但(A)(B)(D)均成立. 根据“12,s? ?线性相关的充分必要条件是存在某(1,2,)iis? ?可以由 111,iis? ?线性表出.”或由“12,s? ?线性无关的充分必要条件是任意一个(1,2,)iis? ?均不能由111,iis? ?线性表出.”故选(C). (4)【答案】A 【解析】由于BA?,所以ABA?,于是有?PABPA?.故本题选A. 对于B选项,因为BA?,所以事件B发生,则事件A必然发生,所以?PABPB?,而不是?PABPA?,故B错. 对于C选项,因为BA?,由条件概率公式? ?()()PABPBAPA?,当,BA是相互独立的事实用文档 文案大全 件时,才会有?

17、PBAPB?；所以C错. 对于D选项,因为BA?,所以事件B发生事件A不发生是个不可能事件,故?0PBA?,所以(D)错. (5)【答案】(C) 【解析】由离散型随机变量概率的定义,有 ?1,11,1PXYPXYPXY? ?1111PXPYPXPY? 1111122222?. 故本题选(C).而(B)、(D)选项是错误的. 对于(A)选项,题目中只说了随机变量X和Y相互独立,且他们的概率分布相同,但是二者是不同的事件,并不能说事件X与事件Y是同一事件.故(A)错. 三、计算题(本题满分20分,每小题5分.) (1)【解析】在2,xee?上 ,? ?22lnln()0211xxIxxxx?,故函

18、数()Ix在2,ee上单调增加,最大值为2()Ie. 由22(1)1(1)(1)(1)dxdxdxxx?,有 ? ?2222ln1()ln11eeeetIedttdtt? ? ?2222lnln11()1111eeeeeeeetdttdttttttt? ?2221ln(1)2ln(1)111eeee? 11ln1eee? . 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式： 若()()()()ttFtfxdx?,()t?,()t?均一阶可导,则 ?()()()()()Fttfttft?. 2.假定()uux?与()vvx?均具有连续的导函数,则 ,uvdxuvuvdx? 或者 .udvuvvdu

19、? 实用文档 文案大全 (2)【解析】区域D是无界函数,设 ? ?0,0,32byyDDybxyybx? ?, 不难发现,当b?时有bDD?,从而 222203limlimbybyyyybbDDxedxdyxedxdyedyxdx? 20111lim()249bybyyedy? 2220055lim lim72144bbytbbyedytyedt? 255lim(1).144144bbe? (3) 【解析】因系数21(1,2,)nann? ?,故 ? ?2212211limlimlim111nnnnnnanann? ?, 这样,幂级数的收敛半径11R?.因此当131,x?,即24x?时级数绝对

20、收敛. 当2x?时,得交错级数211(1)nnn?； 当4x?时,得正项级数211nn? ,二者都收敛,于是原级数的收敛域为2,4 . 【相关知识点】1.求收敛半径的方法：如果1nlimnnaa?,其中1,nnaa?是幂级数0nnnax? ?的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径 1, 0, 0,0, .R? 2.交错级数的莱布尼茨判别法：设交错级数11(1)nnnu?满足： (1)1,1,2,;n nuun? (2)lim0.nnu? 29yx? 24yxx y 实用文档 文案大全 则11(1)nnnu?收敛,且其和满足1110(1),nnnuu?余项1.nnru? 3p 级数：11pnn?

21、当1p?时收敛；当1p?时发散. (4)【解析】方法1:所给方程为一阶线性微分方程,可直接利用通解公式求解. coscossinlnxdxxdxxyeexedxC?sinsinlnlnxxexdxCexxxC?. 方法2: 用函数()cossinPxdxxdxxeee?同乘方程两端,构造成全微分方程. 方程两端同乘sinxe,得sinsinsinsincos()()lnxxxxeyyexyeyex?,再积分一次得 sinlnlnxyeCxdxCxxx?. 最后,再用sinxe?同乘上式两端即得通解sinlnxyexxxC? . 【相关知识点】一阶线性非齐次方程()()yPxyQx?的通解为 (

22、)()()PxdxPxdxyeQxedxC?, 其中C为任意常数. 四、(本题满分9分) 【解析】(1)利润为销售收入减去成本,所以利润函数为 22121212121514328210()xxxxxxxx? 221212121513318210.xxxxxx? 由多元函数极值点的必要条件,有 1211212248130,0.75,1.25.820310,xxxxxxxx? 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故投入电台广告费用0.75万元,报纸广告费用1.25万元可获最大利润. (2)若广告费用为1.5万元,则应当求利润函数(与(1)中解析式相同) 221212121513318210,xxxx

