第五 误差元素建模技术PPT课件

1、1 多项回归分析建立热误差和温度的关系。 ET = ao + S bi DTi+ S cij DTi DTj + 其中，DTi 和 DTj 是温度变化。 设给定多元函数 的一组测量数据和一组线性无关的函数系 ，求函数（5-1）对一组正权系数 ，使得目标函数（5-2） 达到最小。nxxxy,21miyxxxiniii,2,1,21lknkxxx021,ljnijnkxxxaxxx02121,mwww,21miniiiiixxxywS1221,第1页/共31页2 目标函数式（5-2）是关于参数 的多元函数，由多元函数取得极值的必要条件知，欲使S达到极小，须满足条件 （5-3）则得正规方程组其中 （

2、5-4） （5-5） （5-6） 对于非线性最小二乘拟合，则有目标函数 （5-7）ljaSj,2,10laaa,10lkyakljjkj,1,0,0miniiikniiijikjxxxxxxw12121,miiniiikikyxxxwy121,milniiiiilaaaxxxywaaaS12102110,;,第2页/共31页3最小二乘建模举例 设回归函数为：其中为误差项。如令对应于变数xi的测定值为yi，根据假定的函数求出的值与测量值之间的误差i为 如要计算误差I的平方和E2为最小值的a及b，则将E2分别对a及b微分并令其等于零即可。其中n是测量值的个数。baxy)(baxyiiiiiibax

3、yE22)(iiiiiiiiiiixbxayxbaxyxaE0)(2)(222iiiiiiiiinbxbxaybaxybE0)(2)(222第3页/共31页4最小二乘建模举例（续一） 设热误差D与机床温度T为线性关系，即： D D = = a aT T + + b b 则根据正规方程式和检测数据可得：iiiiiiixbxayx02iiiiiinbxbxay02正规方程式解正规方程式可得：2)()( )(xxxxyybiiixbya971. 4)()( )(2DDTTTTbiii246. 7DTba序号序号 I温度温度 T热误差热误差D DT D DT 210.809-1.0-0.8090.65

4、420.7050.00.000.49730.5520.480.2650.30540.611.000.6100.37250.4781.480.7090.02360.4932.000.9860.24370.342.400.8170.11680.252.700.6760.05D=9.06 TD=10.314 T 2=2.215最终可得热误差模型为： D D = -7.246 = -7.246T T + 4.971 + 4.971验证：i=7，D = -7.246 0.34 + 4.971 = 2.5 2.4 正确正确第4页/共31页5最小二乘建模举例（续二）若对于多测点温度的线性建模，可设回归方程为

5、： 则根据“最小二乘法”原理有：可求得正规方程式为：解此方程可得a，b，c。 若进行位置x的多项式拟合，可分别以x、x2代替T1、T2。21cTbTaDDiiiicTbTaE2212)(0, 0, 0222cEbEaEDiiiiiiTcTbna21DDiiiiiiiiiiTTcTbaT2121DiiiiiiiiiiTcTTbTaT2221212第5页/共31页6序号CoolantNutSpindleBodyError序号CoolantNutSpindleBodyError124.14924.4226.20422.98202825.83525.51429.34623.205-26224.2852

6、4.51126.38823.027-22925.88125.5629.44123.295-27324.4224.51126.52723.071-13025.92725.60629.53623.34-27424.51124.55626.66623.071-63125.97325.65129.63223.34-30524.60224.55626.75923.071-73225.97325.69729.67923.34-27624.69324.60226.94523.116-93325.92725.74329.77523.384-29724.78324.64727.08523.071-103426.

7、06525.74329.82323.429-28824.82924.69327.17823.071-143526.11125.78929.91923.429-30924.9224.69327.27123.071-133626.11125.83529.96723.474-291025.01124.78327.27123.071-133726.15825.88130.1123.474-301125.10224.73827.45823.071-163826.2525.92730.15823.519-311225.14824.82927.64523.071-173926.20425.97330.254

8、23.519-311325.19424.87427.73923.071-174026.20426.01930.35123.564-321425.28524.9227.8823.161-184124.87426.66628.02125.011361525.28524.96628.02123.116-204225.10226.66628.11524.92351625.33125.01128.11523.116-234325.23926.66628.11524.829321725.42225.05728.25623.116-224425.33126.66628.20924.783311825.422

