最新全等三角形培优竞赛讲义全集

1、精品文档精品文档全等三角形培优竞赛讲义(一)知识点全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等， 对应角的角平分线相等，面积相等.寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1) 全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边.(2) 全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角.(3) 有公共边的，公共边常是对应边.(4) 有公共角的，公共角常是对应角.(5) 有对顶角的，对顶角常是对应角.(6) 两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角).要想正确地表示两个三角形

2、全等，找出对应的元素是关键.全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS :两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. 角边角定理(ASA:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(3) 边边边定理(SSS :三边对应相等的两个三角形全等.(4) 角角边定理(AAS :两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.(5) 斜边、直角边定理(HL):斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明

3、两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例1】(06年北京中考题)已知GABC中，./A=60,BD、CE分别平分ZABC和ZACB , BD、CE交于点0,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【解析】BE CD二BC ,理由是：在 BC上截取BF =BE，连结0F ,利用 SAS证得 BEO 也 BFO , /1 Z2 ,T /A=60 , /BOC =90 1=120：，二 DOE =120 ,2 A . DOE =180 , . AEO . ADO =180,二.1.3=180 , 2.4 =180', 1 = 2, 3=4,利用

4、 AAS 证得 CDO 也 CFO , CD =CF , BC =BF CF =BE CD .【例2】 如图，点 M为正三角形 ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作NDMN =60。，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点 N , DM与MN有怎样的 数量关系？【解析】 猜测DM =MN .过点M作MG II BD交AD于点G , AG = AM，二GD =MB又 / ADM . DMA =120 , / DMA / NMB =120/ Z ADM =Z NMB，而/ DGM =/ MBN =120, ADGM 也心MBN，二 DM =MN .【变式拓展训练】 如图，点M为正方形

5、ABCD的边AB上任意一点，MN _ DM且与Z ABC 外角的平分线交于点 N , MD与MN有怎样的数量关系？【解析】猜测DM =MN .在AD上截取AG = AM , DG =MB , Z AGM =45、 Z DGM =Z MBN =135 , Z ADM =Z NMB , DGM 也：MBN , DM 二 MN .【例3】 已知：如图， ABCD!正方形，Z FA=Z FAE 求证：BE+DF=AEE【解析】 延长CB至M使得BMDF,连接AM/ AB=AD ADL CD ABL BM BM=DF ABM ADF Z AFD=Z AMB Z DAFZ BAM AB/ CD Z AFD

6、=Z BAf=Z EAF+Z BAEZ BAEV BAMZ EAM Z AMBZEAM AE=EM=BEnBM=BBDF:ABD、. ACE，连结 CD、BE 相交【例4】 以 ABC的AB、AC为边向三角形外作等边 于点0 .求证：OA平分NDOE .【解析】因为.ABD、 ACE是等边三角形，所以AB=AD , AE = AC ,ZCAE /BAD =60，贝V . BAE =/DAC，所以 BAE 也.DAC ,则有 ABE = ADC , /AEB ZACD , BE =DC .在DC上截取DF =BO，连结 AF，容易证得 ADF ABO , ACF也厶AEO . 进而由 AF 二

7、AO 得.AFO =. AOF ;由 ZAOE ZAFO 可得 /AOF ZAOE，即 OA平分 /DOE .【例5】（北京市、天津市数学竞赛试题 ）如图所示，ABC是边长为1的正三角形，:BDC 是顶角为120°的等腰三角形，以 D为顶点作一个60°的NMDN，点M、N分别 在AB、AC上，求：AMN的周长.CE【解析】如图所示，延长 AC到E使CE二BM 在.BDM 与 CDE 中，因为 BD =CD , MBD 二.ECD =90 , BM =CE , 所以 BDM 也 CDE，故 MD 二 ED 因为.BDC =120 , . MDN =60，所以.BDM . ND

