第五 定积分的换元法PPT课件

1、为去掉根号令12 xt则212 txtdtdx 当 x 从0连续地增加到4时，t 相应地从1连续地增加到3) 0121( xdxdt于是 31240322)3(21122dttdxxx尝试一下直接换元求定积分第第2页页/共共36页页第1页/共36页将上例一般化就得到定积分的换元积分公式 由此可见，定积分也可以象不定积分一样进行换元，所不同的是不定积分换元时要回代原积分变量，而对定积分则只需将其上、下限换成新变量的上、下限即可计算出定积分，而不必回代原积分变量第第3页页/共共36页页第2页/共36页一、换元公式 假假设设（1 1）)(xf在在, ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在

2、, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当当t在在区区间间, 上上变变化化时时，)(tx 的的值值在在,ba上上变变化化，且且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .第第4页页/共共36页页第3页/共36页证证设设)(xF是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(aFbFdxxfba ),()(tFt dtdxdxdFt )()()(txf ),()(ttf )(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.),()()()( dtttf第第5页页/共共36页页第4页/共36页a )( 、b )( ,)()( )()( F

3、F ),()(aFbF )()()(aFbFdxxfba )()( .)()(dtttf 注意注意 当当 时，换元公式仍成立时，换元公式仍成立.第第6页页/共共36页页第5页/共36页应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）用用)(tx 把把变变量量x换换成成新新变变量量t时时，积积分分限限也也相相应应的的改改变变.（2）求求出出)()(ttf 的的一一个个原原函函数数)(t 后后，不不必必象象计计算算不不定定积积分分那那样样再再要要把把)(t 变变换换成成原原变变量量x的的函函数数，而而只只要要把把新新变变量量t的的上上、下下限限分分别别代代入入)(t 然然后后相相减减就就行行了了.

4、第第7页页/共共36页页第6页/共36页计算 adxxa022解1 由定积分的几何意义 adxxa022等于圆周的第一象限部分的面积42a 解2Caxaxaxdxxa arcsin2222222 故 adxxa02242a ax 22xay o例2第第8页页/共共36页页第7页/共36页令 adxxa022 2022cos tdta 202)2cos1(2 dtta42a 解4令taxcos 仍可得到上述结果taxsin tadxcos 00 tx2 tax解3第第9页页/共共36页页第8页/共36页.sincos205 xdxx解解 令令,cosxt ,sin xdxdt 2 x, 0 t0

5、 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 例例3 3 计算计算第第10页页/共共36页页第9页/共36页定积分的换元积分公式也可以反过来使用为方便计将换元公式的左、右两边对调同时把 x 换成 t ， t 换成 x dxxxf)()( badttf)(这说明可用 )(xt 引入新变量但须注意如明确引入新变量，则必须换限但须注意如明确引入新变量，则必须换限如没有明确引入新变量，而只是把如没有明确引入新变量，而只是把整体视为新变量，则不必换限整体视为新变量，则不必换限)(xt 注第第11页页/共共36页页第10页/共36页例例4 4 计算计算.sinsin053 d

6、xxx解解xxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 第第12页页/共共36页页第11页/共36页例例5 5 计算计算.)ln1(ln43 eexxxdx解解原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 第第13页页/共共36页页第12页/共36页例例6

7、6 计算计算 aadxxax022)0(.1解一解一 令令,sintax ,costdtadx ax ,2 t0 x, 0 t原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 第第14页页/共共36页页第13页/共36页解二解二接解一接解一对对 20cossincos dtttt令令 20cossincos dttttI 20cossincos dttttJ则则 202 dtJI002)cosln(sincossinsincos20 ttdtttttJI4 JI

8、第第15页页/共共36页页第14页/共36页例例 7 7 当当)(xf在在,aa 上连续，则有上连续，则有 dxxfxfdxxfaaa 0)()()( 且有且有 )(xf为偶函数，则为偶函数，则 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf为奇函数，则为奇函数，则 aadxxf0)(. 证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx ,第第16页页/共共36页页第15页/共36页 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adt

