第八 离散时间系统的变换域分析PPT课件

1、主要内容nZ变换及其性质n离散时间系统的Z变换分析n离散时间系统的系统函数和稳定性nZ变换与拉普拉斯变换的关系第1页/共99页8.2 Z变换及其性质一、Z变换的定义及其收敛区 我们知道离散信号可以由连续信号抽样得到：kkTkTtkTfkTttfttf)()()()()()(两边求双边拉普拉斯变换： ksTkstkTdekTfdtekTtkTfttf)()()()()(L L第2页/共99页)()(,kfkTfezsT令kkTdzkfttf)()()(L L则上式就定义为序列f(k)的双边z变换，记为：kkddzkfzFkf)()()(Z Z与拉普拉斯变换一样，在离散系统中我们感兴趣的是因果系统

2、和有始的激励，因此我们同样定义f(k)的单边Z变换：第3页/共99页或用记号 f(k)F(z)表示它们是一对Z变换对。显然单边Z变换是一个单边的无穷级数 0)()()(kkzkfkfzFZ Z210)2() 1 ()0()()(zfzffzkfzFkkF(z)是否存在要看级数是否收敛，使级数收敛的Z的取值范围称为收敛区。第4页/共99页要级数收敛要求|Z|-1小于某一数值，或表示为|Z|R，R与具体的序列有关。将它用图形在Z平面上表达出来，它是以原点为圆心R为半径的圆之外的区域，所以R就称为收敛半径。第5页/共99页例如：f(k)=ak(k)求F(z)及其收敛区。azzazazazazzkfz

3、Fkk131211011)()(1)()(解： |1|1azaz即第6页/共99页说明：1、Z变换与连续系统中的拉普拉斯变换相对应，也有双边与单边之分。2、Z变换与拉普拉斯变换是有联系的，它们之间的关系由 表明。3、能量有限的序列，单边Z变换的收敛区为|z|0。4、有始无终的单边序列，单边Z变换的收敛区总是在某一圆外。5、在收敛区中不应包含极点。)()(kTfkfezst和第7页/共99页二、常用序列的Z变换1、单位函数(k)1)()(0kkzkkZ Z收敛区为整个Z平面 |z|0。 2、单位阶跃序列(k)1|111)(10zzzzzkkkZ Z第8页/共99页3、单边指数序列f(k)=vk(

4、k)|11)()()(1010vzvzzvzvzzvkfzFkkkkkZ Z4、单边正弦和余弦序列sin(kT) (k)，cos(kT) (k)第9页/共99页)()(21)()(21)()sin(kekejkeejkkTkTjkTjkTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1cos2sin212TzzTzezzezzjTjTj1|, | |,|zeeMaxzTjTj第10页/共99页)()(21)()(21)()cos(kekekeekkTkTjkTjkTjkTjZ ZZ ZZ ZZ Z1|1cos2)cos(212zTzzTzzezzezzTjTj同理第11页/共99页1cos2sin)()si

5、n(2TzzTzkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT所以：第12页/共99页三、Z变换的性质1、线性性质 若：f1(k)F1(z) , f2(k)F2(z)则：a1f1(k)+a2 f2(k)a1F2(z)+ a2 F2(z) a1，a2为常数。2、移序性质若：f(k)F(z) 0)()()()()()(10nzFznknkfzkfzzFznkfnnkknn则： 第13页/共99页证明：njjnnkjknknkkzjfzznkfzznkfnkf)()()()(0)(0令Z Z10100)()()()(nkknnnjjjjnzkfzzFzzjfzjfz第14页/共99页0

6、)(0)()()()()()(jjnnkjnknknkkzjfzznkfzznknkfnknkf令Z Z)(zFzn例如：0)(nznkn111) 1(1zzzzk第15页/共99页3、尺度变换若：f(k)F(z) )()(azFkfak证明：)()()()(00azFazkfzkfakfakkkkkkZ Z则：例如：vzzvzvzkvk1)/(/)(第16页/共99页4、时域线性加权和Z域的微分若：f(k)F(z) 则：dzzdFzkkf)()(证明：010)()()(kkkkkzkfzkfdzdzFdzd)()(101kkfzzkkfzkkZ Z)()(zFdzdzkkf第17页/共99页