8、C = 60 .又因为.BDM 二.CDE，所以.MDN 二.EDN = 60在.MND 与 END 中，DN =DN , - MDN = EDN =60 , DM =DE , 所以MND耳氐END，贝U NE =MN，所以 MMN的周长为2 【例 6】 五边形 ABCD中, AB=AE B(+DE=CD / ABC/ AED180°,求证：AD平分/ CDE【解析】延长DE至F,使得EF=BC连接AC/ AB(+Z AED180°，/ AEF+Z AED180°/ ABC/AEF/ AB=AE BOEF ABCA AEFA EF=BC AOAFz/ BGDE=C

9、D CD=DEnEF=DF ADC ADF/ ADC/ ADF即AD平分/ CDE 板块二、全等与角度 BDC【例7如图，在MBC中，NBAC=60°, AD 是 Z BAC 的平分线，且 AC = AB + BD ,求.ABC的度数.【解析】如图所示，延长 AB至E使BE=BD，连接ED、 由 AC =AB BD 知 AE=AC，而乙BAC =60；：U .AEC为等边三角形.注意到.EAD=/CAD , AD=AD , AE=AC , 故.AED 也.ACD .从而有 DE 二 DC , DEC =/DCE ,故 BED = BDE = DCE DEC =2 DEC.EC.ABD

10、C所以.DEC - . DCE =20； , ABC 二.BEC . BCE =60； 20 =80 .【另解】在AC上取点E，使得AE二AB，则由题意可知 CE在.ABD 和 AED 中，AB 二 AE，乙 BAD ZEAD , 贝L ABD 也.AED，从而 BD = DE , 进而有 DE =CE，乙ECD ZEDC ,/AED 二 ECD EDC =2EECD.注意到.ABD =/AED，则：ZABC ,/ACB ZABC 丄/ABC =?/ABC =180 /BAC =120, 2 2故.ABC =80 .【点评】由已知条件可以想到将折线ABD “拉直”成AE，利用角平分线 AD可以

11、构造全等三角形.同样地，将 AC拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十 分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，都体现出关于角平分线“对称”的思想 上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.【例8在等腰 ABC中，AB二AC，顶角.A =20，在边AB上取点D，使AD二BC , 求 /BDC.【解析以AC为边向 ABC外作正 ACE，连接DE .在 ABC和 EAD 中，AD =BC , AB=EA, ZEAD ZBAC ZCAE20C60：= A80 ABC , 贝U ABC 也 EAD .由此可得 ED=EA二EC，所以 AEDC是等腰

12、三角形.D E由于.AED = BAC =20 ,贝U . CED 二.AEC/AED 6020'； =40 , 从而.DCE =70： , DCA =. DCE/ACE =70； -60 =10：', 贝U . BDC 二 DAC . DCA =2010 =30：E【另解1】以AD为边在 ABC外作等边三角形:ADE，连接EC.在.ACB和.CAE 中，.CAE =60 20/ACB , AE =AD =CB , 因此 ACB也CAE ,从而.CAB = ACE，CE = AB =AC .在:CAD 和 CED 中，AD 二 ED，CE =CA，CD 二 CD , 故:CAD

13、也 CED,从而 ACD 二 ECD , CAB 二.ACE =2 ACD ,故.ACD =10，因此.BDC =30 .【另解2】如图所示，以BC为边向.；ABC内部作等边.；BCN，连接在.CDA和.ANC 中，CN =BC =AD , /CAD =20,.ACN =/ACB . BCN =80； -60： =20；,故 CAD =/ACN,而AC =：CA，进而有 ACDA也 ANC .贝U . ACD 二/CAN =10,故.BDC 二/DAC . DCA =30；.ABCNA、ND.ABC【点评】上述三种解法均是向三边作正三角形，然后再由三角形全等得到边长、关系.【例9】（“勤奋杯”