9、tf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 即：即： 奇函数在对称区间上的积分等于奇函数在对称区间上的积分等于0 偶函数在对称区间上的积分等于对称的偶函数在对称区间上的积分等于对称的 部分区间上积分的两倍部分区间上积分的两倍 由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的第第17页页/共共36页页第16页/共36页例例8 8 计算计算.11cos21122 dxxxxx解解原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数奇函数奇函数 1022114dxxx 10222

10、)1(1)11(4dxxxx 102)11 (4dxx 102144dxx.4 四分之一单位圆的面积四分之一单位圆的面积第第18页页/共共36页页第17页/共36页例例 9 9 若若)(xf在在 1 , 0上连续，证明上连续，证明 （1） 2200)(cos)(sindxxfdxxf; （2） 00)(sin2)(sindxxfdxxxf. 由此计算由此计算 02cos1sindxxxx. 第第19页页/共共36页页第18页/共36页（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2

11、）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sin dxxxf 0)sin()(dttft证证第第20页页/共共36页页第19页/共36页,)(sin)(0 dttft 0)(sindxxxf 0)(sin dttf 0)(sin dtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf第第21页页/共共36页页第20页/共36页另证 将上式改写为 00)(sin)2(dxxfx2 xt令 220)(cos)(sin)2( dtttfdxxfx则则 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos

12、112xdx 0)arctan(cos2x.42 奇函数奇函数0 第第22页页/共共36页页第21页/共36页例例10 设设 f(x) 是以是以L为周期的连续函数，证明为周期的连续函数，证明 Laaadxxf无关无关的值与的值与)(证明证明 LaaaLLaLdxxfdxxfdxxfdxxf00)()()()( aLaLdtLtfLtxdxxf0)()()(令令 adttf0)( adxxf0)( Laaadxxfdxxf0)()(与与 a 的值无关的值无关第第23页页/共共36页页第22页/共36页例例11 设设 f(x) 连续，常数连续，常数 a 0 证明证明 aaxdxxaxfxdxxax

13、f121222)()(证明证明比较等式两边的被积函数知，比较等式两边的被积函数知，2xu 令令uduuaufxdxxaxfaa2)()(2121222 uduuaufa)(21212 )()(212212uduuaufuduuaufaaa 第第24页页/共共36页页第23页/共36页dttaattatfuatuduuaufaaa)()()()(22212222 令令tdttatfa)(12 xdxxaxfxdxxaxfaa)()(1221222 第第25页页/共共36页页第24页/共36页例例12 设设 f ( x ) 连续连续 10)()(dtxtfx )()(lim0常数常数且且AAxxf

14、x 处的连续性处的连续性在在并讨论并讨论求求0)()( xxx 解解连续知连续知及及由由)()(lim0 xfAxxfx 0)()()0(limlim00 xxxfxffxx0)0( 10)()(dtxtfx 时时0 xuxt 令令 xduufx0)(1第第26页页/共共36页页第25页/共36页0)0()()0(lim0 xxx 200)(limxduufxx 法则法则型型L0022)(lim0Axxfx 时时0 x20)()()(xduufxxfxx 2000)()()(limlimxduufxxfxxxx )()(200limxduufxxfxx 第第27页页/共共36页页第26页/共3

15、6页2000)()(limlimxduufxxfxxx 22AAA )0()(lim0 xx处连续处连续在在即即0)( xx 第第28页页/共共36页页第27页/共36页定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()(几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式 二、小结第第29页页/共共36页页第28页/共36页思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 第第30页

16、页/共共36页页第29页/共36页 思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 第第31页页/共共36页页第30页/共36页练练 习习 题题一、一、 填空题：填空题：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、 03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .第第32页页/共共36页页第31页/共3

17、6页二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （为参数为参数 ）. .第第33页页/共共36页页第32页/共36页三、三、 设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续， 证明证明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 证明：证明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .第第34页页/共共36页页第33页/共36页六、证明：六、证明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续， 证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.第第35页页/共共36页页