7、1)(zzk2) 1()1()(zzzzdzdzkk322) 1() 1() 1()(zzzzzdzdzkk例如已知 则：所以，这个性质也可以重复使用。第18页/共99页5、卷积定理(参与卷积序列为有始序列)若：f1(k)F1(z) , f2(k)F2(z)则：f1(k)* f2(k)F1(z).F2(z) 证明： 00210)(02121)()( )()()()(2kkjjkfkjkjzjkfjfjkfjfkfkf时注意倒Z ZZ Z第19页/共99页)()()()()()(210120201zFzFzjfzFzjkfjfjjkkj6、初值定理和终值定理若：f(k)F(z) 则：)(lim)

8、0(zFfz第20页/共99页若F(z)的所有极点位于单位圆内或在z=1处有一个一阶极点。则：)() 1(lim)(1zFzfz2)2() 3()1 ()2()0() 1 (zffzffff)0()()2() 3() 1 ()2()0() 1 ()() 1(lim1ffffffffkfkfzZ Z0)() 1()() 1(kkzkfkfkfkfZ Z证明： 第21页/共99页)0()() 1()()0()()() 1(zfzFzzFzfzzFkfkfZ Z)0()() 1(lim)() 1(lim11fzFzkfkfzzZ Z另一方面)() 1(lim)(1zFzfz例1：)()0() 12)

9、(1()(2ffzzzzF和求第22页/共99页例2：)()0(1)(ffzzzF和求例3：)2()21()(1kkkfk求F(z)例4：已知f(k)求F(z)。kNkNkNNkkkf其它02120)(第23页/共99页设N=3则可画出f(k)的图形为一三角形序列。而三角形序列为两个矩形序列卷积的结果。 *第24页/共99页f(k)=y(k-1) ，而 Y(z)=F1(z)F2(z) 1(111)()(111021zzzzzzzFzFNNNNkk222)11(1)(zzzzYNN2121)11(1)()(zzzzYzzFNN|z|0 第25页/共99页8.3 反反Z变换变换 由F(z)反过来求

10、f(k)称反Z变换，记为Z Z -1F(z)。一、长除法一、长除法根据Z变换的定义F(z)为z的幂级数，因此我们只要设法将F(z)展开为z的幂级数，则其系数即为f(k)。 ),2(),1 (),0()()()(21022110fAfAfAzAzAAzDzNzF则第26页/共99页|)(azazzzF3322123231212121zazaazzazazazazaaaazzaz解：kakfafafaff)()() 3()2() 1 (1)0(32例1： )()()(kakfk第27页/共99页例2：0,1|1)(NzzzzFNN,5 ,3 ,1,4 ,2 , 01)(NNNkNNkkf0)()

11、1()(mmNmkkf或者可写成：第28页/共99页二、围线积分法根据复变函数理论中的柯西(Cauchy)定理：)(0001211kkkdzzjck其中c为围绕原点的反时针方向的围线。则： )()()(21)()(21)(21001)(101kfnknfdzzjnfdzzznfjdzzzFjnncnkcknnck 第29页/共99页rrkckzzzFskfdzzzFjkf,)(Re)()(21)(11其中闭合围线c应包含被积函数F(z)zk-1的所有极点。zr为被积函数的第r个极点。留数的求法： rzzkrrkrzzFzzzzzFsz11)()(,)(Re:1为单极点、第30页/共99页rzz

12、kNrNNrkrzzFzzdsdNzzzFsNz)()()!1(1,)(Re:21111阶极点为、例：|)(azazzzF求f(k)。解：dzazzjdzzazzjkfckck2121)(1第31页/共99页k0时 k0时 第32页/共99页当k0时 被积函数在围线内只有一个一阶极点 a。当k0时 被积函数在围线内有一个一阶极点 a，还有一个-k阶的极点0。kazkkazaazzreskfk,)(0时kazkkazaazzresk,0时第33页/共99页kzkkzkkkaazazdzdkazzres01011)() 1(1)!1(10 ,0)(0kkaakfk时)()(kakfk第34页/共9

