含绝对值一次方程的解法

1、精品资料欢迎下载含绝对值一次方程及方程组的解法一、绝对值的代数和几何意义。绝对值的代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。a a 0用字母表示为a0a0a a 0绝对值的几何意义：表示这个数的点离开原点的距离。因此任何数的绝对值是非负数。根据绝对值的意义，我们可以得到：当 a > 0 时x =±a| x | =a当 a = 0时x = 0当 a < 0 时方程无解 .二、含绝对值的一次方程的解法（ 1）形如axbc( a 0) 型的绝对值方程的解法：当 c0 时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解；当 c0 时，原方程变为axb0 ，即

2、 axb 0 ，解得当 c0 时，原方程变为axbc 或 ax bc ，解得 x（ 2）形如axbcx d( ac0) 型的绝对值方程的解法：xb；acbc b或 xaa根据绝对值的非负性可知cxd 0，求出 x 的取值范围；根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cxd 和 axb(cxd ) ；分别解方程 axbcxd 和 ax b(cxd ) ；将求得的解代入cxd0检验，舍去不合条件的解（ 3）形如 ax bcxd (ac0) 型的绝对值方程的解法：根据绝对值的定义将原方程化为两个方程ax b cxd 或 axb(cxd ) ；分别解方程 axbcxd 和 ax b(cxd )

3、（ 4）形如 x axbc(ab) 型的绝对值方程的解法：根据绝对值的几何意义可知x axba b ；当 c a b 时，此时方程无解；当cab 时，此时方程的解为axb ；当精品资料欢迎下载c a b 时，分两种情况：当 xa 时，原方程的解为 xa b c ；当 xb 时，原方程的解为2xa bc 2（ 5）形如 ax b cx d ex f (ac 0) 型的绝对值方程的解法：找绝对值零点：令 ax b0 ，得 x x1 ，令 cx d 0 得 xx2 ；零点分段讨论： 不妨设 x1x2 ，将数轴分为三个区段， 即 xx1 ； x1x x2 ； x x2 ；分段求解方程：在每一个区段内去

4、掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解（ 6）形如axbcxdexf (a0) 型的绝对值方程的解法：解法一：由内而外去绝对值符号：按照零点分段讨论的方式，由内而外逐层去掉绝对值符号，解方程并检验，舍去不符合条件的解解法二：由外而内去绝对值符号：根据绝对值的非负性可知exf0 ，求出 x 的取值范围；根据绝对值的定义将原方程化为两个绝对值方程axbexf(cxd )和axb( exf )(cxd )；解中的两个绝对值方程三、热身练习：1、 求下列方程的解：（ 1） | x | = 7； （2） 5 | x | = 10；（3） | x | = 0；（ 4） | x | =3；（ 5）

5、 | 3x | = 9精品资料欢迎下载例 1解方程 (1)| 1 2x |3(2)3 | 2x 1 | x022 0解： | 1 2x | + 3 4=0解： | 2x 1 | = 3 + x x - 3| 1 2x | = 12x 1 = 3 + x或 2x 1= - (3 + x)1 2x = 1 或 1 2x = - 1x21 = 4或 x 2 =3x 1= 0 或 x 2 = 1当方程中只含有一个绝对值时，可将绝对值看作一个整体来求解，再根据绝对值的定义去掉绝对值符号，最终达到解方程的目的。解含绝对值方程的总原则是设法去掉绝对值符号，化为一般方程。由绝对值的定义：aa0| a | 0a

6、 0aa0可知，本题解法中，是先设法确定未知数的取值范围，从而得到绝对值中部分的正、负取值，最终达到去绝对值符号的目的。【小试牛刀】1、 | x 2 | - 2 = 02、 1 |1 3x |103、 4 2 | 5 x | = 3x34 x1 = 4， x 2= 0x1 =1 ， x 2 = 71212x1 = -6， x 2 = 145( 舍)精品资料欢迎下载例 2解方程 | x - | 2x + 1 | | = 3解： x - | 2x + 1 | = 3或 x - | 2x + 1 | = - 3| 2x + 1 | = x 3 x 3 或 | 2x + 1 | = x + 3 x -

7、 3 2x + 1 = x 3 或 2x + 1 = - (x 1)或 2x + 1 = x + 3或 2x + 1 = - (x +3)x 1 = - 4 (舍 )x2=2(舍)x3 = 2x4 =433 原方程的解为x 1= 2 ，x 2 =43【小试牛刀】1、 2 + | 3 - | x + 4 | | = 2x x 1 = 1 ( 舍 ) ， x 2 = 9 (舍 ) ， x 3 = 3 ， x 4 =5(舍) 332、 | | | x 1 | - 1 | - 1 | - 1 = 0 x 1 = 4 ， x 2 = - 2， x 3 = 2 ，x 4 = 0例 3解方程 | 3x 2|

8、 + | x + 1 | = 10解：令3x 2 = 0， x =2；令 x + 1 = 0， x = - 13 当 x - 1时，当 1 x 2 时当 x 2 时33- (3x 2) (x + 1) = 10- (3x 2) + x + 1 = 103x 2+ x + 1 = 10- 3x + 2 x 1 = 10- 3x + 2 + x + 1 = 103x + x = 10+2 1- 3x x = 10 2 + 1- 3x + x = 102 14x = 11- 4x = 9- 2x = 7 x = 11974 x = x =( 舍 )42精品资料欢迎下载原方程的解为911x 1 =，

9、x 2 =44由于零是正、负的分界点，因此解题中所用的分类方法常被称为“零点”法。在解题时应注意分段后各自求得的解是否在相应的取值范围内，从而确定它是否是原方程真正的解。【小试牛刀】1、 | x 4 | - | x + 3 | = 2 x =122、 15 + | 2x + 3 | - 2 | 2 3x | = 0 x 1 = - 2，x 2 =11 23、 | x 2 | - 3 | x + 1| = 2x 9 x =43思考1、已知 ab < 0 ，且 | a | = 2， | b | = 7，求 a + b的值解： | a | = 2， a =±2， | b | = 7，

10、 b =± 7又 ab < 0 ， a、 b 异号2(7)5 a + b =275答： a + b = - 5或 a + b = 52、已知 | 3x 2 | + | 2y + 3 | = 0，求 | x + y + 1 |的值解： | 3x 2 | + | 2y + 3 | = 023x20x33032yy2精品资料欢迎下载 | x + y + 1 | = |2311132| = | =663、已知 abc > 0，求 abcabbcacabc的值| a | b | c | ab | bc | ac | abc|解： abc > 0 a、 b、 c 为三正或二负一

11、正 当 a > 0 ， b > 0 ， c > 0 时原式 =abcabbcacabc=1+1+1+1+1+1+1=7abcabbcacabc 不访设 a < 0， b < 0， c > 0原式 =abcabbcacabc = - 1 1 + 1 + 11 1+abcabbcacabc1=-14、已知： | a | = a + 1， | x | = 2ax，求 | x 1 | - | x + 1 | + 2的最小值与最大值解： | a | = a + 1 a = a + 1或 a = - (a + 1) 0 x = 1 ( 无解 ) 或 a =12又 | x | = 2ax | x | = - x， x 0令 x 1 = 0 ， x = 1 ，令 x + 1 = 0， x = - 1 当 x - 1时| x 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x 1) + (x + 1) + 2= - x + 1 + 4 + 1 + 2= 4 当 1 x 0 时| x 1 | - | x + 1 | + 2 = - (x 1) (x + 1) + 2= - x + 1 x 1 + 2精品资料欢迎下载4( x1)= -2x + 2 =2( x0)答： | x