华杯赛经典教案--带余除法(教师版)

1、学习必备欢迎下载学生姓名年级 小六授课时间教师姓名课时课题带余除法1、 掌握带余除法的定义；教学目标2、 掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理），3、 重点理解和掌握中国剩余定理的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想重点掌握三大余数定理（加法余数定理，乘法余数定理，和同余定理）难点掌握中国剩余定理的相关问题【前次课提要】整数与整除：【知识点梳理】一、带余除法的定义及性质：一般地，如果a 是整数， b 是整数（ b 0） ,若有 a ÷b=q r，也就是a b ×q r, 0 r b；这里：(1) 当 r 0 时：我们称 a 可以被 b 整除，

2、q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2) 当 r 0 时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商二、三大余数定理：1.余数的加法定理a 与 b 的和除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数之和，或这个和除以c 的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。2.余数的乘法定理a 与 b 的乘积除以 c 的余数，等于a,b 分别除以 c 的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。3.同余定理若两个整数a 、b 被自然数m 除有相同的余数，那么称 a、b 对于模 m 同

3、余，用式子表示为： a b ( mod m ) ，若两个数 a ， b 除以同一个数 m 得到的余数相同，则a， b 的差一定能被m 整除用式子表示为：如果有a b ( mod m ) ，那么一定有a b mk,k 是整数，即 m|(a b)三、中国剩余定理（ Chinese Remainder Theorem：）作业【例题讲解】学习必备欢迎下载题型：带余除法的定义和性质例题： ( 第五届小学数学报竞赛决赛) 用某自然数 a 去除 1992 ，得到商是46，余数是 r ，求a 和 r 【解析】因为1992是 a 的46倍还多 r ,得到1992 46，得46 43 14，所43.141992以

4、 a 43， r 14 例题： ( 2003年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是 13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？【解析】被 除数除数商余数被除数除数 +17+13=2113，所以被除数除数=2083 ，由于被除数是除数的17 倍还多 13 ，则由“和倍问题”可得：除数 =（ 2083-13 ）÷（17+1 ） =115 ，所以被除数=2083-115=1968例题： (2000 年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题) 三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以 19,23,31所得的商相同， 所得的余数也相同， 这三个数是

5、_ ，_，_ 。【解析】设所得的商为 a ，除数为b(19ab)(23a b) (31a b ) 2001 ，3b，73a2001由 b19， 可 求 得 a27 ， b10所以，这三个数分别是19ab523 ，23ab，847。631 31a b例题： (1997 年我爱数学少年数学夏令营试题) 有 48 本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多 5 人如果把书全部分给第一组，那么每人4 本，有剩余；每人5 本，书不够如果把书全分给第二组，那么每人3 本，有剩余；每人4本，书不够问：第二组有多少人?【解析】由48412，59.6知，一组是 10 或 11人同理可知48316，4124848知

6、，二组是13 、14或 15 人，因为二组比一组多5 人，所以二组只能是15人，一组 10 人题型：三大余数定理的应用例题：有一个大于1 的两位整数，除45,59,101 所得的余数相同，求这个数.【解析】 这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但是由于所得的余数相同， 根据同余定理， 我们可以得到： 这个数一定能整除这三个数中的任意两数学习必备欢迎下载的差，也就是说它是任意两数差的公约数1014556，4514，(56,14)14 ，5914的约数有 1,2,7,14 ，所以这个数可能为2,7,14 。例题：两位自然数ab 与 ba 除以 7 都余 1，并且 ab ，求 a

7、bba 【解析】 abba 能被 7 整除，即 (10ab) （10ba)9 （ ab）能被 7 整除所以只能有ab7 ，那么 ab 可能为 92 和 81 ，验算可得当ab92 时， ba29 满足题目要求， abba92292668【巩固】学校新买来118 个乒乓球， 67 个乒乓球拍和33 个乒乓球网， 如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同请问学校共有多少个班？【解析】 所求班级数是除以 118,67,33 余数相同的数那么可知该数应该为118 6751 和67 33 34 的公约数，所求答案为 17【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题) 在除 13

8、511，13903 及 14589 时能剩下相同余数的最大整数是_ 【解析】 因为 13903 13511392 , 1458913903686，由于 13511 ，13903 ，14589 要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两两之差必能被同一个数整除(392,686)98 ，所以所求的最大整数是98 【巩固】 ( 20XX 年南京市少年数学智力冬令营试题) 在 1995 ， 1998， 2000 ， 2001， 2003 中，若其中几个数的和被9 除余 7，则将这几个数归为一组这样的数组共有_组【解析】 1995 ，1998 ， 2000 ， 2001 ， 2003 除以 9 的余数依次

9、是6，0，2， 3，5因为252507，2536025367 9 ，所以这样的数组共有下面4 个： 2000,2003 ， 1998,2000,2003 ，2000,2003,2001,1995， 1998,2000,2003,2001,1995 学习必备欢迎下载例题： (20XX 年小学生数学报数学邀请赛试题 ) 六名小学生分别带着 14 元、 17 元、 18 元、 21 元、 26 元、 37 元钱，一起到新华书店购买成语大词典 一看定价才发现有 5 个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙 3 人的钱凑在一起恰好可买 2 本，丁、戊 2 人的钱凑在一起恰好可买 1 本这种成语大词典的定价是

10、_元【解析】 六名小学生共带钱133 元 133除以3 余1 ，因为甲、乙、丙、丁、戊的钱恰好能买 3 本，所以他们五人带的钱数是3 的倍数，另一人带的钱除以3 余1易知， 这个钱数只能是37元，所以每本成语大词典的定价是( 1 41 71 82 12 6(元)【巩固】 ( 2000 年全国小学数学奥林匹克试题) 商店里有六箱货物，分别重 15，16，18，19，20， 31 千克，两个顾客买走了其中的五箱已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2 倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_千克【解析】 两个顾客买的货物重量是3的倍数(15 16 18 1920 31) (1 2) 119 3 39.2

