函数导数高考题汇编答案

1、高考数学试题分类汇编函数（答案）1.（2009 浙江文）（本题满分 15 分）已知函数 f ( x) x3(1 a) x2a(a 2)x b (a,b R) （ I）若函数 f (x) 的图象过原点，且在原点处的切线斜率是3 ，求 a, b 的值；（ II）若函数 f ( x) 在区间 ( 1,1) 上不单调 ，求 a 的取值范围解析：（）由题意得( )322(1 )(2)fxxa xa af (0)b0，解得 b0 ， a3 或 a 1又2)f ( 0)a(a3）由 f' ( x) 0 ,得 xa, xa 2123又 f ( x ) 在 ( 1,1) 上不单调 ,即a21a231a或

2、3a21 a1a31a15a1解得1或a1a22所以 a 的取值范围是 (5,1)( 1,1) .222.(2009 山东卷文 ) （本小题满分12 分）已知函数f (x)1ax3bx2x 3其中 a03,（1）当 a,b 满足什么条件时 , f ( x) 取得极值 ?（2）已知 a0 ,且 f (x) 在区间 (0,1 上单调递增 ,试用 a 表示出 b 的取值范围 .解: (1) 由已知得 f '(x)ax22bx1,令 f ' ( x)0 ,得 ax22bx10 ,f ( x) 要取得极值 ,方程 ax 22bx 10 必须有解 ,所以4b24a0 ,即 b2a ,此时方

3、程 ax22bx 10 的根为x2b 4b24abb2a , x22b4b24abb2a ,12aa2aa所以 f '(x)a( xx1 )( xx2 )当 a 0 时 ,x(- ,x1)x 1(x1,x2)x2(x2,+)f(x)00f (x)增函数极大值减函数极小值增函数所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值.当 a 0时 ,x(- ,x2)x 2(x2,x1)x1(x1,+)f(x)00f (x)减函数极小值增函数极大值减函数所以 f ( x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值 .综上 ,当 a,b 满足 b2a 时 ,f (x) 取得极值

4、.(2)要使 f ( x) 在区间(0,1 上单调递增 ,需使 f '(x)ax22bx1 0 在 (0,1 上恒成立 .即bax1, x(0,1恒成立 ,所以b(ax1) max22x22xax1 ,a 1a(x21 )设 g( x)g '(x)a,22x22x22x2令 g '( x)0得 x1或 x1(舍去 ),aa当 a1时,011,当 x(0,1) 时 g '( x)0 , g (x)ax1单调增函数 ;aa22x当 x (1,1 时 g '( x)0 , g(x)ax1单调减函数 ,a22x所以当 x1时 , g( x) 取得最大 ,最大值为

5、 g(1)a .aa所以 ba当 0a1时 ,11,此时 g '( x )0在区间 (0,1恒成立 ,所以 g( x)ax1在区间 (0,1 上单a22x调递增 ,当x1时g( x)最大,最大值为g (1)a1ba1所以2,2综上 ,当 a 1 时 , ba ;当 0 aa 11时 , b2【命题立意】 :本题为三次函数 ,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值 ,函数在区间上为单调函数 ,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立 ,再转为函数研究最值 .运用函数与方程的思想 ,化归思想和分类讨论的思想解答问题.1323.设函数f ( x)x(1a) x4ax24a

6、 ，其中常数a>1( )讨论 f(x) 的单调性 ;( )若当 x0时， f(x)>0 恒成立，求a 的取值范围。解析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。解：（I）f(x)x22(1)4(x2)(x2 )a xaa由 a1知，当 x2 时， f(x)0 ，故 f (x) 在区间 (,2) 是增函数；当 2x2a 时， f(x)0 ，故 f ( x) 在区间 ( 2,2a) 是减函数；当 x2a 时， f(x)0 ，故 f (x) 在

