等比数列前n项和说课课件

1、人民教育出版社高中数学第一册（上）第三章l教材分析教材分析l教法选取教法选取l学法指导学法指导l程序设计程序设计l教学反思教学反思1.教材背景分析教材背景分析数列数列数列极限数列极限数学归纳法数学归纳法微积分、级数微积分、级数函数函数不等式不等式交汇等比数列的前等比数列的前n项和项和等差数列等差数列等比数列等比数列通项通项递推递推基本概念基本概念 基本数学思基本数学思想、方法载体想、方法载体 一般数列问题及实际应用题一般数列问题及实际应用题求和求和 重要知识点交汇考查重要知识点交汇考查2.教学目标教学目标知识目标：知识目标：使学生掌握等比数列前n项和公式及归纳、猜想、证明法，理解错位相消法，并

2、能灵活运用公式能力目标：能力目标：通过公式的推导过程，培养学生类比、归纳、猜想 、分析、综合等方面的能力，善于运用特殊与一般、分类与整合、方程的数学思想思考和解题，提升学生的逻辑思维能力情感目标：情感目标：通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成功与快乐，感悟数学美通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养学生思维的严谨性通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、灵活性3.重点和难点重点和难点重点：重点：等比数列前等比数列前n项和公式、推导及应用项和公式、推导及应用难点：难点：等比数列前等比数列前n项和公式推导思路的获得项和公式推导思路的获得突破关键突破关键启发引导探究发现法

3、启发引导探究发现法： 展示数学游戏展示数学游戏提出问题提出问题启发引导启发引导发现公式发现公式类比猜想类比猜想激激 励励分析寻找分析寻找证明猜想证明猜想发现错位相消法发现错位相消法深深 化化反反 思思示范示范演练演练实现目标实现目标 教 师学生(独立思考、合作交流)一一 . 开篇变开篇变“棋盘上麦粒历史典故棋盘上麦粒历史典故”成成“数学游戏问题数学游戏问题”原因：原因：更加有趣又贴近生活更加有趣又贴近生活 蕴涵两个等比数列，公比分别为与蕴涵两个等比数列，公比分别为与q 1 开门见山，体现分类讨论思想开门见山，体现分类讨论思想,直击学生易错点直击学生易错点与教材相比较与教材相比较： 二二 . 一

4、改直接采用错位相消这一传统做法，先归纳、猜想一改直接采用错位相消这一传统做法，先归纳、猜想 再证明进而发现错位相消法再证明进而发现错位相消法 原原 因因 : 注重了知识的再创造过程，有效克服了技巧性强，注重了知识的再创造过程，有效克服了技巧性强， 学生被动接受的困难学生被动接受的困难 使用数学一通法（归纳、猜想、证明），重视了数使用数学一通法（归纳、猜想、证明），重视了数 学思想方法的渗透学思想方法的渗透三三 . 引出错位相消法之后，进一步深化思维目标，和引出错位相消法之后，进一步深化思维目标，和式两式两 边同乘以边同乘以q q-1-1，q q2 2是否也可以起到化简的目的？择优选是否也可以起

5、到化简的目的？择优选 取取原原 因因 : 有利于理解错位相消法的本质有利于理解错位相消法的本质 有利于发展学生思维批判性、灵活性有利于发展学生思维批判性、灵活性 采用多媒体技术，体现直观性，激发采用多媒体技术，体现直观性，激发学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难学习兴趣、激活学生思维，在解决重、难点等方面起到辅助作用点等方面起到辅助作用新课标理念倡导新课标理念倡导“以人为本以人为本”，强调，强调“以学生发展为核以学生发展为核心心” ，指导学生学会，指导学生学会“探究式发现法探究式发现法”的学习方法，从的学习方法，从类比猜想中探索研究从而找到问题的思路和方法类比猜想中探索研究从而找到问题的思路和

6、方法“治学之道治学之道” 求知之法求知之法改变学生被动改变学生被动的学习状态的学习状态学生的思维波动过程学生的思维波动过程:激发激发 活跃活跃 高潮高潮 再掀高潮再掀高潮 缓和缓和 学生的学习环节学生的学习环节:类比猜想类比猜想 分析证明分析证明 反思发现反思发现 演练提高演练提高 使学生不断形成勤于思考使学生不断形成勤于思考,实践实践“探究式发探究式发现法现法”这一学习数学的重要方法这一学习数学的重要方法 第一环节第一环节:创设创设情境情境 引出引出问题问题第二环节第二环节:启发启发引导引导 探索探索发现发现第三环节第三环节:发散发散思维思维 深化深化目标目标第四环节第四环节:课堂课堂演练演