13、9页三、部分分式展开法)()()(zDzNzFv1，v2，.，vn。也称F(z)的n个极点。 设D(z)=0有n个单根则： )()()(zzDzNzzF0，v1，v2，.，vn。展开为部分分式： 有n+1个极点第35页/共99页nnrrvzBvzBvzBzBzzF110)(nnrrvzzBvzzBvzzBBzF110)()()()()(110kvBkvBkBkfknnk也可将极点分为三种不同情况，并记住下面几个简单的公式。第36页/共99页1、单根时 )(kvvzzkrr2、n阶重根时 )()2()2)(1()!1(1)(1kvnkkkknvzznkn3、v，v*为一对共轭复根时 )()cos

14、(2*kkvrvzzAvzzAvk)()!1(!)!1(11kvnkknnk或者第37页/共99页例1：5 . 05 . 05 . 02)(22zzzzzF求右边序列f(k)。 解：5 . 0111)5 . 0)(1(5 . 02)(zzzzzzzF5 . 01)(zzzzzF)()5 . 0(1 )(kkfkvjjevverA其中：第38页/共99页例1：32)5 . 0(5 . 0)(zzzzF求右边序列f(k)。 解：233)5 . 0(1)5 . 0(1)5 . 0(5 . 0)(zzzzzzF23)5 . 0()5 . 0()(zzzzzF)()5 . 0()()5 . 0)(1(2

15、1)(12kkkkkkfkk)()5 . 0()()5 . 0(2122kkkkkk第39页/共99页例：1|1222)(22zzzzzzF求f(k)。 解：42, 1)1 (21jejv4*14121222)(jjezAezAzzzzzF1)()(441jezjzzFezA第40页/共99页44)(jjezzezzzF0,1145,1|14541rAveevvjj)()4cos() 1(2)()45cos(2)()cos(2)(kkkkkkvrkfkvk第41页/共99页对于一对共轭复根也可将它保持整体处理，这时我们可以使用正弦序列和余弦序列的变换对。1cos2sin)()sin(2TzzT

16、zkkT1cos2)cos()()cos(2TzzTzzkkT1)22(2)22(21222)(222zzzzzzzzzF第42页/共99页4322cosTT)()4cos() 1(2)()43cos(2)(kkkkkfk第43页/共99页8.5 离散时间系统的Z变换分析法与拉普拉斯变换一样Z变换是求解差分方程的工具。一、直接求解例1：已知系统的差分方程为) 1(2)2(7)(1 . 0) 1(7 . 0)2(kekekykyky系统的激励和初始条件为：4) 1 (,2)0(, )()(ziziyykke求全响应。 第44页/共99页解：1)(zzzE两边求Z变换)(2)(7)(1 . 0)0

17、(7 . 0)(7 . 0) 1 ()0()(222zzEzEzzYzyzzYzyyzzYzzizizi代入初始条件并整理得：zzzEzzzYzz6 . 22)()27()() 1 . 07 . 0(222) 1)(1 . 07 . 0()6 . 24 . 19()(22zzzzzzzY第45页/共99页15 . 02 . 0) 1)(5 . 0)(2 . 0(6 . 24 . 19)(3212zkzkzkzzzzzzzY5 .10) 1)(5 . 0(6 . 24 . 192 . 021zzzzzk7) 1)(2 . 0(6 . 24 . 195 . 022zzzzzk第46页/共99页5

18、.12)5 . 0)(2 . 0(6 . 24 . 19123zzzzzk15 .125 . 072 . 05 .10)(zzzzzzzY)()2 . 0(5 .10)5 . 0(75 .12)(kkykk需要注意的是将k=0 , 1 代入y(k) 得 y(0)=9 , y(1)=13.9 显然与题目所给的不一致。原因是题目所给出的实际上是系统的初始储能，是不考虑输入激励下的初始条件yzi(0)=2 , yzi(1)=4。 第47页/共99页 差分方程两边进行Z变换时，方程的左边用移位性质时计入了零输入响应初始条件，而方程的右边没有计入激励的初始值。原因也在于此，方程的左边计入的是系统的初始储

