高三数学（理科）二轮复习教案专题四第二讲数列的通项公式与数列求和

1、.第二讲数列的通项公式与数列求和研热点（聚焦突破）类型一 数列的通项问题1累加法求通项：形如an1anf(n)2累乘法求通项：形如f(n)3构造法：形如：an1panq.4已知Sn求an，即an例1(2012年高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn，数列Sn的前n项和为Tn，满足Tn2Snn2，nN*.(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式解析(1)当n1时，T12S112.因为T1S1a1，所以a12a11，解得a11.(2)当n2时，SnTnTn12Snn22Sn1(n1)22Sn2Sn12n1，所以Sn2Sn12n1，所以Sn12Sn2n1，得an12an2.所以an122(an2

2、)，即2(n2)当n1时，a123，a226，则2，所以当n1时也满足上式所以an2是以3为首项，2为公比的等比数列，所以an23·2n1，所以an3·2n12.跟踪训练数列an中，a11，对所有的n2，都有a1·a2·a3··ann2，数列an的通项公式为_解析：由题意，当n2时，a1·a2·a3··ann2，故当n2时，有a1·a2224，又因为a11，所以a24.故当n3时，有a1·a2·a3··an1(n1)2，由，得an.而当n1时，a

3、11，不满足上式，n2时，满足上式所以数列an的通项公式为an答案：类型二 数列求和数列求和的方法技巧(1)转化法有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并；(2)错位相减法这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an·bn的前n项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列；(3)裂项相消法利用通项变形，将通项分裂成两项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和例2(2012年高考浙江卷)已知数列an的前n项和为Sn，且Sn2n2n，nN*，数列bn满足an4

4、log2bn3，nN*.(1)求an，bn；(2)求数列an·bn的前n项和Tn.解析(1) 由Sn2n2n，得当n1时，a1S13；当n2时，anSnSn14n1.所以an4n1，nN*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nN*.(2)由(1)知anbn(4n1)·2n1，nN*，所以Tn37×211×22(4n1)·2n1，2Tn3×27×22(4n5)·2n1(4n1)·2n，所以2TnTn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故Tn(4n5)2n5，nN*.跟踪训练(201

5、2年高考课标全国卷)数列an满足an1(1)nan2n1，则an的前60项和为()A3 690B3 660C1 845 D1 830解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)1026422341 830.答案：D类型三 数列的综合应用1数列的综合应用多涉及函数、不等式、解析几何等

6、知识2数列的单调性的判断方法：(1)作差：an1an与0的关系；(2)作商：与1的关系例3(2012年高考广东卷)设数列an的前n项和为Sn，满足2Snan12n11，nN*，且a1，a25，a3成等差数列(1)求a1的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有<.解析(1)a1，a25，a3成等差数列，2(a25)a1a3.又2Snan12n11，2S1a2221，2S2a3231，2a1a23，2(a1a2)a37.由得a11.(2)2Snan12n11，当n2时，2Sn1an2n1.得2anan1an2n12n，an13an2n.两边同除以2n1得·，

7、1(1)又由(1)知1(1)，数列1是以为首项，为公比的等比数列，1·()n1()n，an3n2n，即数列an的通项公式为an3n2n.(3)证明：an3n2n(12)n2nC·1n·20C·1n1·21C·1n2·22C·10·2n2n12n2(n2n)2n2n>12n2(n2n)12n2>2n2>2n(n1)，<·，<11(1)1(1)<，即<.跟踪训练(2012年北京东城模拟)已知数列an满足a1，(n2，nN)(1)试判断数列(1)n是否为等比数

8、列，并说明理由；(2)设cnansin ，数列cn的前n项和为Tn.求证：对任意的nN*，Tn<.解析：(1)由an得(1)n，所以(1)n2·(1)n2(1)n1又130，故数列(1)n是首项为3，公比为2的等比数列(2)证明：由(1)得(1)n3·(2)n1.所以3·(2)n1(1)n，an，所以cnansin (1)n1<.所以Tn<1()n<.析典题（预测高考）高考真题【真题】(2012年高考湖南卷)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资

9、金年增长率与第一年的相同公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元(1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式；(2)若公司希望经过m(m3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)【解析】(1)由题意得a12 000(150%)d3 000d，a2a1(150%)da1d4500d.an1an(150%)dand.(2)由(1)得anan1d(an2d)d()2an2dd()n1a1d1()2()n2整理得an()n1(3 000d)2d()n11()n1(3 00

10、03d)2d.由题意，知am4 000，即()m1(3 0003d)2d4 000，解得d.即该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m3)年企业的剩余资金为4 000万元【名师点睛】本题考查利用递推数列求通项的方法，考查综合利用数列知识分析解决实际问题的能力，难度较大，解答本题的关键是求出递推关系an1and，并变形求an.考情展望高考对数列的通项与求和的考查多以解答题形式出现，主要考查an与Sn的关系，以及错位相减求和、裂项求和及分组转化求和，难度中档偏上名师押题【押题】在平面直角坐标系中，设不等式组(nN*)表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为an.(1)求数列an的通项公式；(2)若bn12bnan，b113.求证：数列bn6n9是等比数列，并求出数列bn的通项公式【解析】(1)由得0<x3，所以平面区域为Dn内的整点为点(3，0)或在直线x1和x2上直线y2n(x3)与直线