向量知识点归纳与常见题型总结(学生)

1、学习必备欢迎下载向量知识点归纳与常见题型总结1与向量概念有关的问题数量可以比较大小，而向量比较大小，只有它的才能比较大小 .平行向量（既共线向量）相等，但相等向量平行向量 .（ 3） AB 表示与 AB的单位向量。 单位向量是模为的向量， 其|AB|坐标表示为（x, y ） , 其中 x 、 y 满足x2y 2 0 的长度为，是有方向的，并且方向是任意的.有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是。 )例 1、O是平面上一个定点，A、B、C不共线，P满 足OP OA( ABAC )0,). 则点 P 的轨迹一定通过

2、三角形的心。|AB| |AC1ABACABAC( 变式 ) 已知非零向量AB与 AC满足 (+ ) ·BC=0且 · =2 ,则 ABC|AB|AC|AB |AC|为 ( )A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则）当两个向量a 和 b 不共线时， ab 的方向与 a 、 b 都，且 | a b |a | |b | ；当两个向量a 和 b 共线且同向时， ab 、 a 、b 的方向，且 | ab | a | | b |；当向量 a 和 b 反向

3、时，若 | a | | b | ， ab 与 a 方向，且 | ab | |a |-|b | ；若 |a | | b |时 , a b 与 b 方向，且 | a b |b |-|a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。 AB BC;ABAC学习必备欢迎下载例 2： P 是三角形ABC内任一点，若 CBPA PB,R ，则 P 一定在（）A、ABC 内部B、 AC边所在的直线上C 、AB边上 D、BC边上例 3、若20，则 ABC是（ABAB BC）：·A.Rt B. 锐角 C.

4、 钝角D. 等腰 Rt 例 4、已知向量 a(cos, sin), b (3, 1)，求 | 2ab | 的最大值。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ABBCCA,（在 ABC 中）ABBCCDDA.( ABCD中 )判定两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b 0 )，a b如果两个非零向量a ，b ，使 a = b（ R），那么；反之，如a b ，且，那么a = b .数量积的8 个重要性质两向量的夹角为0 . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值，故向量的数量积是一个实数.设a 、 b 都是非零向

5、量，e 是单位向量，是 a 与 b 的夹角，则e aa e ab 在 向 量 运 算 中 a b= 0a = 0 或 b= 0 是的当a 与 b 同向时 a b =当 a 与 b反向时， a b =.当为锐角时，ab 0，且 a、b，即 a b0 与为锐角等价；当为钝角时，ab 0，且 a、b，即 a b0 与例 5. 如已知 a( ,2 ) ， b(3 ,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是_学习必备欢迎下载例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量，ai2 j ， bij 。且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数的取值范围。. | a b | | a | | b | 。

6、（因）数量积不适合乘法律 .数量积的消去律不成立.(6)向量 b在 a 方向上的投影 b cos(7)e1 和 e2是平面一组基底 , 则该平面任一向量(1, 2唯一 )特别： .OP 1OA2OB 则是三点 P、 A、 B 共线的等价条件 .例 7 、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B(1,3) , 若点 C 满足OC1 OA2OB,其中1,2R且121, 则点 C 的轨迹是 _ _例8 、 已 知 点A,B,C的 坐 标 分 别 是 (3,1), (5,2),( 2t ,2 t ) . 若 存 在 实 数, 使OCOA(1)OB 则 t 的值是 :A.0B.1C

7、.0或 1D.不确定例 9、下列条件中，能确定三点A, B, P 不共线 的是：A MPsin 2 20MAcos220 MBB MPsec2 20 MAtan 2 20 MBC MPsin 2 20MAcos270 MBD MPcsc2 31 MAcot 2 31 MB(8) 在 ABC 中， PG 1 (PA PBPC)G 为ABC 的重心，特别地3PAPBPC0P 为 ABC 的重心； AB1 BCAD 则 AD 过三角形的2学习必备欢迎下载重心；例 10、设平面向量 a1 、a2 、a3 的和 a1a2a3 0。如果向量 b1 、b2 、b3，满足 bi2 ai ，且 ai 顺时针旋转

8、 30o 后与 bi 同向，其中 i1,2,3 ，则（ D）A b1b2b30Bb1 b2b30C b1b2b30D b1b2b3 0PA PBPB PC PCPAP 为ABC 的心；向量( ABAC )(0) 所在直线过ABC 的心 ( BAC 的角分|AB|AC|线所在直线 )； |AB|PC |BC |PA |CA|PB0 PABC 的心；例 11、若 O是ABC 所在平面内一点， 且满足 OB OCOBOC2OA ，则ABC的形状为 _例12、若 D为ABC的边 BC的中点， ABC所在平面内有一点 P ，满足PABP CP0，设|AP|的值为 _；，则|PD|例 13、若点 O 是 ABC 的外心，且OAO