14、数学邀请赛试题）如图所示，在 ABC中，又M在AC上，N在BC上，且满足 /BAN =50，乙ABM =60 ,C过M作AB的平行线交 BC于K，连接KA交MB于P . 连接PN，易知.APB、. MKP均为正三角形.因为 /BAN =50 , AC =BC，厶C =20 ,所以.ANB =50 , BN = AB 二 BP , BPN = BNP 丰80 贝V . PKN =40 , . KPN =180 -60 -80 =40 , M 故 PN 二 KN .从而.MPN也.MKN .AC 二 BC , 求乙NMB.角度之间的C.CM20 ,【解析】1进而有PMN ZKMN , . NMB

15、KMP =30 . 2KNP【另解】【点评】如图所示，在 AC上取点D，使得NABD=20 A由.C =20、AC =BC 可知.BAC =80 .而/ABD =20，故/ADB=80 , BA = BD.在 ABN 中，BAN =50 , . ABN =80 , 故.ANB=50，从而BA = BN，进而可得 BN=BD.而 /DBN ZABC /ABD =80 -20 =60 ,所以BDN为等边三角形.在 ABM 中， AMB =180 - ABM - BAM =180 -80 -60 =40 , -DBM = ADB- AMB =80 -40 =40 , 故.DMB DBM，从而 DM

16、= DB .我们已经得到 DM =DN =DB，故D是BMN的外心，1从而 NMBNDB =30 .2本题是一道平面几何名题，加拿大滑铁卢大学的几何大师 为“平面几何中的一颗明珠” 数也不是那么容易.MDRossH on sberger 将其喻.本题的大多数解法不是纯几何的，即使利用三角函.ADB =76 , . BDC =28 ,E【例11】【解析】连接PB、PD. AD = AD ,A【例10】在四边形ABCD中，已知AB = AC, ABD =60 , 求.DBC的度数【解析】如图所示，延长 BD至E，使DE =DC，由已知可得:.ADE =180 -/ADB =180 -76 =104

17、，.ADC 二.ADB . BDC =7628 =104，故三ADE = ADC 又因为 AD 二 AD， DE 二 DC , 故.ADE 也 ADC ,因此 AE =AC , / E ZACD , / EAD ZCAD 又因为AB二AC ,故 AE =AB , / ABC /ACB 而已知.ABD =60 , 所以ABE为等边三角形 于是.ACD =/E EAB =60 ,故.CAD =180 - ADC -. ACD =16 ,贝U . CABEAB/CAD/EAD =28 ,1从而.ABC (180 CAB) =76 ,2所以 /DBC ./ABC ZABD =16 （日本算术奥林匹克试

18、题）如图所示，在四边形ABCD中，.DAC =12 ,WCAB =36 , ZABD =48 , ZDBC =24，求.ACD 的度数仔细观察，发现已知角的度数都是12的倍数，这使我们想到构造 60角，从而利用正三角形在四边形 ABCD外取一点 P，使/ PAD =12且AP二AC ,在 ADP和.ADC 中，.PAD =/CAD =12 , AP =AC ,故 ADP 也 ADC 从而 APD 二 ACD 在 ABC 中，./CAB =36，乙ABC =72 ,故.ACB =72 , AC =AB , 从而AP =AB 而/PAB ZPAD /DAC £CAB=12 12 36 =

19、60 ,故- PAB是正三角形，.APB =60 , PA=PB o o o在 DAB 中，.DAB =. DAC . CAB =1236 = 48 =. DBA ,故 DA =DB 在 PDA和 PDB 中，PA =PB , PD =PD , DA =DB ,故. PDA也 PDB,1 o从而 APD 二 BPD APB =30 ,2则 NACD =30 A【解析】如图所示，连接 DC .因为AD =BD , AC =BC , 贝L ADC 也 BDC ,故.BCD =301而.DBE ZDBC , BE =AB =BC , BD =BD , 因此 BDE 也 BDC，故.BED =/BCD