7、区间 (2a,) 是增函数。综上，当 a1时， f ( x)在区间 (,2) 和 (2a,) 是增函数，在区间(2,2a) 是减函数。（II ）由（ I ）知，当 x0 时， f ( x) 在 x2a 或 x0处取得最小值。fa1 (2a)3(1a)(2a) 24a2a24 a(2)34 a34a 224a3f (0)24a由假设知a 1a1,4f (2a)0,即a(a3)( a6)0,解得1<a<63f (0)0,24a0.故 a 的取值范围是（ 1，6）4.（2009江西卷文）（本小题满分 12 分）设函数 f ( x) x39 x26xa 2（1）对于任意实数x ， f( x

8、)m 恒成立，求 m 的最大值；（2）若方程 f ( x)0 有且仅有一个实根，求a 的取值范围解： (1)f ' ( x)3x29x6 3(x1)(x2) ,因为 x(,) ,f ' ( x)m ,即3x29x(6 m)0恒成立 ,所以8112(6m)0 , 得 m3，即 m 的最大值为344(2) 因为 当 x1时 , f ' ( x)0;当 1x2 时 , f ' ( x)0 ;当 x2时 ,f ' (x)0 ;所以 当 x1 时, f ( x) 取极大值f (1)5a ;2当 x2时 , f (x) 取极小值f (2)2a ;故当 f (2)0

9、或 f (1)0时 ,方程 f ( x) 0 仅有一个实根 . 解得a2 或 a5.25.（2009四川卷文）（本小题满分12 分）已知函数 f (x)x32bx2cx 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是y5x10 。（I）求函数 f ( x) 的解析式；（ II ）设函数 g(x)f (x)1 mx ，若 g( x) 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数g( x) 取得3极值时对应的自变量x 的值 .【解析】（ I ）由已知 , 切点为 (2,0),故有 f (2)0 , 即4b c30又 f ( x)3x24bxc ，由已知 f (2)128bc5 得8bc70 联立，解得 b1

10、,c1.所以函数的解析式为f ( x)x32x2x24 分（II）因为 g( x)x32x2x21 mx3令 g ( x) 3x24x 1 1 m 031 m当函数有极值时，则0，方程 3x24x10 有实数解，3由4(1 m)0 ，得 m1.当 m1时， g (x)0有实数 x22左右两侧均有g ( x)0 ，故函数 g( x) 无极值，在 x33当 m1时， g ( x)0有两个实数根x11 (21 m), x21 (21m ), g ( x), g( x) 情况如33下表：x(, x1 )x1( x1 , x2 )x2( x2)g ( x)+0-0+g (x)极大值极小值所以在 m(,1

11、) 时，函数 g( x) 有极值；当 x1 (21m ) 时， g (x) 有极大值；当x1 (21m ) 时， g (x) 有极小值；3312 分6.（2009 湖南卷文）（本小题满分 13 分）已知函数 f ( x)x3bx2cx 的导函数的图象关于直线x=2 对称 .（）求 b 的值；（）若 f (x) 在 xt 处取得最小值，记此极小值为g(t ) ，求 g(t) 的定义域和值域。解: （） f (x) 3x22bxc .因为函数 f( x) 的图象关于直线x=2 对称，所以2b6.62 ，于是 b（）由（）知，f ( x)x36x2cx ， f ( x)3x2 12x c3(x2)2

12、 c12 .（）当 c12 时， f( x)0 ，此时 f (x) 无极值。（ii ）当 c<12 时， f( x)0有两个互异实根x1 , x2 .不妨设 x1 x2，则 x1 2 x2 .当 x x1 时， f( x)0 ，f (x) 在区间 (, x1 ) 内为增函数；当 x1 x x2 时， f( x)0 ， f ( x) 在区间 ( x1, x2 ) 内为减函数 ;当 xx2 时， f( x)0 ， f ( x) 在区间 (x2 ,) 内为增函数 .所以 f ( x) 在 xx1 处取极大值，在 xx2 处取极小值 .因此，当且仅当c 12 时，函数 f ( x) 在 xx2

