第五章弯曲变形PPT课件

1、材料力学材料力学1()()zMxwxEI 式（式（2 2）就是挠曲线近似微分方程。）就是挠曲线近似微分方程。3221( ) ( )(1)w xw xw 小变形小变形yxM0( )0w xyxMb，则右支座转角绝对值最大，即离力近的支座转角大。，则右支座转角绝对值最大，即离力近的支座转角大。最大挠度发生在转角为零处，即最大挠度发生在转角为零处，即maxd0dwwwx，C()3Fab abxalEI ，可见若可见若a b，则，则C处转角为负，说明处转角为负，说明A到到C转角改变了符号，转角改变了符号，挠曲线为光滑连续曲线，挠曲线为光滑连续曲线， =0必在必在AC段内，令段内，令 1=0 求得求得2

2、203lbx22 3max()9 3FbwlblEI第16页/共61页材料力学材料力学17当力靠近右支座，即当力靠近右支座，即b00时，以致时，以致b2与与l2相比可以略去。相比可以略去。00.5773lxl22max15.69 3FblFblwEIEI2222(34)4816lFbFblwlbEIEI此时梁中点的挠度为此时梁中点的挠度为用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为用中点挠度代替最大挠度所引起的误差为max2max2.65%lwww 在简支梁中，当承受相同的横向载荷在简支梁中，当承受相同的横向载荷(向下向下)作用时，梁作用时，梁的挠曲线无拐点，总可用跨中挠度代替最大挠度。其精度满的挠曲

3、线无拐点，总可用跨中挠度代替最大挠度。其精度满足工程计算要求。足工程计算要求。第17页/共61页材料力学材料力学18积分法求梁的变形优点：可全面表达挠度和转角；缺点：方程表达与坐标选择有关，计算量大。 计算梁在多个荷载作用下的变形，有时只关心个别截面的挠度和转角(最大挠度和最大转角)，而不一定计算出挠度方程和转角方程，这时采用叠加法是很方便的。第18页/共61页材料力学材料力学19 在材料服从虎克定律和小变形的条件下，几个力共同作用引起梁的变形 ，等于这几个力分别单独作用时引起梁变形的代数和。121122()()()()nnnFFFFFF、 、121122()()()()nnnw FFFw F

4、w Fw F、 、二、结构形式叠加（逐段刚化法）5.3 5.3 用叠加原理求梁的弯曲变形用叠加原理求梁的弯曲变形一、载荷叠加：多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和。第19页/共61页材料力学材料力学20解、载荷分解如图查简单载荷引起的变形。 36CFFawEI()24AFFaEI( )4524CqqawEI()33AqqaEI( )B按载荷叠加原理求A点的转角和C点的挠度。qFACaa=+qABABF叠加AA FA q2(34)12aFqaEI( )435246CqaF awE IE I()第20页/共61页材料力学材料力学21解：原载荷可看成为图a

5、和b两种荷载的叠加，对应 的变形和相关量如图所示。利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由端B截面的挠度和转角。FlllEIFABCDB1FC1wC1wC1C12l直线wB1(a)CBD1B2wD1FD1l直线wD1wB2(b)DB第21页/共61页材料力学材料力学22323111422323BCCFlFlFlwwllEIEIEIEIFlCB2211由位移关系可得此时由位移关系可得此时B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）313CFlwEIEIFlC221对图对图a，可得，可得C截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：B1FC1wC1wC1C12l直

6、线wB1(a)CB第22页/共61页材料力学材料力学233232118414323BDDFlFlFlwwllEIEIEI EIFlDB2122同理可得此时同理可得此时B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）3123DFlwEI2122DFlEI对图对图b，可得，可得D截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：D1B2wD1FD1l直线wD1wB2(b)DB第23页/共61页材料力学材料力学2433312414633BBBFlFlFlwwwEIEIEIEIFlEIFlEIFlBBB252222221（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）将相应的位移进将相应的位移