20、 =30.【例13】（北京市数学竞赛试题）如图所示，在 ABC中，£BAC £BCA=44 ,M为 ABC 内一点，使得.MCA =30，. MAC =16，求.BMC的度数.【解析】在 ABC 中，由 BAC BCA =44 可得 AB 二AC，. ABC =92 . 如图所示，作 BD_AC于D点，延长CM交BD于O点，连接OA，贝U有/ OAC =ZMCA =30 :.BAO = BAC - OAC =44 -30 =14 ,.OAM =. OAC"MAC =30 -16 =14 , 所以 /BAO ZMAO .又因为.AOD =90 -ZOAD =90 -

21、30 =60 所以/AOM =120=. AOB . EBOM =120而 AO=AO，因此 ABO AMO ,故 OB =OM .由于.BOM =120 ,则.OMB =/OBM 二180 型=30 ,2故 ZBMC =180”_/OMB =150°全等三角形培优竞赛讲义(二)【知识点精读】1. 全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2. 全等三角形的表示方法：若 ABC和厶A B' C'是全等的三角形，记作“ ABC A B' C'其中，“也

22、”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 字母写在对应的位置上。3. 全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4. 寻找对应元素的方法(1) 根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。(2) 根据已知的对应元素寻找相等的角是对应角，相等的边是对应边；相等的角所对的边是对应边，相等的边所对的角是对应边；两个对应角所夹的边是对应边；(3) 通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等

23、三角形各种不同位置关系的观察和分析，可以看出其中一个是由另一个经过下列各种运动而形成的。翻折如图(1) ABOC BAEOD , BOC可以看成是由汨0D沿直线AO翻折180得到的；旋转 如图(2) COD BOA ,：COD可以看成是由BOA绕着点0旋转180得到的；平移 如图(3) DEFACB , DEF可以看成是由ACB沿CB方向平行移动而得到的。5. 判定三角形全等的方法：(1) 边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理(2) 推论：角角边定理6. 注意问题：(1) 在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；(2) 不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即 AA

24、A ； b :有两边和其中一 角对应相等，即 SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平 面几何知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置， 常 常需要借助全等三角形的知识。【分类解析】全等三角形知识的应用（1） 证明线段（或角）相等例1：如图，已知 AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出 ACD ABE，而BF和FC分别位于 DBF和 EFC中, 因此先证明A ACD BA ABE，再证明A DBF A ECF，既可以得到 BF=FC.证明：在A ACD和A ABE中，AE=ADY / A= / A

25、L AB=AC. A ACD B a ABE （SAS） / B= / C （全等三角形对应角相等） 又/ AD=AE,AB=AC.AB AD=AC AE即 BD=CE在A DBF和A ECF中/ B= / C-/ BFD= / CFE （对顶角相等）BD=CEA DBF B a ECF （AAS ）BF=FC （全等三角形对应边相等）（2）证明线段平行例2:已知：如图， DE丄AC , BF丄AC，垂足分别为 E、F, DE=BF , AF=CE.求证:AB / CD分析：要证AB II CD ,需证/ C=Z A，而要证/ C = Z A ,又需证 ABF也 CDE.由已 知 BF 丄 A

26、C , DE 丄 AC,知/ DEC = Z BFA=90 °，且已知 DE=BF , AF=CE.显然证明 ABF A CDE条件已具备，故可先证两个三角形全等，再证/C = Z A,进一步证明 AB II CD.证明：DE丄AC , BF丄AC （已知） / DEC =Z BFA=90 °（垂直的定义）在 A ABF 与 A CDE 中，| AF=CE （已知）-Z DEC = Z BFA（已证）DE=BF （已知） A ABF BA CDE （ SAS） ZC=Z A （全等三角形对应角相等） AB II CD（内错角相等，两直线平行）（3）证明线段的倍半关系，可利用

