双曲线性质题组答案

1、优秀学习资料欢迎下载双曲线性质题组题组 1、定义与标准方程1. 双曲线 mx2y 21 的虚轴长是实轴长的2 倍，则 m【1 】342. 双曲线 2kx2ky21的一焦点是 F(0 ，4) ，则 k 等于【】323已知双曲线经过 P(25, 4) ，且焦点为 (6,0) ，则双曲线的标准方程为_x2y21】【24124椭圆 x2y21和双曲线 x2y 21有相同的焦点，则实数 n 的值是【3 】34n 2n2165.若 kR ，则“ k3 ”是“方程x 2y2条件k3k1表示双曲线”的3【充分非必要条件】6.已知定点 A 、B 且 |AB|=4，动点 P 满足 |PA|PB|=3，则 |PA|

2、的最小值是【 7 】27. 给出问题： F1、F2 是双曲线 x 2y 2=1 的焦点，点 P 在双曲线上 . 若点 P 到焦点 F116208，由的距离等于 9，求点 P 到焦点 F 的距离 . 某学生的解答如下：双曲线的实轴长为2|PF 1| |PF2|=8，即 |9 |PF 2|=8，得 |PF 2|=1 或 17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面空格内，若不正确，说明理由确的结果填在下面空格内【不正确，因为 | PF2 |min|MF2| 2，所以 | PF2 | 1(舍) 】题组 2、焦点三角形的性质x2y21 的两个焦点 F1、 F2，P 是双曲线上的一点.

3、若 F1 PF2= ,求 F1 PF21双曲线ba22的面积 ;【 b2 cot】2x2y21(a0， b 0且a b) 的两个焦点，P 为双曲线右支2已知 F1， F2 为双曲线2b2a上异于顶点的任意一点， O 为坐标原点下面四个命题（） PF1F2 的内切圆的圆心必在直线xa 上； PF1F2 的内切圆的圆心必在直线xb 上； PF1F2 的内切圆的圆心必在直线OP 上；优秀学习资料欢迎下载 PF1F2 的内切圆必通过点a，0其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号） 【A、D】题组 3、焦点弦的性质1.双曲线 x2y21的左右两个焦点F1、 F2， P(x,y) 是双曲线上的点 .a2

4、b2cc(1)求证 :PF1=x； (2)PF1 min=c-a;a +x ； PF 2= a -aa(3) PF1PF2 的最小值为21 x 轴，求PF1。b .(4)若 P F2 以双曲线的焦半径为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.解：如图： F1、 F2 是双曲线的两个焦点，设点P 在双曲线的左支上的一点，PF1 为焦半径为 2r，PyP 是双曲线上的一点，M|PF2 |PF1|2a|PF2| PF1 | 2a2r2aO1|OM |arF1F2x|PF2 |o2圆M与圆O外切。同理可证以 PF2 为直径的圆与实轴为直径的圆内切。题组 4、轨迹问题1已知 A 5,0，B 是圆 F： x2y

5、24(F 为圆心 ) 上一 动点，线段 AB 的垂直5平分线交 BF 于 P，求动点 P 的轨迹方程。【 x2y21】241 、 F2 是双曲线x2y211引 F1QF22设 Fa2b2的两焦点 ,Q 是双曲线上的任意一点 ,从 F的平分线的垂线 ,垂足为 P,求点 P 的轨迹方程 .【 x2y2a2 】3已知 C1: ( x5) 2y249, C2: ( x5) 2y21,动圆 P 与 C1 外切,与 C2 内切.求动点 P 的轨迹方程 .【 x2y21(x0) 】题组 5、最值问题1691 P 是 双曲线 x2y21 的 右支 上 一点 ， M、 N 分别 是 圆 ( x 5) 2y 24

