立体几何中的向量方法3收藏PPT课件

1、1第1页/共19页2F1 1F3 3F2 2F1 1F2 2F3 3ACBO500kgF1 1F3 3F2 2第2页/共19页空间“角度”问题第3页/共19页A平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ，如果 ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. n n n n 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.n n 几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有0n m n m n l第4页/共19页问题：如何求平面的法向量？),(

2、) 1 (zyxn 设出平面的法向量为),(),()2(222111cbabcbaa向量的坐标两个不共线的找出（求出）平面内的00,) 3(bnanzyx方程组的关于根据法向量的定义建立个解，即得法向量。解方程组，取其中的一)4(第5页/共19页(2,2,1),(4,5,3),ABACABC 例2：已知求平面的 单位法向量。nxyz解：设平面的法向量为（ ， ， ），(2,2,1)0(4,5,3)0,nAB nACxyzxyz 则，（ ， ， ），（ ， ， ）220,4530 xyzxyz即1121xzy 取，得1( , 1,1),2n3|2n 12 2 (-33 3ABC求平面的单位法向量

3、为， ，）1第6页/共19页1.异面直线所成角设直线设直线, l m的方向向量分别为的方向向量分别为, a b lamlamb 若两直线 所成的角为 , 则, l m(0)2cosa ba b 复习引入第7页/共19页方向向量法 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图（2），设二面角 的大小为其中AB lCDlCDABl,CDABCDABCDAB,coscosDCLBA2、二面角第8页/共19页注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角Lnm 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量 ，则

4、二面角 的大小 mn，lnm,nm, 2、二面角若二面角 的大小为 , 则l (0)cos.u vu v 法向量法第9页/共19页3. 线面角 ua ula 设直线l的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，且直线 与平面 所成的角为 ,则 ( )a u l02 sina ua u 第10页/共19页11A1AB1BC1C1D1Fxyz所以：解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示，设 则 11CC (1,0,0), (0,1,0),ABCxyzC) 1 ,21,21(),1 , 0 ,21(11DF) 1 ,21,21(,) 1 , 0 ,21(11DBFA10302345| 141|11

5、11DBFADBFA11cos,AF BD |所以所以 与与 所成角的余弦值为所成角的余弦值为1BD1AF1030第11页/共19页 反思：此题典型的说明了向量法与几何法各有什么优劣。结合前面几节课的内容。 几何法：缺点：几何法复杂难懂，需要空间想象能力超强。几何法思维的发生发展难，几何法技巧性高个性强，很不容易想到。 优点：几何法证出来了我们就知道为什么能证出来，几何法能看清几何体的结构本质。几何法是垂直我们就知道为什么垂直，因为有图形为证。也因为几何法我们是通过视觉，向量法却是大脑的抽象思维。 向量法：优点：向量法简单明了没几步。此题可看出向量法的威力和优越。向量法是证出来了也不知道为什么

6、能证出来。向量法表面上是代数运算实际上是几何运算，几何运算被隐藏起来了。向量法证明是空荡荡的，找不到一个坚实的支撑点。向量法看不清楚。 结合前几节课的题可看出向量法是只披着羊皮的狼。向量法求解与证明可以有统一的模式，几何法却是技巧性高个性强。 缺点：运算量很大。第12页/共19页13ABCDS解： 建立空直角坐系A-xyz如所示,),0 ,21, 0(DA( 0, 0, 0) ,C ( -1, 1, 0) ,(0,0,1)S) 1,21, 0(),0 ,21, 1 (DSDC),0 ,21, 0(1DAnSBA的法向量易知，面2( , , ),SCDnx y z 的法向量22,nCD nSD

7、由得：设平面0202zyyx) 1 , 2 , 1 (2n解得：,36|,cos212121nnnnnn。是即所求二面角的余弦值36xyz第13页/共19页 反思：此题典型的说明了向量法与几何法各有什么优劣。结合前面几节课的内容。 几何法：缺点：几何法复杂难懂，需要空间想象能力超强。几何法思维的发生发展难，几何法技巧性高个性强，很不容易想到。 优点：几何法证出来了我们就知道为什么能证出来，几何法能看清几何体的结构本质。几何法是垂直我们就知道为什么垂直，因为有图形为证。也因为几何法我们是通过视觉，向量法却是大脑的抽象思维。 向量法：优点：向量法简单明了没几步。此题可看出向量法的威力和优越。向量法

8、是证出来了也不知道为什么能证出来。向量法表面上是代数运算实际上是几何运算，几何运算被隐藏起来了。向量法证明是空荡荡的，找不到一个坚实的支撑点。向量法看不清楚。 结合前几节课的题可看出向量法是只披着羊皮的狼。向量法求解与证明可以有统一的模式，几何法却是技巧性高个性强。 缺点：运算量很大。第14页/共19页ABCD1A1B1C1DMxyzBCD1A1B1C1DMN|sin|nADnAD解：如图建立坐标系A-xyz,则(0,0,0),A)6 , 2 , 6(M可得由, 51NA)3 , 4 , 0(N).3 , 4 , 0(),6 , 2 , 6(NAMA由的法向量设平面),(zyxn 00nNAn

9、MA0340626zyzyx即在长方体 中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15,AN , 61AA, 8, 6ADAB第15页/共19页ABCD1A1B1C1DMNxyzBCD1A1B1C1DMN)34, 1 , 1 (n得,34343)34(118|0810|222(0,8,0),AD 又ADANM与平面所成角的正弦值是34343|sin|nDAnDA在长方体 中，ADANM求与平面所成的角的正弦值.例1：1111ABCDABC D1112,MBCB M 为上的一点,且1NAD点 在线段上，15

10、,AN , 61AA, 8, 6ADAB第16页/共19页 反思：此题典型的说明了向量法与几何法各有什么优劣。结合前面几节课的内容。 几何法：缺点：几何法复杂难懂，需要空间想象能力超强。几何法思维的发生发展难，几何法技巧性高个性强，很不容易想到。 优点：几何法证出来了我们就知道为什么能证出来，几何法能看清几何体的结构本质。几何法是垂直我们就知道为什么垂直，因为有图形为证。也因为几何法我们是通过视觉，向量法却是大脑的抽象思维。 向量法：优点：向量法简单明了没几步。此题可看出向量法的威力和优越。向量法是证出来了也不知道为什么能证出来。向量法表面上是代数运算实际上是几何运算，几何运算被隐藏起来了。向量法证明是空荡荡的，找不到一个坚实的支撑点。向量法看不清楚。 结合前几节课的题可看出向量法是只披着羊皮的狼。向量法求解与证明可以有统一的模式，几何法却是技巧性高个性强。 缺点：运算量很大。第17页/共19页用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图