19、能与激励无关。如果方程的左边计入的是系统全响应的初值,则右边也应计入激励的初值。) 1(2)2(7)(1 . 0) 1(7 . 0)2(kekekykyky系统的激励和初值为：9 .13) 1 (,9)0(, )()(yykke重做例一 第48页/共99页解：1) 1 ()0(1)(eezzzE两边求Z变换)0()( 2)1 ()0()( 7)(1 . 0)0(7 . 0)(7 . 0) 1 ()0()(2222zezzEzeezzEzzYzyzzYzyyzzYz代入初值并整理得：zzzEzzzYzz6 . 22)()27()() 1 . 07 . 0(222) 1)(1 . 07 . 0()

20、6 . 24 . 19()(22zzzzzzzY第49页/共99页例2：已知系统的差分方程为)2()(2) 1(3)2(kekykyky 系统的激励和初值为： 2) 1 (,0)0(, )(2)(yykkek求全响应。 解：显然初值 y(0) , y(1) 与激励有关，为全响应的初值。所以我们有两种解决方法：第50页/共99页 一是对差分方程两边Z变换左边计入全响应的初值右边也计入激励的初值。 二是将全响应的初值换算成零输入的初始条件，对差分方程两边Z变换左边计入零输入的初始条件右边不计入激励的初值。方法一：) 1 ()0()()(2)0(3)(3) 1 ()0()(2222zeezzEzzY

21、zyzzYzyyzzYz第51页/共99页2) 1 (, 1)0(2)(eezzzEzzzzzzYzz222)()23(232)23)(2(2)(22zzzzzY13221231) 1)(2)(2(2)(zzzzzzzzzY第52页/共99页1322231)(zzzzzzzY)() 1(32)2()2(31)(kkykkk方法二：将全响应的初值换算成零输入的初始条件，分别将k=-3,-2,-1代入差分方程)2()(2) 1(3)2(kekykyky第53页/共99页) 3()2() 1 (2) 1 () 1(2)0(3) 1 (1)0()2(2) 1(3)0(0) 1() 3(2)2(3) 1

22、(eyyyeyyyeyyy由(1)式可以看出y(-1) , y(-2) , y(-3) 与激励无关，即 y(-1)=yzi(-1) , y(-2)=yzi(-2) , y(-3)=yzi(-3)。所以(2)，(3)式可改写为：2) 1(2)0(3) 1 (1)2(2) 1(3)0(ziziziyyyyyy第54页/共99页解得：yzi(-1)=0 , yzi(-2)=0.5于是令e(k)=0 由差分方程推出yzi(0)和yzi(1) 。 3) 1(2)0(3) 1 (1)2(2) 1(3)0(ziziziziziziyyyyyy)()(2)0(3)(3) 1 ()0()(222zEzzYzyz

23、zYzyyzzYzzizizi)23)(2(2)(22zzzzzY第55页/共99页)() 1(32)2()2(31)(kkykkk差分方程代数方程Z Z变换全响应的解代数方程Z全响应1Z这种方法的实质是：第56页/共99页二、从信号分析的角度分析系统 还是将全响应分为零输入响应和零状态响应来求，y(k)=yzi(k)+yzs(k)1、基于Z变换的方法。注意在求零输入响应时应代入系统的初始条件 ) 1(2)2(7)(1 . 0) 1(7 . 0)2(kekekykyky4) 1 (,2)0(, )()(ziziyykke例3：已知系统的差分方程为 系统的初始条件和激励为：求yzi(k)和yzs

24、(k) 。 第57页/共99页解：1、令输入为0，两边Z变换，需要注意的是这种方法只能用零输入的初始条件0)(1 . 0)0(7 . 0)(7 . 0) 1 ()0()(22zYzyzzYzyyzzYzzizizizizizi2 . 0105 . 0121 . 07 . 06 . 22)(22zzzzzzzzzYzi)()2 . 0(10)5 . 0(12)(kkykkzi2、令初始条件为0，两边Z变换1)27()() 1 . 07 . 0(22zzzzzYzzzs第58页/共99页2 . 05 . 05 . 0515 .12) 1)(1 . 07 . 0()27()(22zzzzzzzzzz