27、加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等例3:如图，在 ABC中，AB=AC，延长 AB到D，使BD=AB，取AB的中点 E, 连接CD和CE.求证：CD=2CE分析:（i ）折半法：取 CD中点F，连接BF，再证A CEB也A CFB.这里注意利用 BF是A ACD 中位线这个条件。证明：取CD中点F，连接BF1 BF=2 AC,且BF II AC （三角形中位线定理） ZACB =Z 2（两直线平行内错角相等）又 AB=AC ZACB =Z 3（等边对等角） Z 3=Z 2在A CEB与A CFB中，一 BF=BE-Z 3=7 2一 CB=CB CEB 也 CFB (SAS)1CE=CF

28、=2 CD (全等三角形对应边相等)即 CD=2CE（ii）加倍法证明：延长 CE到F,使EF=CE,连BF.C4 1A E 2 3 BDIIII /IIJF在厶AEC与 BEF中,-AE=BE7 1 = 7 2 (对顶角相等)CE=FE AEC 也 BEF (SAS)AC=BF, 7 4=7 3 （全等三角形对应边、对应角相等 ）BF / AC （内错角相等两直线平行）7 ACB+ 7 CBF=180°7 ABC+ 7 CBD=180 0又 AB=AC 7 ACB= 7 ABC7 CBF= 7 CBD （等角的补角相等）在厶CFB与厶CDB中,CB=CB 7CBF= 7 CBDBF

29、=BD CFB CDB （SAS） CF=CD即 CD=2CE说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F,连BF（如图）（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF.（4）证明线段相互垂直例4:已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上， ADC、 BDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。然后分析：本题没有直接给出待证的结论，而是让同学们先根据已知条件推断出结论,再证明所得出的结论正确。通过观察，可以猜测：AO=BC , AO丄BC.证明：延长 AO交BC于E,在 A

30、DO和 CDB中AD=DC- Z ADO= Z CDB=90°- OD=DB ADO A CDB （SAS） AO=BC, Z OAD= Z BCD （全等三角形对应边、对应角相等） Z AOD = Z COE （对顶角相等） Z COE+ Z OCE=90o AO 丄 BC5、中考点拨： 例1.如图，在 ABC中，AB= AC, E是AB的中点，以点 E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D,连结ED，并延长ED到点F，使DF = DE ,连结FC . 求证：Z F = Z A.分析：证明两个角相等，常证明这两个角所在的两个三角形全等，在已知图形中ZA、Z F不在全等的两个三角形中，

31、 但由已知可证得 EF / AC,因此把Z A通过同位角转到厶BDE 中的Z BED，只要证厶EBDFCD即可.证明： AB = AC, Z ACB = Z B,/ EB = ED, Z ACB = Z EDB . ED / AC. Z BED = Z A./ BE = EA. BD = CD .又 DE = DF , Z BDE = Z CDF BDE CDF ,/ BED = Z F ./ F = Z A.说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对项角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。例2如图

32、，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使AE=BD， 连接CE、DE.求证：EC=EDEABCD分析：把已知条件标注在图上，需构造和AEC全等的三角形，因此过 D点作DF / AC交BE于F点，证明 AECFED即可。证明：过D点作DF / AC交BE于F点 ABC为等边三角形 BFD为等边三角形 BF=BD=FD/ AE=BD AE=BF=FD AE AF=BF AF 即 EF=AB EF=AC在厶 ACE和厶DFE中，EF=AC （已证）Y / EAC =Z EDF （两直线平行，同位角相等 ） AE=FD （已证） AEC FED （ SAS） EC=ED （全等

33、三角形对应边相等）题型展示:例 1 如图， ABC 中，/ C = 2/ B，/ 1 = / 2。求证：AB = AC + CD .分析：在 AB上截取AE = AC,构造全等三角形， AED ACD，得DE = DC,只需 证DE = BE问题便可以解决.证明：在AB上截取AE = AC,连结DE ./ AE= AC,/ 1 = Z 2, AD = AD , AED ACD , DE = DC , / AED = / C ./ / AED =/ B + / EDB , / C = 2/ B, 2/ B=/ B + / EDB .即 / B = / EDB . EB= ED，即 ED = DC