9、25.10228.3523.116-214525.42226.66628.3524.738301925.46825.14828.44523.116-244625.46826.66628.49224.693282025.51425.19428.53923.161-224725.5626.66628.58624.647272125.5625.19428.68123.161-214825.65126.66628.68124.647272225.60625.23928.77623.161-234925.65126.71328.82324.556252325.65125.28528.8723.205-2

10、65025.74326.71328.91824.602232425.69725.33128.96523.205-265125.83526.71328.96524.556252525.74325.37629.0623.25-265225.88126.75929.15524.556232625.78925.42229.15523.25-275325.83526.80629.0624.602302725.78925.46829.2523.25-255425.74326.80629.2524.60227建模数据bsncTTTTr24. 182.1546.3327. 855.171D数学模型：第6页/共

11、31页7 神经网络是由大量简单元件广泛相互连接而成的复杂网络系统,它是在现代神经科学成果的基础上提出的，反映了人脑功能的若干基本特征，是一种抽象的数学模型。神经网络其实质是一门非线性科学，处理非线性问题，对样本不要求独立或遵守正态分布，能把所有样本的情况包括进来,还具有并行处理、容错性、自学习等功能，有别于传统方法。所谓神经网络建模，就是用测得的过程输入输出数据对神经网络进行训练，从而获得其输入输出特性与实际过程等价的神经网络模型。尤其BP和RBF网络具有逼近任何非线性函数的能力，它们被广泛用于不确定性系统模型逼近中。 BP（Back propagation）神经网络又称为多层前馈神经网络。一

12、般情况下为3层，即输入层、隐含层和输出层。在学习阶段，先将学习样本对的输入加在网络的输入端，沿着前向（即输入层输出层）在各层神经元按输入和激励函数的方式产生输出。然后将输出层神经元的实际输出值和期望输出值之差逆向（即输出层输入层）传播到各层神经元，并根据误差的大小和符号相应地调整各连接权值。此过程一直进行到神经网络能在给定样本条件下以一定精度产生给定输出结果为止。在工作阶段，当待测样本输入到已学习好的神经网络输入端时，根据类似输入产生类似输出的原则，神经网络按内插或外插的方式在输出端生成所求的解。BP网络中隐层神经元的变换函数通常是log-sigmoid型函数logsig或tan-sigmoi

13、d型函数tansig。最后一层采用purelin型线性函数。 RBF（Radial Basis Function）网络也称为径向基函数网络，是BP神经网络中的一类特殊的三层神经网络，是一种典型的局部逼近神经网络。其隐含层的特性函数采用非线性的径向函数，对输入层的激励产生局部化响应，即仅当输入落在输入空间某一指定的小范围内时，隐单元才会作出有意义的非零响应，输出结点则对隐结点的基函数输出进行线性组合BP神经网络相比，收敛速度快103104倍，使建模时间大大减小。第7页/共31页8BP网络） BP网络中隐层神经元的变换函数通常是log-sigmoid型函数logsig或tan-sigmoid型函数

14、tansig。最后一层采用purelin型线性函数。 W(1,1)W(n,s)a1a2asn1b1n2b2nsbsP1P2P3pn输入输入 S S型神经元层型神经元层典型BP神经网络结构第8页/共31页9径向基函数（RBF）网络） RBF网络是一种典型的局部逼近神经网络。收敛速度快，使建模时间大大减小 。 RBF网络 结构图第9页/共31页10 使用日本学者关野（Sugeno）提出的高木关野型模糊逻辑系统建立的Sugeno模糊神经网络，建立热误差模型。该模糊推理系统是利用反向传播算法（BP算法）和最小二乘算法完成对输入/输出数据对的建模。第10页/共31页11 能否找到较长期正确有效预报机床热

15、误差的数学模型（为使用方便，最好是线性数学模型）？再则，一个热误差数学模型能否在多台相同类型的机床上使用？为了解决这些问题而展开了对热误差鲁棒建模的研究，并由此提出回归正交设计建模法，即应用正交试验设计理论，将热误差数学模型中的各项系数设计在一个合理的范围内，再用实验数据进行分析计算求出数学模型中的各项系数和模型残差的关系，最后寻找具有最小残差的最佳系数组合。这种新方法的创新及特点在于：（1）把传统建模的统计理论与工程判断相结合；（2）用少量的试验数据获得更合理有效的热误差数学模型；（3）建模柔性强，可根据不同机床、环境、实验条件等采取不同建模策略；（4）由于增加了建模的其它条件，故对建模数据