7、进行叠加，即得：行叠加，即得：FlllEIFABCD第24页/共61页材料力学材料力学25C怎样用怎样用叠加法确定叠加法确定 C和和wC?CBAq2l2lwCCBAq2l2lqqCBA2l2lqqCBA2l2l第25页/共61页材料力学材料力学26解：可将原载荷看成为图示关于跨中解：可将原载荷看成为图示关于跨中C截面的正对截面的正对 称和反对称载荷的叠加。称和反对称载荷的叠加。利用叠加原理求图示弯曲刚度为利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的简支梁的跨中的简支梁的跨中挠度挠度wC和两端截面的转角和两端截面的转角 A， B。qBACl/2l +lACBq/2Al/2CBl/2q/2q/2第26页/共

8、61页材料力学材料力学27lACBq/21 1、对正对称载荷，跨中截面、对正对称载荷，跨中截面C的挠度和两端的转的挠度和两端的转 角分别为：角分别为：441525384768CqlqlwEIEIEIqlEIlqBA482423311第27页/共61页材料力学材料力学28Al/2CBl/2q/2q/22 2、对反对称载荷，跨中截面、对反对称载荷，跨中截面C的挠度等于零，并可的挠度等于零，并可 分别将分别将AC段和段和CB段看成为段看成为l/2的的简支梁，即有：简支梁，即有：20CwEIqlEIlqBA38424223322第28页/共61页材料力学材料力学294412550768768CCCql

9、qlwwwEIEI（）将相应的位移进行叠加，即得：将相应的位移进行叠加，即得：qBACl/2l EIqlEIqlEIqlAAA12833844833321（ ）EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321（ ）第29页/共61页材料力学材料力学30结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明。=+BCFl2w1w2等价等价等价等价xy12wwwwFl1l2ABCxyFl1l2ABC刚化刚化AC段段Fl1l2ABC刚化刚化BC段段Fl1l2ABCMxy第30页/共61页材料力学材料力学31分析： BC段弹性弯曲引起 wCF ， 叠加叠加CCFBwwaqEI=常数，求 wC qaCAa2aB

10、 AB段B截面转角引起 Ba 。wCFaqaBCAq2aBqaqa2BC第31页/共61页材料力学材料力学32注意：引起 B的有两项， 均布载荷q 和集中力qa2，它们的转向不同，叠加时注意正负号。34()33CFqa aqawEIEI()423CCFBqawwaEI()qqaCAa2aBwCFaqaBCAq2aBqaqa2BCBBMBq23()2(2 )324qaaqaEIEI( )33qaEI第32页/共61页材料力学材料力学33解：可将外伸梁看成是图a和b所示的简支梁 和悬臂梁的叠加。（1）对图a，其又可看成为图c和d所示荷载的组合。由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁C截面的挠度和转

11、角以及D截面的挠度。ACaaaF=qaBDEIqF=qaAEIDBqaqa2/2(a)BC(b)q+第33页/共61页材料力学材料力学34图图c中中D截面的挠度和截面的挠度和B截面的转角为：截面的转角为：31248DqaawEIEIaqaB16221图d中D截面的挠度和B截面的转角为：42216DqawEI EIqaB332BAF=qa(c)D+qa2/2(d)BDA第34页/共61页材料力学材料力学35将相应的位移进行叠加，即得：将相应的位移进行叠加，即得：444126824DDDqaqaqawwwEIEIEI（向下）（向下）EIqaEIqaEIaqaBBB12316233221（顺时针）（

12、顺时针）48CqqawEIEIqaCq63（2）对图）对图b，C截面的挠度和转角分别为：截面的挠度和转角分别为：qBC(b)第35页/共61页材料力学材料力学36 4341581224CqaqaqawaEIEIEIEIqaEIqaEIqaC4126333所以：所以：（向下）（向下）（顺时针）（顺时针）CCqBwwaCqBC原外伸梁原外伸梁C端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：端的挠度和转角也可按叠加原理求得，即：ACaaaF=qaBDEIBCqBawCqq第36页/共61页材料力学材料力学37求图示变截面梁的最大挠度和最大转角wmax ， max 。2EIEIFllABC解：最大挠度和最大转