34、 ,AB= AC + DC .剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法(即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段)；如作 AE =AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法(即延 长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等)，其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容.【实战模拟】1. 下列判断正确的是()(A )有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等(B )有两边对应相等，且有一角为30°的

35、两个等腰三角形全等(C) 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等(D) 有两角和一边对应相等的两个三角形全等2. 已知：如图，CD丄AB于点D, BE丄AC于点E,BE、CD交于点0,且AO平分/ BAC.求 证：0B= 0C.AN和CM相3. 如图，已知 C为线段AB上的一点，ACM和厶CBN都是等边三角形,交于F点，BM和CN交于E点。求证：.:CEF是等边三角形。14如图，在 ABC中，AD为BC边上的中线.求证： AD<- (AB+AC)AE丄CD于E,5.如图，在等腰 RtAABC中，/ C= 90°, D是斜边上AB上任一点,BF丄CD交CD的延长线于F, CH丄

36、AB于H点，交AE于G.求证：BD=CG.【试题答案】1. D2证明： AO平分/ ODB, CD丄AB于点D, BE丄AC于点E, BE、CE交于点0, 0D = 0E, / 0DB = /0EC= 90° , / BOD = /COE。 B0D C0E (ASA) 0B= 0C3. 分析 由.ACM= . BCN=60 ,知.ECF=60 ,欲证. ：CEF是等边三角形， 只要证明厶CEF 是等腰三角形。先证 ACAN :MCB，得"=,/2.再证.CFNCEB，即可推得.：CEF是等边 三角形的结论。证明：在CAN 和 MCB ,/ AC=MC , CN=CB ,.C

37、AN= MCB=120 , . ACN B . MCB 中， ZFCB 和.:CEB 中，乙FCN= EECB=60 ，/ 1 =乙2, CN=CB , . CFNB. CEB,. CF=CE ,又 . ECF=60 , . CEF是等边三角形.4. 分析：关于线段不等的问题，一般利用在同一个三角形中三边关系来讨论，由于AB、AC、AD不在同一个三角形，应设法将这三条线段转化在同一个三角形中，也就是将线段相等地转化，而转化的通常方法利用三角形全等来完成，注意AD是BC边上的中线，延长AD 至 E,使 DE = AD，即可得到 ACD EBD 证明：延长AD到E，使DE = AD，连结BE在.A

38、CD与.：EBD中AD=ED （作法）V zadc = Zedb （对顶角相等） CD=BD （已知）. ：ACD B . rEBD （ SAS） AC = EB （全等三角形对应边相等）在ABE中，AB + EB > AE （三角形两边之和大于第三边） AB + AC > 2AD （等量代换）即 AD<| （AB + AC）说明：一般在有中点的条件时，考虑延长中线来构造全等三角形。CGE也厶5分析：由于BD与CG分别在两个三角形中，欲证 BD与CG相等，设法证厶 BDF。由于全等条件不充分，可先证厶AECA CFB证明：在 Rt AEC与Rt CFB中，/ AC= CB,

39、AE丄CD于E, BF丄C交CD的延长线于 F/ AEC =Z CFB = 90°又/ ACB = 90 ° / CAE = 90°/ ACE =Z BCF Rt AEC也 Rt CFB CE= BF在 Rt BFD 与 Rt CEG 中，/ F = / GEC = 90°, CE = BF,由/ FBD = 90°/ FDB = 90°/ CDH =/ ECG , Rt BFD 也 Rt CEG BD = CG全等三角形培优竞赛讲义（三）全等三角形的证明方法【知识点精读】1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维

40、能力有着很大作用。 几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这 两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法：（1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向 前推进，直到问题的解决；（2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所 需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止；（3） 两头凑法：将分析与综合法合并使用， 比较起来，分析法利于思考， 综合法易于表达， 因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处

41、理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图 形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助 线，以达到集中条件、转化问题的目的。【分类解析】1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角 形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常 用到。例 1.已知：如图 1 所示，匚 ABC 中，一 C = 90 ， A