11、 ，剩下的一箱货物重量除以3 应当余 2，只能是 20千克【巩固】 ( 华罗庚金杯赛模拟试题) 求 478296351除以 17 的余数【解析】先求出乘积再求余数，计算量较大可先分别计算出各因数除以17 的余数，再求余数之积除以17的 余 数 478,296,351除以 17的余数分别为2 ， 7和11 ，(2711)179.1 89【巩固】求 143除以 7 的余数【解析】 法一：由于 1433 mod 7(143 被 7 除余 3)，所以 14389389 mod 7 (14389 被 7除所得余数与 389被 7 除所得余数相等 )6729 ， 7291 mod 7 （ 729除以 7

12、的余数为1），而 3学习必备欢迎下载所以 38936363635355 mod7 14个89除以7 的余数为 5.故 143【巩固】（ 20XX 年实验中学考题）22322除以 7 的余数是多少？122001 200222222 02222002200340051001 20，03而1335【解析】由于130 10 0 261001 是 7的倍数， 所以这个乘积也是222227 的倍数，故12320012002除以 7 的余数是0；【巩固】 在图表的第二行中，恰好填上 8998 这十个数， 使得每一竖列上下两个因数的乘积除以 11 所得的余数都是因数899091929394959697983因

13、数【解析】因为两个数的乘积除以11 的余数， 等于两个数分别除以11 的余数之积因此原题中的 8998可以改换为 110 ，这样上下两数的乘积除以11 余 3 就容易计算了我们得到下面的结果：因数89909192939495969798进而得到本题的答案是：因数37195621048【例 2 】一个大于1 的数去除290，235， 200 时，得余数分别为a ， a2 ， a5 ，则这个自然数是多少？【解析】 根据题意可知，这个自然数去除290 ， 233 ， 195 时，得到相同的余数（都为a ）既然余数相同， 我们可以利用余数定理，可知其中任意两数的差除以这个数肯定余0那么这个自然数是29

14、023357 的约数， 又是 233 19538 的约数， 因此就是57 和 38 的公约数 ,因为 57 和 38 的公约数只有19 和 1，而这个数大于1，所以这个自然数是19 学习必备欢迎下载题型：余数综合应用【例 3 】（著名的裴波那契数列是这样的：1、1、 2、3、5、8、 13、21这串数列当中第 2008 个数除以3 所得的余数为多少？【解析】 斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3 除所得余数的数列：1、 1、2、0、2、2、 1、0、1、1、2、0第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位

15、置连续，所以裴波那契数列被3 除的余数每8 个一个周期循环出现，由于2008 除以 8 的余数为 0 ，所以第 2008 项被 3 除所得的余数为第8 项被 3 除所得的余数，为0.【例 4 】( 圣彼得堡数学奥林匹克试题) 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和 9 的余数现知这三余数的和是15试求该数除以18 的余数【解析】 除以 3 、 6 和 9 的余数分别不超过2， 5， 8 ，所以这三个余数的和永远不超过25815，既然它们的和等于15 ，所以这三个余数分别就是2， 5， 8 所以该数加1 后能被3，6 ，9 整除，而 3,6,918 ，设该数为 a ，则 a18 m 1

16、 ，即 a18( m 1)17（ m为非零自然数） ，所以它除以18 的余数只能为17 【巩固】 (20XX 年香港圣公会小学数学奥林匹克试题) 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3 的整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是 100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁?【解析】 从任意三人岁数之和是3 的倍数， 100 除以 3 余 1 ，就知四个岁数都是3k1型的数，又是质数只有7， 13， 19 ， 31 ， 37， 43 ，就容易看出：父43 岁，母37 岁，兄 13 岁，妹 7 岁BA学习必备欢迎下载【例 5 】( 华杯赛试题 ) 如图，在一个圆圈上有几十个

17、孔( 不到 100 个 ) ，小明像玩跳棋那样，从 A 孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔他先试着每隔2 孔跳一步，结果只能跳到B 孔他又试着每隔4 孔跳一步，也只能跳到 B 孔最后他每隔6 孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗 ?【解析】 设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A 孔编号为1 ，然后沿逆时针方向顺次编号为 2 ， 3 ，4 ， ，B 孔的编号就是圆圈上的孔数我们先看每隔2 孔跳一步时， 小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4 ，7，10 ，上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3 的倍数加1 按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是

18、3 的倍数加1同样道理，每隔4 孔跳一步最后跳到 B 孔，就意味着总孔数是5 的倍数加 1；而每隔 6孔跳一步最后跳回到A 孔，就意味着总孔数是7 的倍数如果将孔数减1 ，那么得数既是 3的倍数也是 5 的倍数，因而是15 的倍数这个15 的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a ，则 a 15m1（ m 为非零自然数）而且 a 能被 7 整除注意 15被7除余 1，所以15 6被7除余 6，15 的6倍加 1正好被 7整除 我们还可以看出， 15的其他 (小于的 7) 倍数加1 都不能被 7 整除， 而157105 已经大于 100 7 以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191【例 6 】 (20XX 年清华附中考题 ) 已知 n 是正整数，规定 n! 12n ，令 m1! 12!23! 32007! 2007，则整数 m除以 2008 的余数为多少？【解析】 m1! 12!23!32007! 20071!（21） 2! （31） 3!（4 1）2007!（20081）2!1!3!2!4!3!2008!2007!2008! 12008 能够整除 2008!，所以 2008!1 的余数是 2007 【例7 】有2 个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是1