6、 和5) 2y 2916( x1 上的点，则 | PM | PN |的最大值为【 9】2. 双曲线 x2y21 的左焦点为F,M为其上的动点,A(m,n) 为双曲线内的定点,求a2b2MAMF 的最小值 .解：分两种情况如右图|MA |MF | |MF2|2a| MA | ,当在 AF2 的延长线上时，分别取到最值。（答案分别为 | AF |或 | AF |2a）优秀学习资料欢迎下载AAMF MMF2FM F2M'FF题组 6、中点弦问题x2y21的弦 AB 的中点为 M, 则 AB 的斜率题组6、中点弦问题双曲线ba22双曲线 x2y2y1.1的弦 AB 的中点为 M,则 AB 的斜

7、率Aa2b22Mbx与 OM 的斜率之积为 2 ;F1OF2ay 2B2.21给定双曲线 x2(1)过点 M(2,1) 的直线与双曲线交于A 、B 两点，求线段 AB中点 P 的轨迹方程；(2)过点 M(1,1) 能否作直线 l,使点 M为被双曲线截得弦的中点 .解：（1）设直线的方程为 y 1k (x 2) ， y kx2k1,设点 P( x, y) ，点A( x1, y1 )、 B( x2, y2 ) 是双曲线上的点，x12y121(1), x22121(1)(2) 得 k2x 代入直线方程得所求的轨迹方方程为y2x24x y2y0（ 2）设直线的方程为y 1 k( x 1) ykxk1，

8、点 A( x1, y1 )、 B( x2 , y2 ) 是双曲线上的点，x12y121(1),x22y221(2) ，由 (1)(2) 得1212k2 ，直线方程为 y2 x1，y2 21(2) ，由2yAPMBxF1OF22y2x212 x24x 3 04242 3 0不存在直线使得 My2x1为被双曲线截得弦的中点。题组 7、直线与双曲线的位置关系问题1已知点 M ( 2,0), N (2,0) ，动点 P 满足条件 | PM |PN |2 2.记动点 P的轨迹为 W . （1）求 W 的方程；（ 2）若 A, B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB 的最小值 .解：（ 1

9、）依题意，点 P 的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右AF1F2-8-6-4-22468B优秀学习资料欢迎下载x2y21(x0)支，所求方程为：22当直线 AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为 xx0 ，此时 A(x0 , x022) ，B( x0 , x022)，OA OB2当直线 AB的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx b ，代入双曲线方程x2y2中，得： (12) x220（1）21k2kbx b 22依题意可知方程（ 1）两个不相等的正数根，设A( x1 , y1)、 B( x2 , y2 ) ，则2b2 （2）（b2 ）04k41 k2x1 +x22bk0解得 |k|1 又2

10、1kx1x2b220k21OA OBx1x2y1 y2x1x2(kx1b)(kx2 b)(1 k2) x1 x2kb( x1x2 )22k2224b212kk 21综上可知 OA OB 的最小值为 2解 2.设此时 A(x1, y1 ) ， B(x2 , y2 )F1OF2ABOA OBx1 x2y1 y2 x1x22 ，要求 OA OB 的最小值，则 y1 y20OA OB x1x2x122 x2 22 x1x2(x1x2 )22( x12x22 ) 4x x( x x)24x x24 x x ( x x 2) 2121211212当且仅当 x1x2 时， OA OB 达到最小值 2.2已知

11、中心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 (3,0) .(1) 求双曲线 C 的方程；(2) 若直线 l： ykx2 与双曲线 C 恒有两个不同的交点A 和 B，且OA OB2 (其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。解：（ 1）设双曲线方程为x2y21(a0, b0).a2b2由已知得 a3,c2,再由 a2b222, 得 b21.F1OF2故双曲线 C 的方程为 x 2y 21. （2）3优秀学习资料欢迎下载将 y kx2代入 x2y 21得 (13k 2 )x 262kx9 0.33k 210,由直线 l 与双曲线交于不同的两点得(6 2k) 236(13k 2 ) 36(1 k2 ) 0.即 k 21 且k 21. 设 A(x A , yA ), B(xB , yB ) ，则3xA xB6 2k2, xA xB192 ,由OA OB2得 x A xByA