42、C 二 BC， AD = DB， AE = CF。AEDC F B求证：DE = DF图1分析：由：ABC是等腰直角三角形可知，.A = .B=45，由D是AB中点，可考虑连结CD，易得CDA D，. DCF =45。从而不难发现.'DCF三：DAE证明：连结CDAC 二 BCA - . BACB =90，AD =DBCD = BD = AD， Z DCB = . B = AAE 二CF， ADCB, AD 二 CDADE = CDFDE 二 DF说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中

43、， 更应该连结CD ,因为CD既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED到G,使DG = DE ,连结BG,证 EFG是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。例 2.已知：如图 2 所示，AB = CD, AD = BC , AE = CF。求证：/ E=Z FEAD/1 忙 l /L VBCF图2证明：连结AC在ABC和 CDA中，AB 二 CD, BC 二 AD, AC 二 CAABC 三 CDA(SSS-Z B DAB =CD, AE =CFBE =DF在 BCE 和 DAF 中，BE :=DFB :二/DBC :=DA. BCE 二：DAF （SAS）E = F说明：利用三角

44、形全等证明线段求角相等。常须添辅助线，制造全等三角形，这时应注意:（1）制造的全等三角形应分别包括求证中一量；（2）添辅助线能够直接得到的两个全等三角形。2、证明直线平行或垂直在两条直线的位置关系中，平行与垂直是两种特殊的位置。证两直线平行，可用同位角、 内错角或同旁内角的关系来证，也可通过边对应成比例、 三角形中位线定理证明。 证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°,或利用两个锐角互余，或等腰三角形“三线合一”来证。例3.如图3所示，设BP、CQ是 ABC的内角平分线，AH、AK分别为A到BP、CQ 的垂线。 求证：KH / BCA/7 Q / / P/ k<hX*1/

45、12£tBMNC图3分析：由已知，BH平分/ ABC，又BH丄AH，延长 AH交BC于N，贝U BA = BN , AH =HN。同理，延长 AK交BC于M ,贝U CA = CM , AK = KM。从而由三角形的中位线定理， 知 KH / BC。证明：延长AH交BC于N，延长 AK交BC于M/ BH 平分/ ABCZ ABH 二 Z NBH又BH丄AH.Z AHB 二 Z NHB = 90BH = BH.ABH 三：NBHA( SA)BA =BN, AH =HN同理，CA = CM , AK = KM.KH是.AMN的中位线.KHM/ N即 KH/BC说明：当一个三角形中出现角平

46、分线、中线或高线重合时，则此三角形必为等腰三角形。我们也可以理解成把一个直角三角形沿一条直角边翻折（轴对称）而成一个等腰三角形。例4.已知：如图4所示,AB = AC , Z A = 90 , AE = BF, BD = DC。求证：FD丄ED2 311ID图4证明一：连结ADDC'AB = AC,.Z 1 + Z 2 =90°,亠 Z BAC =90®, BD = DCZ DAE二 Z DABBD 二 ADZ B = Z DAB 二 Z DAE在 ADE 和 BDF 中，AE =BF , Z B = Z DAE, AD = BDADE 三 BDF31-Z3&quo

47、t; =90FD_ED说明：有等腰三角形条件时，作底边上的高，或作底边上中线，或作顶角平分线是常用辅助线。精品文档证明二：如图5所示，延长 ED到M，使DM = ED，连结FE, FM , BMBDCM图5 - BD 二 DC.BDM = CDE, DM 二 DEBDM 二 CDE.CE = BM , C CBM.BM / /AC' . A =90.ABM =90、/AAB 二 AC, BF 二 AE.AF =CE =BM说明：证明两直线垂直的方法如下：（1）首先分析条件，观察能否用提供垂直的定理得到，包括添常用辅助线，见本题证一（2）找到待证三直线所组成的三角形，证明其中两个锐角互余

