华南理工大学微积分统考试卷上2012Aa

1、_ 诚信应考 ,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学期末考试号微积分（上）试卷 A位座（试卷号： 2013.1.10时间 120 分钟，总分100）线 注意事项： 1.考前请将密封线内填写清楚；2.所有答案请直接答在试卷上( 密封线装订区内、草稿纸上答题均无效) ；3考试形式：闭卷；4.本试卷共五 大题，满分100 分， 考试时间 120分钟 。题 号一二三四五总分得 分业评卷人一、填空题（每小题 4 分， 20 分）专1写出数列xn以常数 a 为极限的N 定义： 对所有0，存在 N0 ，当 nN 时 有 xna)f 2f 2 1封1x2设 f1f18题 2 ，则 limx答 x0院不 ey3

2、方程 y1 xey 确定了隐函数 yyx ，则 dydx学 内y1 xe线 封 x311密 4设 f x ，且f t dtx ，则 f 712(021x2 dx5.1042 二、计算下列各题（每小题5 分，共 15 分）6、设数列xn 满足： 0x1，且 xn 1sin xnn1,2,。证明： lim xn 存在，并求n号 出此极限学密因 为 0x1， 设 0 xk1, k 1 解， 所 以0x2sin x11， 则20xs ixn由数1学归纳法得0x1, n1 ，从而数列 xn有界；k 1kn名姓又 xn1xnsin xnxn0 ，从而数列xn是一个单调减少的有界数列。根据单调有界准则 li

3、mxn 存在，设 limxnl 。则 lim xn 1limsinxnlim xnl ，即 sin ll ，得 l0 ，nnnnn即 limxn0n7、求极限 lim11x2sin2 xx0解原式lim sin 2 xx2lim sin 2 xx2（等价无穷小替换）x0x2 sin 2 xx0x4limsin xxsin xxlimsin xxsin xxsin x xxx3xlimx32limx3x0x0x0x 02limsin xxcos x12limsin x10x32lim3x26x3xx0x08、求极限 limnnn222nn1n2nn解limnnn1111222lim222nn1n

4、2n nnn112n1n1nn1n1111111 1lim22dxn k 1k0 1 x1 x 02 1 2n1n三、 解答下列各题（每小题5 分，共 20分）9、已知 y3x2xsin x ，求 dyx23dx解ln y1 lnx21 lnx23ln xln sin x36从而 y112112x1cos xy3 x6 x23xsin xy1x31cot x3x2xsin x3 x 23 x2xx2310、设 fxx2 sin x cosx ，求 y 20130解fx122x s i n 2x，由莱布尼茨公式f 2013x1x2sin 2x20132013 2 xsin 2x20122013

5、20122sin 2x201122f020132012sin 2x201120132012 22011 sin2x201120132x022x 02013 201222011 sin503 2120132012 22010sin12013 2012 2201022211、设 yy x 由参数方程xln1x2确定，求 dyytarctan tdxdx2tdy1t 2dydyt 21 t 2t解2 ,12，从而dtdxdt1 tdt1 t21 tdx1 t22t2dt12、写出 fxxex 带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式xx1xx1x2x解,f xex ex e f xex ex e从而发

6、现 f nxnxex ， f n1 xexnxexn1x exf 00, f 01, f 02, , f n 0n ，由公式 fxf0f0xf0x2f n0xnfn1 !xn 1 得1!2!n!nxxx2x31xnn1e xn1,在 0与 x 之间。xe2!n1 !n1 !四、 计算下列各题（每小题5 分，共 10分）13、计算1dx1 cos x解11dx1cos x dx1cos x dxcsc2 xcsc x cot x dxcos x1cos2 xsin 2xcot xcsc xc14、xarctan x dx1x2解令 xtan t, tarctan x ，则xarctan x dx

7、t tan tsec2 tdtt tan t sectdttd sect1x21tan2 tt sectsectdtt sectln secttan tc ，由辅助三角形 sect1 x2原式1 x2 arctanx ln1 x2xc五、解答下列各题（每小题5 分，共15 分）、设fx在,连续，且 fxf x , x,0 。证明f x dx 0150证分段积分 f x dxf x dx fx dx00对f x dx 进行换元， 令 xt ，则 dxdt x ,时 t0 ，x t, x 0 时 t，0从 而fx d xf， 由已 知f xf x , x,0， 即t d t00ftft ,t0 ,

8、，进而 fx dxf tdtfxdx000因此fxdxfx dxfx dxfx dxfxdx0000ln216、计算ex1dx0解 令tx1 ，则21 , dx2tdt , x ln 2时 t1 ， x0 时 t0 ；ex ln t1 t2ln212t11则ex1dx t2 dt 212 dt2tarctant001 t01te ln x117、判别广义积分xdx 的敛散性11e解 x1eln x 11 ln x 1e ln x 1为瑕点，xdx1x1dxxdx1111ee12 12042e ln x 1e lnx 1lim 1 ln 2 x 1elim 1dxdxln 2 e 1 ln 21

9、 x 11x 10 210 2e ln x 1从而dx发散，因此原式发散1x1六、解答下列各题（每小题5 分，共 10 分）18、求由 yex1, x ln3 和 y0 所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积解yex1,xl n 交3点为 ln3,2， yex1, y0 交点为 0,0 ， y0, xln3 交点为 ln3,0，分清边界曲线的上下左右，作图（略）ln3ex2ln3e2 x2ex1 e2 x2exln3V1 dxx1 dx00201e2ln32eln3ln31e02e001eln92 3396ln33ln322222219、求双扭线 r 2a2 cos 2 在圆 x2

10、y2a2内部的图形的面积。2解由转化公式 xr cos, yr sin，得圆 x2y2a2的极坐标方程为r 2a2，从而22双扭线 r 2a2 cos2与圆 r 2a2的交点处2a2 cos 2a2,cos 21 ,2,，交点6, a2关于极轴对称，22362分析图形周期性、变化趋势与对称性，作图（略）从而看出 S 461a2d402261 a2 cos 2 d2a26 a2 sin 24sinsina213a20662326七、证明题（每小题5 分，共 10分）120 、 设 f x 在0,1 上 可 微 ， 且 f20,1，使1 2xfx dx 。 试 证 ： 存 在0ff01211证由积分中值定理，2xf xdx 2f02f,0,02从而 1 f 1f 1f,1 也形成了一个区间。令 F xxfx ，由已知 Fx ，在区间,1 上连续， 在,1内可导， 又 FF 1 ，由罗尔定理，得存在存在,10,1，使 F0，即ff021、设 fx函数在闭区间a, b 上连续，证明： f x在闭区间a,b 上存在原函数x证 由于 fx函数在闭区间a,b上连续，可设xf x,dx xa baxxxxx由于从