13、角发生在解：最大挠度和最大转角发生在C处。处。变截面梁可看成两个悬臂梁组成。变截面梁可看成两个悬臂梁组成。FEIlBC2EIlAFBFl+323()53(2)2(2)12BFlFllFlwEIEIEI22()32(2)(2)4BFlFllFlEIEIEI33max332CBBFlFlwwwlEIEI 22max524CBFlFlEIEI第37页/共61页材料力学材料力学38qqlllACBD求梁求梁C截面处的挠度。截面处的挠度。lllACBDqlllACBDq=+=lllACBDql22ql2q=lllACBD2qlllACBD+2q12342245(2)(2 )(2)(2 )038416(

14、)48CCCCwwwwqlqllEIEIqlEI 第38页/共61页材料力学材料力学39 解：可在铰接点处将梁分成图a和b所示两部分，并可求得铰接点处的一对作用力与反作用力为：qaFFFBB2求图示弯曲刚度为EI的中间铰梁铰接点B处的挠度和B点右截面的转角以及D截面的挠度，其中F=2qa。qAEIEIFBCa/2DaaF/2wBBCq(b)F/2wBBwDFw/2AF(a)BD直线第39页/共61页材料力学材料力学40并且图b又可分解为图c所示两种载荷的组合。F/2wBBCq(b)+qBCF/2BC(c)=（1）对图）对图b，可得其，可得其B截面的挠度和转角为：截面的挠度和转角为：43BBFq

15、awEIEIqaBBF2348BqqawEIEIqaBq63第40页/共61页材料力学材料力学41 进行相应的叠加可得：进行相应的叠加可得：444a118324BBBqBFqaqqawwwEIEIEI（向下）（向下）3332623BBqBFBqaqaqaEIEIEI （逆时针）（逆时针）F/2wBBCq(b)（2）图）图a可看成为右支座有一定竖直位移（位移可看成为右支座有一定竖直位移（位移量为量为wB）的简支梁，此时）的简支梁，此时D截面的挠度为：截面的挠度为：F/2wBBwDFw/2AF(a)BD直线4441211132484848DDFBqaqaqawwwEIEIEI（向下）（向下）第41

16、页/共61页材料力学材料力学42d dFFlABd dnnbhn-n截面截面宽度为宽度为b，高度为，高度为h的矩形截面弯的矩形截面弯曲钢梁，在两端受力作用使其平曲钢梁，在两端受力作用使其平直后，将有均布压力作用于刚性直后，将有均布压力作用于刚性平面上。已知钢梁弹性模量平面上。已知钢梁弹性模量E和和梁长梁长l及及d d。求压直梁所需的力。求压直梁所需的力F和和压直后梁内的最大正应力。压直后梁内的最大正应力。解：钢梁压直后，有均布载荷解：钢梁压直后，有均布载荷作用，这等价于简支梁受均布作用，这等价于简支梁受均布载荷作用，其跨中挠度为载荷作用，其跨中挠度为d d。FF2Fq=l4433552125(

17、 )38438416qllFFlEIElbhEb hd316( )5EblFhd梁内最大正应力为梁内最大正应力为22maxmax224865zMqlbhEhlWd第42页/共61页材料力学材料力学43BACFqlFlhACB放在刚性平面上的长均质梁被力放在刚性平面上的长均质梁被力F吊起，吊起，已知梁单位长度重已知梁单位长度重q，抗弯刚度为的，抗弯刚度为的EI，求吊起的长度求吊起的长度l和吊起高度和吊起高度h。解：梁未被吊起左右解：梁未被吊起左右A、B端有端有110MEI所以：所以：MA= MB=0A、B两端弯矩为零，亦无位移，两端弯矩为零，亦无位移，可简化为如图所示简支梁。且简可简化为如图所示

18、简支梁。且简支梁端点转角为零。支梁端点转角为零。3202416ABqlFlEIEI23qlF344359483842048FlqlFhEIEIEIq第43页/共61页材料力学材料力学44lRABFEI悬臂梁下是半径为悬臂梁下是半径为R的刚性圆柱面，的刚性圆柱面，求在力求在力F作用下端点作用下端点B的挠度。的挠度。C w1w2w3解：梁内任意解：梁内任意x截面的曲率有截面的曲率有x1( )FxxEI若若 l R，即，即EIFRl端点B的挠度为33BFlwEI若若 l R，即，即EIFRl梁上一段梁上一段AC与刚性圆柱面接触，且与刚性圆柱面接触，且 C=R。不与圆柱接触。不与圆柱接触段段CB在力在