16、的依赖性降低，从而降低了对温度传感器位置的敏感性。从而使热误差数学模型的鲁棒性更进一步提高，即模型的应用精确度高、适应性强、长期有效。这种建模方法在一生产厂100多台类型相同和规格基本相同的车削中心的热误差补偿应用中，仅使用一个热误差数学模型，几乎所有机床都获得了良好的热误差补偿效果，从而论证了本方法的正确性、有效性和实用性。第11页/共31页12 在此建模方法中，在传统的统计建模基础上还考虑了以下两个方面： （1）温度采集系统的噪声极小化。在热误差预报模型中由温度采集通道引起的噪声与模型参数的绝对值成正比。对于整个检测系统，为把噪声降至最低点应有： Ci min (i = 1 m) 其中 C

17、i : 热误差数学模型中，第 i 个热传感器温度的系数；m : 热传感器数目。 （2）环境变化的影响极小化。由于机床结构材料和工件材料具有相同的热膨胀系数，故如果整台机床的温度均匀变化则在刀尖和工件之间基本无热误差产生。在这种情况小，温度系数的和应为零。另外，考虑到尽量少受环境温度变化的影响，温度系数的和应尽可能地小，即： Ci min (i = 1 m) 在传统的最小二乘统计建模基础上，考虑到上面提到的两个方面要求，在本综合最小二乘建模方法中提出新的目标函数： Obj =ej2 / n + w1 Ci + w2 (Ci )2 min (i = 1m, j = 1n) 其中ej为第j个点测量值

18、和预测值之间的残差；n为测量点总数；w1 和w2为加权因子，它们由检测系统的精度、环境温度变化的大小、被加工工件尺寸公差的范围及仿真计算分析等决定。第12页/共31页13 递推建模法所得到的模型结果不是一个固定的公式，而是由几个简单的公式组成的一个确定的算法。它在根据模型得出误差预测值的同时，不断根据新输入的数据修正模型本身，或是不断用“新鲜”数据替换已经有些过时的老数据，或是跟踪参数自身所发生的变化。这就好像使模型本身具有了一种“推理”能力，自然而然地跟踪环境等周围因素的变化，以提高补偿时模型的鲁棒性。同时，不同的机床会有不同的跟踪效果，也就提高了模型的通用性和精度。另外，在修正运算中由于不

19、重复使用已用过数据，而使运算时间极短。其中：kkTkkkkyaxkaa11kkkxPk11kiTiikxxP第13页/共31页145.2 5.2 仅与机床坐标有关的几何误差元素建模仅与机床坐标有关的几何误差元素建模 依据刚体假设，可使用机床运动轴位置坐标的多项式模型对某些几何误差院元素进行拟合，即： Eg(p) = a0 + a1 p + a2 p2 + . 其中： p 为 p 轴的位置坐标，p 是 x、y 或 z。第14页/共31页15 多项式拟合法的原理多项式拟合法的原理 设给定一组测量数据： 要求构造一个m次多项式： (1)使得目标函数：取得最小值，也就是用可获得的测量值来估计未知参数

20、。这里要求加权系数 ，一般情况下取 。记：根据求极值原理，取得极小值的必要条件为： 由于 已知，因此上式中m+1个方程，可以求出m+1个未知数 ，即可以求出最佳多项式拟合函数。下面求解：),(iiyx), 2 , 1(Nimmxaxaxaay2210)(Nm 222101)(mimiiNiiixaxaxaayja0i), 2 , 1(Ni1i), 2 , 1(Ni222101)(mimiiNiixaxaxaayJNijimimiiijNimimiiimjxxaxaxaayaJxaxaxaayaJ12210122100), 2 , 1( , 0)(20)(2), 1 , 0(,Nkyxkkmaa

21、a,10第15页/共31页16将上述方程组整理后，得为了方便求解，将上面的方程组表示成矩阵形式，因此，记：则，式(2)表达为：当(m+1)阶方阵 满秩时，解式(3)得：NiNiNiniinnininiiNiniNiNiNiiininiiiNiiNiNiNiinniixyaxxaxxaxxyaxxaxxaxyaxaxaN111111011111111101111110 NyyyY21 mNNNmmxxxxxxxxxX222221211111maaaA10（2）YXXAXTTYXXXATT1)(XXT（3）（4）第16页/共31页17X-axis travel (mm)displacement e