7、练 巩固巩固提高提高教教 学学 过过 程程第一层：分析问题第一层：分析问题第二层：展示发现过程第二层：展示发现过程第三层：展示证明过程第三层：展示证明过程第一方面：反思证明过程第一方面：反思证明过程第二方面：集思广益第二方面：集思广益第三方面：公式的灵活应用第三方面：公式的灵活应用第五环节第五环节:总结总结反馈反馈 布置作业布置作业回回 顾顾: :1. 什么是等比数列？什么是等比数列？2. 公比对等比数列有何影响？公比对等比数列有何影响？3. 项与项之间的关系如何？项与项之间的关系如何？第一环节第一环节 创设情境、提出问题（创设情境、提出问题（1）目目 的：建立联系的：建立联系 扫清障碍扫清障

8、碍 突破难点突破难点 为发现错位相消法埋下伏笔为发现错位相消法埋下伏笔第一环节第一环节 创设情境、提出问题（创设情境、提出问题（2） 甲、乙二人约定在一个月（按甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？谁亏？ 数学游戏问题：数学游戏问题：第一环节第一环节 创设情境、提出问题（创设情境、提出问题（3）应用问题数学化，具体问题一般化应用问题数学化，具体问题一般化分析：数学建模 an：100

9、 ，100 ，100100 q=1 bn： 1 ， 2 ， 22 229 q=2 s30 = 100+100+100 与与 t30 = 1+2+ 22 + +229 比较大小比较大小 ，求和问题如何化简？，求和问题如何化简？an ： q=1，等比数列求和问题化归成等差数列求和问题，等比数列求和问题化归成等差数列求和问题bn ： q=2，学生陷入沉思中，学生陷入沉思中明确问题明确问题等比数列等比数列an第一环节第一环节 创设情景、提出问题（创设情景、提出问题（4）当当 q=1时时 ，sn= a1+a2+a3+an-1+an= na1 当当 q1时，时，sn= a1+a2+a3+an-1+an =

10、？如何化简如何化简二者能否合并二者能否合并?第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（1）第一层第一层: :分析问题分析问题 启发启发:等比数列等比数列an的前的前n项和项和sn也可以构成一也可以构成一 个新的数列个新的数列sn。自然的化简。自然的化简sn的问题就成了求新的问题就成了求新 数列数列sn的通项问题。的通项问题。 引导引导:归纳、猜想、证明是学生学习数列获得归纳、猜想、证明是学生学习数列获得的一种重要方法，是解决数列问题的通法。能否的一种重要方法，是解决数列问题的通法。能否利用此法解决问题呢？利用此法解决问题呢？ 顿时打破沉思状态顿时打破沉思状态第二环节：启发引导第

11、二环节：启发引导 探索发现（探索发现（2）第二层次第二层次 展示探索公式发现的过程：展示探索公式发现的过程：1. 引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发，即通过引导学生从等比数列通项公式的推导方法出发，即通过观察观察a1、a2、a3、a4的特点归纳的特点归纳an 的一般形式，联想求和公式的一般形式，联想求和公式的思考方法。的思考方法。 投影演示等比数列通项公式的推导过程投影演示等比数列通项公式的推导过程 a1 = a1 a2= a1q a3 = a2q =a1q2 a4= a3q =a1q3 an=an-1q =a1qn-1第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（3）2.

12、设等比数列的前设等比数列的前n项和为项和为sn，请学生写出，请学生写出s1、s2、s3、s4的表达的表达式式即即s1= a1 s2= a1 + a2 = a1+ a1q = a1（ 1+q） s3= a1 +a2 +a3 = a1+ a1q + a1q 2= a1（ 1+q+ q2） s4= a1+ a2 +a3 +a4 = a1+ a1q + a1q 2+ a1q 3= a1（ 1+q+ q2+ q3 ）第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（4）3. 我们发现我们发现q 1时时,随着随着n的增大的增大sn的形式愈加复杂，的形式愈加复杂，能否用简洁的形式来表示能否用简洁的形

13、式来表示sn呢？呢？ 引导学生观察引导学生观察s3，发现，发现s3中有一项中有一项1+q+q2，我们在哪个公式见过这一项呢？我们在哪个公式见过这一项呢？ 人教版高一数学第一章复习参考题a组12题充要条件问题，第二章单调性习题5复习参考题a组9题研究函数y=ax3的单 调性问题，我们都补充了a3-b3公式 第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（5）12313a (1+q+ q )(1-q)a (1-q )=1-q1-qs 引导学生在引导学生在s3= a1（ 1+q+ q2）的分子分母同乘以）的分子分母同乘以1-q (q 1)会得到什么结论？会得到什么结论？ s1 、s2 、s

14、4是否有同样的变形？是否有同样的变形？4. 让学生尝试变形让学生尝试变形：第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（6）11a (1-q)1-qs1212a (1+q)(1-q)a (1-q )=1-q1-qs123414a (1+q+ q +q )(1-q)a (1-q )=1-q1-qsn1a (1-q ).(1)1-qnsq第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（7）第三层次第三层次 展示公式的证明过程：展示公式的证明过程：分析：欲证分析：欲证 成立成立 n1a (1-q ).(1)1-qnsq只需证只需证snqsn=a1（1qn） (q 1) 由由 s