19、力F作用下弯曲。作用下弯曲。B端挠度由三部分组成。端挠度由三部分组成。l00011CFlEIlREIFR第44页/共61页材料力学材料力学45lRABFEIC w1w2w3xl022210()()RwllR220123()()22llFRlEIwRF R02023()llFRlEI EIwlRF R320323()33FlEIwEIF R2212311() 23BEIwwwwlRFR第45页/共61页材料力学材料力学46ABCDlll拉杆拉杆刚架刚架F刚架的抗弯刚度为刚架的抗弯刚度为EI，拉杆的抗拉刚度为，拉杆的抗拉刚度为EA，求求C点的位移。点的位移。ABCFFDBCD DlllD Dlw1

20、 解：解：C点的位移由三部分组成。点的位移由三部分组成。Fw2BClCABCFllFCw3 B B1CxFlwlEAFlwlEA D 323FlwEI33()33BFl lFlwllEIEI 312323CxCyFlwEAFlFlwwwwEAEI第46页/共61页材料力学材料力学47其中：称为许用转角；w/l称为许用挠跨比。 通常依此条件进行如下三种刚度计算：(对于土建工程，强度常处于主要地位，刚度常处于从属地位。特殊构件例外）一、梁的刚度条件max wwllmax 5.5 5.5 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高刚度的措施提高刚度的措施、设计截面尺寸、确定许用载荷、校核刚度max wwllma

21、x 第47页/共61页材料力学材料力学48F2CBDA=+CF1=1kNABDF2=2kNBCDA+=F2BCaF2BDAMCF2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB空心圆截面梁的内外径分别为：d=40mm、D=80mm，梁的E=210GPa，工程规定C点的 w/l =1/1000，B点的 =0.001弧度，试校核此梁的刚度第48页/共61页材料力学材料力学49211116CBFl awaEI21116BFlEI2333BF alMlEIEI 22333CBF a lwaEI 20B3223CF awEI F2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB

22、+图图2 2=+F2BCa图图1 1CF1=1kNABD图图3 3F2BDAMC解：查表求简单载荷变形。第49页/共61页材料力学材料力学501232321221633CCCCwwwwFl aF aF a lEIEIEI123212163BBBBF lF alEIEI叠加求复杂载荷下的变形44441284()643.14 (8040 ) 1064 188 10 mIDd F2=2kNCl=0.4mAa=0.1m0.2mDF1=1kNB+图图2 2=+F2BCa图图1 1CF1=1kNABD图图3 3F2BDAMC第50页/共61页材料力学材料力学5123261225.19 10 m1633CF

23、l aF aF a lwEIEIEI 24120.4400200()0.423 10163210 1880163BFlF laEIEI 4max0.423 100.001m axwwll校核刚度6m ax545.1910m1.3101100.4 mwl第51页/共61页材料力学材料力学52 由型钢表中查得，由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3 ，惯，惯性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。要求。2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应

24、力强度条件，要求 3463maxm1019. 2101601035MWz3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：由此得由此得500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIz一简支梁受载如图示，已知许用应力一简支梁受载如图示，已知许用应力 160MPa，许用挠度，许用挠度w=l /500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。F=35kN2mAB2ml=4m 解：解： 1、作出梁的弯矩图、作出梁的弯矩图mN10354410354：得33maxFlMM4/Fl第52页/共61页材料力学材料力学53强度：正应力：切应力： max zMW *S zzF SbI( )zM xwEI 刚度：稳定性：都与内力和截面性质有关。二、提高梁抗弯刚度的措施第53页/共61页材料力学材料力学541、选择合理的截面形状 北宋李诫于1100年著营造法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b)为1.5 英(T.Young)于1807年著自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhR矩形木梁的合理高宽比bh第5