22、rror (micron)-3.0-2.0-1.00.01.02.03.04.0-80.0-70.0-60.0-50.0-40.0-30.0-20.0-10.00.010.0 xx(Forward)xxG(x)=1.1192*10-6x4+8.9455*10-5x3+9.0575*10-4x2-6.2218*10-3x+2.9717*10-1第17页/共31页185.3 与机床温度和坐标都有关的误差建模-25-20-15-10-505020406080 100 120 140 x/mm( x,T)/ m1(T1)2(T2)3(T3)4(T4)第18页/共31页19600500400300200

23、1000-0.050.000.00 行程 (mm)yy (mm) 机床冷态 1小时运行后2小时运行后7小时运行后+=静态（冷态）误差曲线与时间（温度）有关的斜率总误差几何误差和热误差的分离几何误差和热误差的分离第19页/共31页20 从误差曲线可看出，随着机床受热温度提高，误差曲线形状变化不大而曲线斜率有变化。因此，这种误差元素可分离成如下二部分： pp（p，T）= ppG（p）+ ppT（T）* p式中： ppG（p）为p轴线性位移误差元素的几何部分，它只与位置p有关； ppT（T）为p轴线性位移误差元素的热部分，它只与机床的温度T有关。 几何部分和热部分的分离见前图

24、。几何部分，在机床冷态时测得（前图最下曲线），用位置p的多项式拟合。 热部分与机床上的某些温度有关，各数值为各线性位移误差曲线拟合线的斜率，每一次测得的一组误差数据可进行直线拟合得一斜率。第20页/共31页2105 01 0 01 5 0- 3 0- 2 0- 1 001 0X / mm (x,T)/ m测量数据1 测量数据2 测量数据3 测量数据4 拟合 数据1 拟合 数据2 拟合 数据3 拟合 数据4 位置、温度及误差值x/mm020406080100120140丝杆温度/床身温度/(x,T1)/m0-1.5-2.25-2.702.70-1.523.11523.115(x,T2)/m0.1

25、-2.6-5.2-6.4-6.1-5.8-9.2-12.2523.69823.804(x,T3)/m0.25-3.5-6.7-8.9-9.15-9.4-13.85-17.724.03824.347(x,T4)/m0.4-4.2-8.4-11.3-12.4-13.5-18.8-23.524.99224.6935745341031057. 110375. 3),(xxxTxxxTT)805. 01189. 05089.16(21第21页/共31页22X-axis travel (mm)displacement error (micron)-16.0-14.0-12.0-10.0-8.0-6.0-4

26、.0-2.00.02.04.0-80.0-70.0-60.0-50.0-40.0-30.0-20.0-10.00.010.0meas. #1meas. #5meas. #12meas. #18fitted. #1fitted. #5fitted. #12fitted. #18 xx(Forward)xx 1.1192 106x4 8.9455105x3 9.0575104x26.2218 103x 2.9717 101(2.7523102 4.9600103DT7 3.3601102DT8 )x第22页/共31页23数控车床误差元素建模实例数控车床误差元素建模实例 数控车床不同于三轴机床，它只

27、有X和Z两根运动轴（如图），故其误差属于平面误差。数控车床(the NC lathe)数控车床误差元素建模实例数控车床误差元素建模实例第23页/共31页24050100150200-202468X/mm z(X)/ m测量 数 据拟 合 数 据残留 误差X轴直线度误差z(X)（正行程）the straightness error of X-axis: z(x) (move forward)4320.010.050.180.32-6.20)(xxxxXz数控车床误差元素建模实例数控车床误差元素建模实例第24页/共31页25050100150200-1-0.500.51X/mm z(X)/ m测量 数 据拟 合 数 据残留 误差X轴直线度误差z(X)（反行程）the straightness error of X-axis: z(x) (move backward)4320.020.120.510.950.26)(xxxxXz数控车床误差元素建模实例数控车床误差元素建模实例第25页/共31页264320.01zz06. 0z19. 034. 00.01)(zZX050100150200-1-0.500.511.52Z/mm x(Z)/ m测量 数 据拟 合 数 据残留 误差Z轴直线度误差x(Z)（正行程）the straightness error of Z-axis: x(Z)