25、zzzYzs)()2 . 0(5 . 0)5 . 0(55 .12)(kkykkzs)()2 . 0(5 .10)5 . 0(75 .12)(kkykk第59页/共99页2、基于系统函数、基于系统函数H(z)的方法。的方法。(1)、零状态响应、零状态响应yzs(k)、e(k)E(z) 、定义离散系统的系统函数 、Yzs(z)=E(z)H(z)、yzs(k)=Z-1Yzs(z)(2)、系统函数、系统函数H(z)()()(zEzYzHzs第60页/共99页时域中零状态响应的求法为计算卷积 y(k)=e(k)*h(k) 由卷积定理 Y(z)=E(z)H(z)。所以 h(k)H(z)第61页/共99页

26、、H(z)也可由转移算子H(S)求。)()(zHSHzS 、由离散系统的方框图或信号流图求H(z)。 (3)、零输入响应yzi(k)显然H(z)的极点就是系统的特征根，所以可以根据H(z)的极点写出yzi(k)的一般形式，然后由系统的初始条件确定系数。 第62页/共99页例4：已知系统的差分方程为 )2()(2) 1(3)2(kekykyky系统的初值和激励为： 2) 1 (,0)0(, )(2)(yykkek求零输入响应和零状态响应。 解：2, 123)(2122vvzzzzH第63页/共99页kkziccky)2() 1()(21前例我们已经由差分方程求出了初始条件。我们还可以先求出零状态

27、响应的初值；然后用全响应的初值减去零状态响应的初值求得零输入的初始条件。确定c1,c2时必需要用零输入的初始条件。2)(zzzE)23)(2()()()(23zzzzzHzEzYzs第64页/共99页2131231)(zzzzzzzYzs)()2() 1(31)2(31)(kkykkkzs3) 1(2) 1 () 1 () 1 (110)0()0()0(zszizsziyyyyyy第65页/共99页2,1321212121cccccc)()2(2) 1()(kkykkzi)() 1(32)2()2(31)()()(kkykykykkkzszikkziccky)2() 1()(21第66页/共9

28、9页3、离散时间系统的系统函数H(z)01110111)()()(aSaSaSbSbSbSbSDSNSHnnnmmmm（1）、H(z) 的表示 sz01110111)()()(azazazbzbzbzbzDzNzHnnnmmmmmzzz,21mvvv,21设H(z)有m个零点：。和n个极点：。则： 第67页/共99页mmrrmrrbHvzvzvzvzzzzzzzzzHzH0110)()()()()()()(n知道了极点和零点H(z)就基本确定了，只是差一个比例因子H0。 n也可以将它分子、分母的因子在Z平面中用矢量表示。 n如果我们定义离散信号的傅里叶变换，系统函数也可以用它的幅频特性和相频特

29、性来表示。也可用矢量作图的办法来估计离散系统的幅频特性和相频特性曲线。 第68页/共99页(2)、H(z)与离散时间系统的模拟)() 1()() 1()2(0101kebkebkyakyaky这是一个二阶系统的差分方程，它的模拟方框图可以方便地作出：01201)(azazbzbzH第69页/共99页所以模拟方框图也可根据H(z)来作。这样作出的方框图也称为直接型模拟方框图。 引入中间变量q(k)则差分方程可写成如下的等价形式： )() 1()()()() 1()2(0101kqbkqbkykekqakqakq将差分方程两边Z变换（不计初始条件）)()()()()()()(01012zQbzzQ

30、bzYzEzQazzQazQz第70页/共99页可见它们没有本质的区别，只是将单位延时器D改成Z-1，相应的变量改成Z域的变量即可。第71页/共99页若将mmrrmrrbHvzvzvzvzzzzzzzzzHzH0110)()()()()()()(写成级联和并联)()()()(21zHzHzHzHr级联形式：)()()()(21zHzHzHzHr并联形式：也可画出离散系统的级联型和并联型模拟方框图。 第72页/共99页 级联形式不是唯一的其分子分母可有不同的组合。若零点和极点中有共轭复根则分解为二次因式。另外两种形式中的H1(z)，H2(z)，.，Hr(z) 是不同的。 由离散系统的模拟方框图也

