八年级数学新课预习：第一章第一节探索勾股定理北师大版知识精讲-文档

1、初二数学新课预习：第一章第一节探索勾股定理北师大版【本讲教育信息 】一 . 教学内容：新课预习：第一章：勾股定理第一节：探索勾股定理二 . 教学要求经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，掌握勾股定理， 并能运用它解简单的计算题和实际问题， 了解运用数形结合解决数学问题的重要性， 进一步提高分析问题、 解决问题的能力。三 . 重点及难点重点：勾股定理的应用，难点：勾股定理的验证。四 . 课堂教学知识要点1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、 探索、发现正方形面积之间存在这样的关系：即 C 的面积 B 的面积 +A 的面积，现将面积问题

2、转化为直角三角形边的问题，于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。勾股定理 ：如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么a 2b 2c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。说明：（ 1）勾股定理只有在直角三角形中才适用， 如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。（ 2）我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。在没有特殊说明的情况下，直角三角形中， a， b 是直角边， c 是斜边，但有时也要考虑特殊情况。（ 3）除了利用a，b，c 表示三边的关系外，还应会利用AB ，BC，CA表示三边的关系，在 ABC中，B 90

3、76;，利用勾股定理有AB 2BC 2AC2。2. 利用勾股定理的变式进行计算由 a 2b 2c 2 ，可推出如下变形公式：（ 1） a2c 2b 2 ；（ 2） b2c 2a 2（ 3） ac2b 2（ 4） bc2a 2（ 5） ca 2b2（平方根将在下一章学到）说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。【典型例题 】例 1. 如图，在Rt ABC中， C 90°， AM是中线， MN AB ，垂足为N ，试说明AN 2BN2AC 2。分析： 线段AN ，BN ， AC不构成直角三角形，所以不能直接利用勾股定理，故考虑转化，由于AC 2AM2M

4、C 2，而MC MB ，故只需说明AN2BN 2AM2MB 2即可。解： MN AB ，AN2MN2AM2，BN2MN2MB 2AN2BN2AM2MB 2 AM 是中线， MB MC在 RtABC 中，AM 2MC 2AC 2AN2BN 2AM 2MB 2AM 2MC 2AC 2例 2. 如图所示，已知Rt ABC 中， ACB 90°，CD AB ，若 AC 4， BC 3，求CD 的长。分析： 此题可将 CD 放在 RtACD 和 Rt BCD 中，利用勾股定理列方程求解， 但比较复杂，如果把 CD 看作是 AB 边上的高，利用面积列方程求解就容易了。解法 1：设 AD 的长为

5、x， AC 4， BC 3， ACB 90°， AB2AC2BC2423225 AB 5，则 DB AB AD 5 x CDAB ，在 Rt ACD 中， CD 2AC 2AD 24 2x 2在 RtBCD 中， CD 2BC 2BD 232(5x) 2 4 2x232(5 x) 2 ， x165CD242x242(16) 2144， CD125255解法 2： AC 4，BC 3， ACB 90° AB2AC 2BC 24 23225， AB 5SABC1 ACBC1AB CD 1212435CD22 5CD 12， CD 125例 3. 如图所示，一棵36 米高的树被风

6、刮断了，树顶落在离树根24 米处，求折断处的高度 AB。分析： 已知的 36 米是 AC 与 AB 的和，若设 AB 为 x 米，则 AC 为（ 36x）米，这样就可以利用勾股定理列方程求解了。解： 设 AB x 米，则 AC （ 36 x）米ABBC， AB2BC 2AC 2 x 2242(36 x)2 x10，折断处的高度AB 是10米。例 4. 如图所示，在高为 3 米，斜坡长为 5 米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要多少米？若楼梯宽 2 米，每平方米地毯需 50 元，那么这块地毯需花多少元？分析： 从表面看， 每个台阶水平和竖直的长度都求不出来，但仔细观察发现，楼梯水平方向的长度

7、和为 AC ，竖直方向的长度和为 BC ，要求地毯的长度，只需利用勾股定理先求出 AC ，再求 AC+BC 即可。解： 在 Rt ABC 中， AC 2BC 2AB 2 AC2AB 2BC 216，AC4 米地毯的长度为AC+BC 4+3 7 米地毯的总面积为7× 214 平方米需花 50× 14 700 元例5. 已知直角三角形的两边分别为3 和 4，求斜边。错解： 直角三角形的两直角边为3 和 4，斜边为5。分析： 凭经验出发，审题不仔细，认为3 和 4 为两直角边，则斜边必然是5，忽略了题目中 3 和 4 是任意两边，因为4 3，所以 4 也可以作为直角三角形的斜边。

8、解： 当 3 和 4 为直角三角形的两直角边时，斜边为5。当直角边为3， 4 为斜边时，第三条边也可求，故斜边为4。【模拟试题 】（答题时间： 40 分钟）一 .选择题1.已知一个 Rt的两边长分别为3 和 4，则第三边长的平方是（）A. 25B. 14C. 7D.7 或252.若线段 a， b， c 组成 Rt，则它们的比为（）A. 234B3 4 6C. 51213D. 4673. Rt 一直角边的长为 11，另两边为自然数，则Rt的周长为（）A. 121B. 120C. 132D. 不能确定4.如果 Rt 的两直角边长分别为n2 1，2n（ n>1 ），那么它的斜边长是（）A. 2

9、nB. n+1212C. nD. n +15.已知 Rt ABC 中， C 90°，若 a+b 14cm，c 10cm，则 RtABC 的面积是（）2B. 36cm222A. 24cmC. 48cmD. 60cm6.三角形的三边长为（a+b） 2 c2+2ab，则这个三角形是（）A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形7.已知，如图长方形ABCD 中， AB 3cm，AD 9cm，将此长方形折叠，使点B与点 D重合，折痕为 EF，则 ABE 的面积为（）A. 6cm 2B. 8cm2C. 10cm2D. 12cm 28. 已知，如图，一轮船以16 海里 /时的

10、速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12 海里 /时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行， 离开港口2 小时后，则两船相距（）A. 25 海里B. 30海里C. 35海里D. 40 海里二. 填空题1. 在 Rt ABC 中， C 90°，若 a 5， b 12，则 c _；若 a 15， c 25，则 b _；若 c 61， b 60，则 a _ ；若 a b 34，c10，则 SRt ABC _。2.直角三角形两直角边长分别为5 和 12，则它斜边上的高为 _。3.在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1 米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距

11、离为2 米，问这里水深是 _m 。4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 7cm，则正方形 A ，B ， C， D 的面积之和为 _cm 2。5. 在一棵树的 10 米高 B 处有两只猴子， 一只猴子爬下树走到离树 20 米处的池塘的 A 处。另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 _ 米。三. 解答题1. 如图，铁路上 A ， B 两点相距 25km， C，D 为两村庄， DA AB 于 A ，CB AB 于 B，已知 DA 15km， CB 10km，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E，使得两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少 km 处？C，D2. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1 米，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。3. 如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为 a， b。利用这个图试说明勾股定理?试题答案一 .选择题1.D2.C3. C4. D5.A6.C7. A8. D二 .填空题1.132011242.603.1.54. 495.