48、。（3）证明二直线的夹角等于 90 °。3、证明一线段和的问题（截CE（一）在较长线段上截取一线段等一较短线段，证明其余部分等于另一较短线段。长法）例5.已知：如图6所示在 ABC中， B=60，/ BAC、/ BCA的角平分线AD、相交于0。 求证：AC = AE + CD分析：在 AC 上截取 AF = AE。易知.IAEO 三.AFO , - Z/2。由.B = 60 ,知三 5£6=601 , /602, /£3=120。 Z1 二2 / 3£4=60，得：FOC0 厶 OC, FC=DC证明：在AC上截取AF = AE：BAD = . CAD,

49、 AO = AOAEO 二 AFO SAS 4 2又.B = 6056 = 60 1 = 6023 = 120.1 2 3 4 =60.FOC 二 DOC （AAS）FC = DC即 AC 二 AE CD（二）延长一较短线段，使延长部分等于另一较短线段，则两较短线段成为一条线段，证明该线段等于较长线段。（补短法）例6.已知：如图7所示，正方形 ABCD中，F在DC上，E在BC上，.EAF = 45 。求证：EF = BE + DF分析：此题若仿照例1，将会遇到困难,不易利用正方形这一条件。不妨延长CB至G ,使 BG= DF。证明：延长CB至G,使BG = DF在正方形 ABCD 中，乙ABG

50、 ED =90 , AB = AD.ABG 二.：ADF (SAS).AG = AF，仁.3又.EAF =4523 = 4521 =45即/ GAE = Z FAEGE =EFE BE DF4、中考题： 如图8所示，已知 ABC为等边三角形，延长 BC到D，延长BA到E,并且使 AE = BD，连结 CE、DE。 求证：EC= EDE/f-,/ f JFABCD图8证明：作DF/AC交BE于FABC是正三角形.BFD是正三角形又 AE = BDAE =FD = BF.BA =AF =EF即 EF= ACAC/FDEAC = EFDEAC 二 DFE (SAS)EC 二 ED题型展示： 证明几何

51、不等式:例题：已知：如图9所示， 1=/2 , AB AC 。求证：BDD CA/4 2C BDE图9证明一：延长AC至U E,使AE = AB，连结DE在 :ADE 和 ADB 中，AE 二 AB, 2/1, AD 二 ADADE 二 ADBBD =DE, E =/BDCE BDCE EDE DC, BD DC证明二：如图10所示，在AB上截取AF = AC,连结DFABD C图10则易证厶ADF二 ADC3=4，DF 二 DCBFD3， 4 BBFD BBD DFBD DC这是常用辅助线。DE丄CD于D ,交BC说明：在有角平分线条件时，常以角平分线为轴翻折构造全等三角形,【实战模拟】1.

52、 已知：如图11所示， ABC中， C=90 , D是AB上一点，1于 E,且有 AC 二 AD =CE。求证：DE CD 2C/ 、； EA dB图112. 已知：如图12所示，在 ABC中，.A = 2 . B , CD是/ C的平分线。求证：BC = AC + ADAD /BC图123. 已知：如图13所示，过 UBC的顶点A，在/ A内任引一射线，过 B、C作此射线的垂线BP和CQ。设M为BC的中点。求证：MP = MQQM精品文档AD ： - AB AC BC 4图134. ABC 中， BAC=90 , AD_BC 于 D，求证:【试题答案】1. 证明：取CD的中点F，连结AFF/3 E/ / Jrj/T、匕ADB - AC 二 AD.AF_CD又 14=90 , 13=90AFC 二 CDE =9043AC 二 CE：ACF 二：CED (ASA).CF =ED1DE CD22. 分析：本题从已知和图形上看好象比较简单，但一时又不知如何下手，那么在证明一“截长”即将长的线段截条线段等于两条线段之和时，我们经常采用“截长补短”的手法。在 CBD和厶CED中,成两部分，证明这两部分