含参不等式恒成立问题

1、学习必备欢迎下载不等式中恒成立问题的解法研究在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类型 1：设 f ( x)ax 2bxc(a0)（1） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 ；（2） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0 。类型 2：设 f ( x)ax 2bxc(a0)（1）当 a0 时， f ( x)0在 x, 上恒成立bbb2a或2a或2a，f ()00f ()0f ( x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0（2）当 a0 时， f ( x)0在 x,f ()0 上恒成立)0f (bbbf

2、 ( x)0在 x , 上恒成立2a或2a或 2af ()00f ( ) 0类型 3：f ( x)对一切 xI恒成立f ( x) minf ( x)对一切 xI恒成立f ( x) max。类型 4：f (x)g( x)对一切 xI 恒成立f ( x)的图象在 g( x)的图象的上方或 f ( x) min g(x)max(xI )恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。学习必备欢迎下载一、用一次函数的性质对于一次函数 f ( x)kxb, x m,n有：f (m)0f ( m)0f (x) 0恒成立, f ( x)

3、0恒成立0f (n)0f ( n)例 1：若不等式 2x 1m( x 21) 对满足2 m 2 的所有 m 都成立，求 x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：m(x 21)(2 x1)0 ，；令 f (m)m(x 21) (2 x1) ，则2 m 2 时，f (m)f ( 2) 0即2( x21) (2x 1) 00 恒成立，所以只需02(x 21)(2x 1)，所以 xf (2)0的范围是 x(17,1 3)。22二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数 f (x)ax2bxc 0(a0, x（ 1） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0；（

4、2） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0例 2：若不等式 (m1)x 2(m 1)x20 的解集是R) 有：R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意；（2） m 1m 10，所以， m 1,9) 。0 时，只需1) 28( m( m1) 0三、利用函数的最值（或值域）（ 1） f ( x)m 对任意 x 都成立f ( x) minm ；（ 2） f ( x)m 对任意 x 都成立mf ( x) max 。简单计作：“大的大于最大

5、的，小的小于最小的” 。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在2(B ) cos2 ,且|f(B)m| 2ABC 中，已知 f ( B) 4sin B sinB42恒成立，求实数m 的范围。解析：由f (B)4sin Bsin 2 (B )cos2B 2 sin B1, 0B, sin B(0,1，42mf ( B)2f (B)(1,3 ， | f (B)m |2 恒成立， 2f (B)m2 ，即f ( B)2m恒成立，m(1,3学习必备欢迎下载四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图像法求解。例 5：已知 a0, a1, f (x)x2a x ,当 x

6、( 1,1)时, 有 f ( x)1 恒成立 ，求实数 a 的取值范围。2解析：由 f (x)x2a x1，得 x21a x ，在同一直角坐标系中做出两22个 函 数的 图像 ，如 果两 个 函数 分别 在 x=-1 和 x=1处相交，则由121a及( 1) 21a 1 得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5 ， 并 作 出 函 数212x 21y2x 及 y () x 的图像，所以，要想使函数a x 在区间 x( 1,1) 中221 在区间恒成 立，只须 y2x在区 间 x( 1,1) 对应的图 像在 yx22x(1,1) 对 应 图 像 的 上 面 即 可 。 当 a1时 ,只有 a

7、2才能保证，而0a1时，只有 a1 才可以，所以 a 1,1) (1,2 。22由此可以看出，对于参数不能单独放在一侧的，可以利用函数图像来解。利用函数图像解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。练习题： 1、对任意实数x，不等式 a sin xb cos xc0(a, b, cR) 恒成立的充要条件是 _。 ca 2b2 、设2x3 x9x a上有意义，求实数 a 的取值范围 .5 ,)。ylg lg在(,1279、当1时，恒成立，则实数 a 的范围是_。1 3,)x(,3)| Loga x |13( 0,334、已知不等式：1n1.11Log a (a1)2 对一切大于 1n 12n

8、 n123的自然数 n 恒成立，求实数 a 的范围。 a(1, 15 )2学习必备欢迎下载含参不等式恒成立问题的求解策略“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 f ( x) ax 2bx c(a0, xR), 有1） f ( x)0 对 xR 恒成立a0;02） f ( x)0 对 xR 恒成立a0.0例 1已知函数 ylg x 2(a 1) xa 2 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式x2( a1) x a 20 对 x R 恒成立，即有(a 1)

9、24a20 解得 a1或 a1 。3所以实数 a 的取值范围为 (, 1)(1 ,) 。3若二次不等式中 x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。例 2设 f ( x) x 22mx 2 ，当 x 1,) 时， f (x) m 恒成立，求实数 m 的取值范围。解：设 F (x)x22mx2m ，则当 x 1,) 时， F ( x) 0恒成立当4(m1)(m2)0即2 m1时， F ( x)0 显然成立；当0 时，如图， F ( x)0 恒成立的充要条件为：yx0F (1) 0解得3m2 。2m1- O x21综上可得实数 m 的取值范围为 3,1) 。二、最值法将不等式恒成立问题转化为

10、求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1） f (x)a 恒成立af (x)min2） f (x)a 恒成立af (x)max学习必备欢迎下载例 4 函数 f ( x)x 22x a , x1,) ，若对任意 x1,) ， f ( x)0 恒成x立，求实数 a 的取值范围。解：若对任意 x1,) ， f (x)0恒成立，即对 x 1, ) ，x 22xa0 恒成立，f ( x)x考虑到不等式的分母 x1, ) ，只需 x22xa 0 在 x1,) 时恒成立而得而抛物线 g( x)x 22xa 在 x1,) 的最小值 gm i n( x)g (1) 3a 0 得a 3a注：本题还可将 f

11、( x) 变形为 f ( x)x，讨论其单调性从而求出f ( x) 最2x小值。三、分离变量法若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1） f ( x)g (a)(a为参数） 恒成立g( a)f ( x) max2） f ( x)g (a)(a为参数） 恒成立g( a)f ( x) max实际上，上题就可利用此法解决。略 解 ： x 22xa 0 在 x1,) 时恒 成 立， 只 要 ax 22x 在x1, ) 时恒成立。而易求得二次函数 h(x)x22x 在 1

12、, ) 上的最大值为3 ，所以 a3 。)4,(0,4例5 已知函数f(axxx2x时f ( x)0恒成立，求实数 a 的x取值范围。解： 将问题转化为 a4xx2对 x(0,4 恒成立。x令 g (x)4xxx 2，则 ag (x) min由 g ( x)4xx 241可 知 g(x)在 (0,4上为减函数，故xxg (x) min g(4)0 a0即a 的取值范围为 (,0) 。注：分离参数后，方向明确，思路清晰能使问题顺利得到解决。学习必备欢迎下载四、变换主元法处理含参不等式恒成立的某些问题时， 若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。例 6 对任意 a

13、1,1，不等式 x 2(a 4) x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值范围。解： 令 f (a)(x2)a x 24x4 ， 则原问题转化 为 f (a) 0 恒 成立（ a 1,1 ）。当 x 2 时，可得 f (a) 0 ，不合题意。当 x2 时，应有f (1) 0解之得 x1或x3。f (1)0故 x 的取值范围为 (,1)(3,) 。注：一般地，一次函数f (x)kxb(k0)在 , 上恒有 f ( x)0 的充要条件为f ()0f ()。0五、数形结合法数学家华罗庚曾说过： “数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图像和不等式有着密切的联系：1） f ( x)g ( x)函数 f (x) 图像恒在函数 g ( x) 图像上方；2） f ( x)g( x)函数 f ( x) 图像恒在函数 g( x) 图像下上方。例 6、若不等式 3x2log a x 0