双曲线的简单几何性质(教案)

1、学习必备欢迎下载教案普通高中课程标准选修2-1双曲线的简单几何性质（第一课时）教材的地位与作用本节内容是在学习了曲线与方程、椭圆及其标准方程和简单几何性质、双曲线及其标准方程的基础上，进一步通过双曲线的标准方程推导研究双曲线的几何性质。（可以类比椭圆的几何性质得到双曲线的几何性质。）通过本节课的学习，使学生深刻理解双曲线的几何性质，体验数学中的类比、联想、数形结合、转化等思想方法。二、教学目标（一）知识与技能1 、了解双曲线的范围、对称性、顶点、离心率。2 、理解双曲线的渐近线。（二）过程与方法通过联想椭圆几何性质的推导方法， 用类比方法以双曲线标准方程为工具推导双曲线的几何性质，从而培养学生

2、的观察能力、联想类比能力。（三）情感态度与价值观让学生充分体验探索、发现数学知识的过程，深刻认识“数”与“形”的关系，培养学生勇于攀登科学高峰的精神。三、教学重点难点双曲线的渐近线既是重点也是难点。四、教学过程( 一) 课题引入1、前面我们学习了椭圆及其标准方程，并由标准方程推导出椭圆的几何性质，椭圆的几何性质有哪些？ （教师用课件引导学生复习椭圆的几何性质，双曲线及其标准方程。）今天我们以标准方程为工具，研究双曲线的几何性质。【板书】：双曲线 x2y2 1(a 0, b 0) 的性质a2b22、双曲线有哪些性质呢？（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线。）3、双曲线的这些性质具体是什么？如何推

3、导？请同学们对比椭圆的几何性质的推导方法，推导出双曲线的几何性质。 （讨论）学习必备欢迎下载（二）双曲线的性质1、范围：把双曲线方程 x 2y 2 1变形为 x2y2a 2b2a21b2。因为 y2 0 ，因此x21 ，即 x2a 2，所以 xa或x a 。b2a2又因为 y20 ，故 yR 。b2【板书】： 1、范围： xa或 xa ， yR 。2、对称性：下面我们来讨论双曲线的的对称性，哪位同学能根据双曲线x2y 21 的标准方程，a2b2判断 它的对称性？在标准方程中，把 x 换成x ，或把 y 换成y ，或把 x ， y 同时换成x ，y 时，方程都不变，所以图形关于 y 轴、 x 轴

4、和原点都是对称的。【板书】： 2、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、 y 轴，原点是它的对称中心。3、顶点：提问：（1）双曲线有几个顶点？顶点的坐标是什么？在标准方程 x2y21 中，令 y 0得 xa ；令 x0 ，则 y 无解。a2b2这说明双曲线有两个顶点，A1 ( a,0), A2 (a,0) 。yB2A1A2oxB1（ 2）如图，对称轴上位于两顶点间的线段A1 A2叫做双曲线 x2y21 的实轴，其长度a2b2学习必备欢迎下载为 2a 。尽管此双曲线与 y 轴无公共点，但 y 轴上的两个特殊的点 B1 (0, b), B2 (0,b) 。我们称线段 B1 B2 为双曲线的虚轴，其长度为

5、 2b 。【板书】：3、顶点：A1 ( a,0), A2 (a,0)，称 A1A2 为实轴， B1 B2 为虚轴，其中 B1 (0, b), B2 (0,b) 。特别地，当 ab 时，双曲线 x 2y 21 的实轴长与虚轴长相等，称其为等轴双曲线a2b2x 2y 2a2 。4、离心率【板书】：4、定义双曲线的焦距与实轴长的比ec ，叫做双曲线的离心率。a提问：（1）双曲线的离心率与椭圆的离心率有什么不同？（ 2）双曲线的形状与离心率有什么关系？c2a2b2b22由等式 c2a 2b 2 ，可知： ec11baa2a 2a2a【板书】：双曲线的离心率e1 且 e越大双曲线的开口就越开阔。5、渐近

6、线：提问：（1）椭圆与双曲线还有一个最大的不同是曲线的范围及其走向。曲线的范围与走向是我们研究曲线性质的一个重要方面，因为它可以为我们绘制曲线的草图提供依据，那么请大家想一想双曲线的走向是什么样的呢？谁能比较准确地画出双曲线？22b在第一象限内双曲线 x2y21 可以化为 yx2a 2，是增函数。aba因为 x2a2x2 ，所以 ybx2a 2bx2b x ，即 yb x ，这个不等式意味着什aaaa么？（它表示直线 yb x 下方半个平面区域。）a（用刚才作矩形的方法画出两条直线yb x ，然后指出区域。）a由于双曲线和直线 yb x 都关于坐标轴对称，所以双曲线（两支）在直线yb x 之a