31、可画出它的信号流图并用流图的化简和梅森公式求出任意两个结点之间的传输值或传输函数。 第73页/共99页(3)、H(z)与离散时间系统的稳定性 可以证明离散系统稳定的充分必要条件是单位函数响应h(k)绝对可和：0)(kkh第74页/共99页第75页/共99页 在实际中我们通常根据H(z)的极点在Z平面中的位置来判别比较方便。如果H(z)的所有极点位于Z平面的单位园内则系统稳定；如在单位园上仅有一阶极点则临界系统稳定；如有极点点位于Z平面的单位园外则系统不稳定。 如果H(z)的极点不易求得也可以用罗斯判据来判别，但罗斯判据只能判别是否有实部位正的根。 第76页/共99页为能够使用罗斯判据可作一个影

32、射将Z平面的单位园内影射到平面的左半平面，单位园外影射到平面的右半平面，单位园影射到平面的虚轴，这种影射称双线性变换。 11z第77页/共99页0075. 025. 05 . 023zzz05 . 025. 0223zzz例5：判别下列方程是否有单位园外的根（1）、（2）、解:（1）、作双线性变换则原方程化为：075. 325. 325. 225. 123因系数不同号所以原方程就有单位园外的根。第78页/共99页罗斯数列没有符号变化，因此没有实部为正的根，即原方程就没有单位园外的根。 解：（2）作双线性变换则原方程化为：0825. 1025. 3475. 2685. 023计算罗斯阵列：第79

33、页/共99页例5：离散系统的方框图如下，已知系统初值和激励为y(0)=1 , y(1)=2 , e(k)=(k)。1、画出信号流图。2、求系统函数H(z)，并判别系统是否稳定。3、写出系统差分方程，并求出系统零输入的初始条件yzi(0) , yzi(1)。4、分别求出系统的零输入响应yzi(k)和零状态响应yzs(k)。第80页/共99页解：1、信号流图2、求H(z)221231211,4,zLLzLzLzL1221321231)(1zzLLLLL11 zG111z第81页/共99页321231)1 ()(21211zzzzzzzzH3,121vv 系统不稳定。3、差分方程)() 1()(3)

34、 1(2)2(kekekykyky将k=-2 ,-1 代入差分方程 第82页/共99页1) 1()0() 1(3)0(2) 1 (0)2() 1()2(3) 1(2)0(eeyyyeeyyyy(0) , y(-1) , y(-2)与激励无关，所以y(0)=yzi(0) , y(-1)=yzi(-1) , y(-2)=yzi(-2)有第二式得在差分方程中令激励为零可得yzi(1)=1。 4、kkziccky) 3() 1()(211)0(,31) 1(ziziyy第83页/共99页21131212121cccccc)() 3() 1(21)(kkykkzi1)(zzzE14134132)()()

35、(2zzzzzzzzHzEzYzs第84页/共99页)() 1() 3(41)(kkykkzs)() 1(41) 3(43)()()(kkykykykkzszi第85页/共99页8.4 Z变换与拉普拉斯变换的关系离散信号是连续信号经抽样得到的：kkskTtkTfkTttftf)()()()()(kkezkTfkfkskTszFzkfekTfsFsT)()()()(,)()(记第86页/共99页或)()(sFzFsezsT ，可见在f(k)的Z变换中将变量Z换成esT就变成抽样序列f(kT)的拉普拉斯变换，它们之间由关系由z=esT联系起来。这是一个S平面到Z平面的映射关系，为清楚地表达此映射关系 jerzjs,令：TjTsTjeeeerz则：称为模拟频率，称数字频率。 TerT第87页/共99页=0 (S平面中的虚轴) r=1 (Z平面中的单位圆)0 (S平面中的左半平面) r0 (S平面中的右半平面) r1 (Z平面中的单位圆外)：-/T /T(S平面中宽度为2/T的区域) ：- (整个Z平面)第88页/共99页=00第89页/共99页S平面的每个宽度为2/T的区域重复地影射到整个Z平面，S平面的某一个点S