13、处存在唯一极小值，所以t x22 .于是 g(t) 的定义域为 (2,) .由 f (t ) 3t 212tc0 得 c3t 212t .于是 g(t)f (t ) t 36t 2ct2t36t 2 ,t(2,).当 t2 时， g (t)6t 212t6t (2t)0,所以函数g(t )在区间 (2,) 内是减函数，故g(t) 的值域为 (,8).7.（2009陕西卷文）（本小题满分12 分）已知函数f (x) x33ax 1, a0求 f ( x) 的单调区间；若 f ( x) 在 x1 处取得极值，直线y=my 与 yf (x) 的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围。解析：（ 1）

14、f ' ( x)3x23a3(x2a),当 a0时，对 xR ，有 f ' ( x)0,当 a0时， f ( x) 的单调增区间为(,)当 a0 时，由 f ' (x)0 解得 xa 或 xa ；由 f ' ( x)0 解得axa ，当 a0时， f ( x) 的单调增区间为(,a ),(a,) ； f (x) 的单调减区间为( a ,a ) 。（2）因为 f ( x) 在 x1 处取得极大值，所以 f ' ( 1)3(1)23a0,a1.所以 f ( x)x33x 1, f ' ( x)3x23,由 f ' ( x)0 解得 x11,

15、x21。由（ 1）中 f ( x) 的单调性可知，f ( x) 在 x1 处取得极大值f (1)1 ，在 x1处取得极小值 f (1)3 。因为直线 ym 与函数 yf (x) 的图象有三个不同的交点，又f (3)193 ， f (3)17 1，结合 f ( x) 的单调性可知，m 的取值范围是 ( 3,1)。9.（2009 天津卷理）（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)(x2ax2a23a)ex ( xR), 其中 aR（ 1）当 a0 时，求曲线 yf ( x)在点 (1, f (1)处的切线的斜率；（ 2）当 a2时，求函数f (x) 的单调区间与极值。3本小题主要考查导数的几何

16、意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。（I）解：0时，()2x'()(22)x'(1)3 .当afxx e，fxx，故fx ee所以曲线 yf ( x)在点(1, f (1)处的切线的斜率为 3e.（II）解： '()2(2)224x.fxxaxaa e令 f ' ( x)0，解得 x2a，或 xa2.由 a2 知， 2a a2.3以下分两种情况讨论。（1） 若 a 2，则2a a2 . 当 x 变化时， f ' (x)， f ( x) 的变化情况如下表：3x， 2a2a2a，a 2a

17、 2a2，+00+极大值极小值所以 f ( x)在(， 2a)，(a 2，)内是增函数，在 (2a，a 2)内是减函数 .函数 f ( x)在x2a处取得极大值 f (2a)，且 f ( 2a)3ae 2a .函数 f ( x)在xa2处取得极小值 f ( a2)，且 f (a2)(43a)ea 2 .（2） 若 a 2，则2a a2 ，当 x 变化时， f ' ( x)， f (x) 的变化情况如下表：3x，a2a2a，2a2a，22a+00+极大值极小值所以 f ( x)在(， a2)，( 2a，)内是增函数，在 (a2， 2a)内是减函数。函数 f ( x)在xa2处取得极大值

18、f ( a2)，且 f (a2)(43a)ea 2 .函数 f ( x)在x2a处取得极小值 f (2a)，且 f ( 2a)3ae 2a .10.（2009 重庆卷文）（本小题满分12 分，（）问 7 分，（）问5 分）已知 f (x)x2bxc 为偶函数，曲线yf ( x) 过点 (2,5) ， g(x) (x a) f ( x) （）求曲线 yg( x) 有斜率为 0 的切线，求实数a 的取值范围；（）若当 x1 时函数 yg ( x) 取得极值，确定yg ( x) 的单调区间解 :（）f ( x) x2bxc 为偶函数 , 故 f (x)f (x) 即有( x)2b(x)cx2bxc 解得 b0又曲线yf (x)过点 (2,5) , 得 22c5,有 c 1g( x)( xa) f (x)x3ax2xa 从而 g ' ( x)3x22ax1 ,曲线y g( x) 有斜率为0 的切线，故有 g' (x)0 有实数解 . 即 3x22ax10