7、a间，这样，我们进一步缩小了双曲线所在区域的范围。提问：（2）直线yb x与双曲线x 2y21有什么联系呢？aa 2b2（用几何画板课件演示） ：学习必备欢迎下载随着 x 无限增大时，点 M ( x, y) 到直线 yb x 的距离就无限趋于零。a【板书】：5、渐近线：直线 yb x 叫做双曲线 x2y21(a 0,b 0) 的渐近线；直线aa2b2ya x 叫做双曲线 y 2x21( a 0, b 0) 的渐近线。ba2b2练习：求下列双曲线的渐近线方程（写成直线的一般式）。（ 1） 4 x29 y236 的渐近线方程是：2x 3 y 0（ 2） 4x29 y236 的渐近线方程是：2x3y

8、0（ 3） 25x24 y 2100 的渐近线方程是：5x2y0（ 4） 25x24 y 2100 的渐近线方程是： 5x2 y0可以发现，双曲线方程与其渐近线之间似乎存在某种规律。（启发学生讨论，归纳） 。把双曲线方程中的常数项改为零，会怎样呢？x2y20 ，即xyxy0 ，这就表示两条渐近线a 2b2ababxy0或 xy0 。abab【板书】：结论：把双曲线标准方程中等号右边的1 改成 0，然后变形，即可得其渐近线方程。（三）小结学习必备欢迎下载标准方程2y2y2x2x1(a 0, b 0)1( a 0, b 0)a 2b 2a2b2yyF2B2A2图形A1A2OxoxA1B1F1焦点范

9、围对称性性顶点质离心率渐近线F（10,(,0)F1(0,c), F2 (0, c)c，）F2cx a或xa ， y Rya或 y a, x R关于 x 轴， y 轴，原点都对称A1(a,0), A2 (a,0)A1(0, a), A2 (0,a)ec1ayb xya xab（四）典型例题与变式训练例 1、 求双曲线 9 y2 16 x2 144 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。解：把方程 9 y 216 x2144化为标准方程 y2x214232由此可知，半实轴长 a4 ，半虚轴长 b3 ；ca2b242325焦点坐标是 (0, 5), (0,5)c54；离心率 e4；渐近

10、线方程为 yx 。a3归纳总结：首先把方程化为标准方程，看准焦点在哪条轴上，得到a,b,c 的值，再由双曲线的几何性质求解。学习必备欢迎下载【变式训练】：求双曲线 9 y216x2144 的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。例 2、 求适合下列条件的双曲线标准方程（ 1） 顶点在 x 轴上，虚轴长为 12，离心率为 5 ；4（ 2） 顶点间距离为 6，渐近线方程为 y3 x ；2解：（ 1）设双曲线的标准方程为x2y21 (a0,b0)。a2b2由题意知 2b 12 ， c5 且 c2a2b2 。a4 b 6, c 10, a 8,所求双曲线方程为 x2y 21。6436（2）

11、当焦点在 x 轴上时，由 b3 且 a3 ， b9 。a22所求双曲线方程为 x24y21981当焦点在 y 轴上时，由 a3 且 a3 ， b2 。b2所求双曲线方程为 y 2x 2194归纳总结：首先观察条件能否确定焦点位置，再采用待定系数法设出所求双曲线的标准方程，在由条件求出 a,b,c即可。【变式训练】：2、求符合下列条件的双曲线的标准方程：（1） 顶点在 x 轴上，两顶点间的距离是8， e5 ；4（2） 焦距是 16， e4 。3学习必备欢迎下载（五）课堂总结椭圆双曲线yy图形F1oF2xB2A1A2oxB1x2y2x 2y 21(a 0, b 0)标准方程a2b21(a b 0)

12、a 2b 2范围a x a, b y bxa或 xa， y R对称性关于 x 轴， y 轴，原点都对称关于 x 轴， y 轴，原点都对称顶点(a,0), (0, b)(a,0)离心率0cece11aa渐近线无yb xa（六）作业： 教材第 61 页：习题 2.3 ，第 2、 3 两题。五、板书设计2.3.2 双曲线的简单几何性质双曲线 x2y 21( a0, b0) 的性质5、结论：a2b21 、范围： xa或xa ， yR 。例题2 、对称性：双曲线的对称轴是x 轴、 y 轴，课堂训练3 、顶点： A1 ( a,0), A2 (a,0) ，称 A1 A2 为实轴， B1B2 为虚轴，其中B1(0,b), B2 (0,b) 。4 、渐近线：直线 yb叫做xa学习必备欢迎下载六、课堂设计说明1、本节课的内容是通过双曲线标准方程推导研究双曲线的几何性质，采用类比椭圆的几何性质的推导方法，让学生自己推导出双曲线的几何性质