15、n=a1+ a1q+ a1q2+ a1q3+a1qn-2+ a1qn-1 qsn= a1q+ a1q2+ a1q3+a1qn-2+ a1qn-1 + a1qn 得：得： sn （1q）= a1a1qn第二环节：启发引导第二环节：启发引导 探索发现（探索发现（8）故故: 等比数列等比数列an前前n项和项和 11)1 (1 11qqqaqnasnn二者不能兼容二者不能兼容 体现分类讨论的必要性体现分类讨论的必要性2301 (分分)10737418. 23 (元元)远大于远大于3000元元数学游戏问题答案：数学游戏问题答案：第一方面第一方面 :探求公式其它推导方法探求公式其它推导方法 由前面证明过程

16、的分析snqsn这一思路正是用等比数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法. 那么 与 是否可以起到同样的化简效果？体现思维的批判性，择优选取，揭示化 简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要作用。 第三环节：发散思维第三环节：发散思维 深化目标（深化目标（1）nnnnsqssqs2 1第三环节：发散思维第三环节：发散思维 深化目标（深化目标（2） sn= a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1 (1) qsn= a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn (2) =a1q-1+ a1+a1q+a1q2+a1q3+a1qn-2 (3

17、) q2sn= a1q2+a1q3+a1qn-2+a1qn-1+a1qn+a1qn+1 (4)(1)(2) (1) (3) (1) (4)效果如何效果如何 有何启发有何启发1nsq第三环节：发散思维第三环节：发散思维 深化目标（深化目标（3）第二方面第二方面:公式的灵活应用公式的灵活应用:1、注意、注意q=1与与q1q1两种情形两种情形2、q1q1时，时，3、五个量、五个量n、a1、q、an、sn中，解决中，解决“知三求二知三求二”问题问题。 qqaaqqasnnn11)1 (11第四环节：课堂演练第四环节：课堂演练 巩固提高（巩固提高（1）例一：例一：“棋盘上的麦粒棋盘上的麦粒”（以以2为底

18、的幂为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共相间共64格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调格，传说在很久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人和奥妙之后，决定要重赏发明人他的宰相西萨班他的宰相西萨班达依达依尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第尔，让他随意选择奖品，宰相要求的赏赐是：在棋盘的第一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，第三格四一格内赏他一粒麦子，第二格内赏他两粒麦子，

19、第三格四粒麦子粒麦子以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两以此类推每一格上的麦子数都是前一格的两倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答倍，国王一听，几粒麦子，加起来也不过一小袋，他就答应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？应了宰相的要求。实际国王能满足宰相的要求吗？解： a1=1， q =2， n=64 由： 得出n1a (1-q )1-qns6464641(1-2)211-2s第四环节：课堂演练第四环节：课堂演练 巩固提高（巩固提高（2） =18 446 744 073 709 551 615 （粒）人们估计，如果把这些麦粒依次排列,它的长度就相当于地球到太阳距离的2万倍万

20、倍。若按万粒400克克计算，可达7000亿吨亿吨。而我国现年产量在1亿吨亿吨左右.第四环节：课堂演练第四环节：课堂演练 巩固提高（巩固提高（3）练习练习:等比数列等比数列 an中中 a1= 8，an=0.5 , q=0.5 ,求求sn； a1= 2，s3= 26 , 求求a3 , q; a1=2 , s3=6 , 求求q.练习题设计练习题设计:由易到难由易到难,循序渐进循序渐进, 考察公式灵活应用考察公式灵活应用 针对易错点考察分类讨论思想的应用针对易错点考察分类讨论思想的应用第五环节：课堂小结第五环节：课堂小结 布置作业布置作业一一 .师生小结：师生小结：由学生从知识、思想方法、解决问题的办

21、法由学生从知识、思想方法、解决问题的办法 等方面进行小结，老师适时补充，以推动学等方面进行小结，老师适时补充，以推动学 生建立完整的知识框架结构生建立完整的知识框架结构.二二 .布置作业：布置作业： a.研读课文、整理笔记、课后习题研读课文、整理笔记、课后习题3.5(1)(2)、用函数观点看待、用函数观点看待sn b.思考题思考题(投影给出投影给出) 思考一：思考一：“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”。问。问截截n 次后截去的总长是多少？次后截去的总长是多少？ 庄子庄子天下篇天下篇 （除用公式外，引导学生用间接法）（除用公式外，引导学生用间接法） 思考二：探索求和公式的其它推导方法，提示如：思考二：探索求和公式的其它推导方法，提示如：方程法、借助方程法、借助等比定理法等比定理法思考题（供学有余力的同学完成）思考题（供学有余力的同学完成）qaaaaaa