23、xx? 在121.5xx?时的条件最大值.拉格朗日函数为 实用文档 文案大全 221212121212(,)1513318210(1.5),Lxxxxxxxxxx? 由 1211221248130,820310,1.50LxxxLxxxLxx? 120,1.5.xx? 因驻点惟一,且实际问题必有最大值,故应将广告费1.5万元全部用于报纸广告,可使利润最大 . 【相关知识点】拉格朗日乘数法: 要找函数(,)zfxy?在附加条件(,)0xy?下的可能极值点,可以先作拉格朗日函数 (,)(,)(,),Lxyfxyxy? 其中?为参数.求其对x与y的一阶偏导数,并使之为零,然后与附加条件联立起来： (

24、,)(,)0,(,)(,)0,(,)0.xxyyfxyxyfxyxyxy? 由这方程组解出,xy及?,这样得到的(,)xy就是函数(,)fxy在附加条件(,)0xy?下的可能极值点. 五、(本题满分6分) 【解析】方法1:当0a?时,()()()()fabfbfafb?,即不等式成立； 若0a?,因为 2121 ()()()(0)()()()(0)()()()(),fabfafbffabfbfaffafaaff? 其中120abab?.又()fx?单调减少,故21()()ff?.从而有 ()()()(0)0fabfafbf?,即()()()fabfafb?. 方法2:构造辅助函数,将式子移到不

25、等式右边,再将b视为变量x,得辅助函数 令()()()(),0,Fxfxfafaxxb?,由于(0)0f?,所以(0)0F?,又因为 ()()(),Fxfxfax?且0a?,()fx?在(0,)b单调减少,所以()0Fx?,于是()Fx在实用文档 文案大全 0,b上单调递增,故()(0)0FbF?,即 ()()()fabfafb?,其中0ababc? . 【相关知识点】拉格朗日中值定理： 如果函数()fx满足在闭区间,ab上连续；在开区间?,ab内可导,那么在?,ab内至少有一点()ab?,使等式()()()()fbfafba?成立. 六、(本题满分8分 ) 【解析】本题中,方程组有解()()

26、rArA?.(相关定理见第一题(4) 对增广矩阵作初等行变换,第一行乘以?3?、?5?分别加到第二、四行上,有 111111111132113001226301226012265433120122625aaabba? ?, 第二行乘以1、?1?分别加到第三、四行上,第二行再自乘?1?,有 1111112263.322aabaa? ? (1) 当30ba?且220a?,即1,3ab?时方程组有解. (2) 当1,3ab?时,方程组的同解方程组是 1234523451,2263,xxxxxxxxx? 由()523nrA?,即解空间的维数为3.取自变量为345,xxx,则导出组的基础解系为 123(

27、1,2,1,0,0),(1,2,0,1,0),(5,6,0,0,1)TTT?. (3) 令3450xxx?,得方程组的特解为(2,3,0,0,0)T?.因此,方程组的所有解是112233kkk?,其中123,kkk为任意常数 . 【相关知识点】若1?、2?是对应齐次线性方程组0Ax?的基础解系,则Axb?的通解形式实用文档 文案大全 为1122,kk?其中12,?是0Ax?的基础解系,?是Axb?的一个特解. 七、(本题满分5分) 【解析】若A、B是n阶矩阵,且,ABE?则必有.BAE?于是按可逆的定义知1AB?. 如果对特征值熟悉,由0kA?可知矩阵A的特征值全是0,从而EA?的特征值全是1,也就能证明EA?可逆. 由于0kA?,故 ?21()kkkEAEAAAEAE? ?. 所以EA?可逆,且?121kEAEAAA? ?. 八、(本题满分6分) 【解析】(反证法)若12XX?是A的特征向量,它所对应的特征值为?,则由定义有： 1212()()AXXXX?. 由已知又有 12121122()AXXAXAXXX?. 两式相减得 1122()()0XX?. 由12?,知12,?不全为0,于是12,XX线性相关,这与不同特征值的特征向量线性无关相矛盾.所以,12XX?不是A的特征向量 . 【相关知