理论力学课件：12动能

1、 222121iriCvmMv动 能 的 计 算动 能 的 计 算1质点系的动能：质点系的动能：质点系的动能等于质点系的动能等于随同质心作平动时的动能随同质心作平动时的动能再加上再加上相对相对于质心的动能于质心的动能。此定理。此定理称为称为“柯尼希定理柯尼希定理”。221iaivmT xyOmiCrrrarx1y1C221CMvT 221 zJT 2MdJJCP 2平动刚体的动能平动刚体的动能2221 21 CCJvMT 4平面运动刚体的动能：平面运动刚体的动能：C点为质心点为质心，P点为速度瞬心点为速度瞬心，（平行移轴定理）。，（平行移轴定理）。3定轴转动刚体的动能：定轴转动刚体的动能：22

2、1 PJ 1质点的动能定理：质点的动能定理：Wmvd )21(2动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径将上式沿路径 积分，可得积分，可得21MMWmvmv 21222121动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以两边点乘以dtvrd rdFdtvvmdtd FvmdtdFam )( MxozyFvrM1M2二、质点系的动能定理二、质点系的动能定理质点系中任一质点质量为质点系中任一质点质量为mi，速度为，速度为vi，受力：主动力受力：主动力Fi 、约束反力、约束反力Ni，n个质点，个质点，n个方程个方程：主动力的元功主动力的元功约束反力的元功约束反力的元功iNiFiiWWvmd

3、221 niiNniiFniiiWWvmd111221 对理想约束：对理想约束： WiN = 0dT = WF在在理想约束理想约束条件下，质点系条件下，质点系动能的增量动能的增量等等于于作用在质点系上的作用在质点系上的主动力的元功之和主动力的元功之和。质点系动能定理的质点系动能定理的微分形式微分形式 iNiFiiWWvmd 221T2T1 = WF在在理想约束理想约束条件下条件下，质点系在运动的某质点系在运动的某过程中过程中，其其动能的改变量动能的改变量等于等于作用在质作用在质点系上的点系上的所有主动力所作功的代数和所有主动力所作功的代数和。质点系动能定理的质点系动能定理的积分形式积分形式对式

4、对式dT = WF积分，得积分，得将摩擦力、弹簧内力等非理想约束的约束反力划入主动力计算功问题问题1 1在非理想约束条件下，如何应用动能定理？在非理想约束条件下，如何应用动能定理？ 外外内内iiiiiWWWvmd )21(2 外外iiiWvmd ?2)21( )()()()( eiiiiiiiFFKdtdvmdtdvmdtd问题问题2 2对质点系对质点系 ieiFFdtKd)(例例1 图示系统中图示系统中,均质圆盘均质圆盘A、B各重各重P，半径均为，半径均为R, 两盘中心两盘中心线为水平线线为水平线, 盘盘A上作用矩为上作用矩为M(常量常量)的一力偶；重物的一力偶；重物D重重Q。问。问下落距离

5、下落距离h时重物的速度与加速度。时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，绳重不计，绳不可伸长，盘盘B作纯滚动，初始时系统静止作纯滚动，初始时系统静止)解：取系统为研究对象解：取系统为研究对象)/( )(RhQhMWF 其其中中01 T222221 2121BCAOJvgQJT )78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA )(12FWTT由由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162 上式求导得：上式求导得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQ 其其中中PQgQRMa78)/(8 动能定理12求地面对求地面对C轮

6、的约束反力轮的约束反力PQhgQRMv78)/(4 PQgQRMa78)/(8 PTNFaCa aRTJC2 a aFTaMCC NP 02/aaC Ra2 a a动能定理13PQhgQRMv78)/(4 PQgQRMa78)/(8 aaCa aCF FCnFCCFaaaa FCCFxaaa RaaCa a RaCa a 2/aaC BC a a AFNBFNAmgacxacy研究刚体平面运动的动力学问题，要注意！建立研究刚体平面运动的动力学问题，要注意！建立 “补充方程补充方程”cyNBmaFmg cxNAmaF a asin2cos2LFLFJNANBC cos2LxC sin2LyC y

7、 sin2LvCx a acos2sin22LLaCx cos2LvCy cos2LxC sin2LyC BC a a AFNBFNAmgacxacyy sin2LvCx cos2LvCy 22232121 mLJTP P2/ )sin(sin)(32121002220 mgLyymgWmLJTTPLg/ )sin(sin302 )2/()(cos3Lg a a 动能定理的应用练习题动能定理的应用练习题1图示的均质杆图示的均质杆OA的质量为的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置，为使杆能由铅直

8、位置OA转转到水平位置到水平位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究解：研究OA杆杆)(212 . 12221)( kPWF)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022 )J(4 .388 2020218 .284 . 2303121 T02 T )(12FWTTrad/s67. 3 4 .3888 .280020 O Ar2r1M 2：置于：置于水平面内水平面内的行星轮机构中，行星轮的行星轮机构中，行星轮在系杆在系杆OA的带动下绕定齿轮的带动下绕定齿轮转动。已知系杆转动。已知系杆(视为均质细视为均质细杆杆)的质量为的质量

9、为m，受，受主动力矩主动力矩M作用；作用；行星轮行星轮(视为均视为均质轮质轮)质量为质量为m1，半径为，半径为r1，求系杆由静止转过，求系杆由静止转过 角后角后的角速度、角加速度。的角速度、角加速度。O Ar2r1M 瞬心瞬心T = TOA + T轮轮解解:取整个系统作为研究对象取整个系统作为研究对象系统的初动能：系统的初动能：T0= 0vA已知杆的已知杆的 m，M ；行星轮的；行星轮的 m1，r1，求求 角后杆的角后杆的、。杆转过杆转过 角后角后,系统的动能系统的动能： vAvAAP 2 211)(1292rrmmT 根据质点系动能定理的积分形式，有根据质点系动能定理的积分形式，有W12=

10、M TT0 = W10O Ar2r1M vAA 由于系统在水平面内，重力不作功，理由于系统在水平面内，重力不作功，理想约束反力不作功，所以只有想约束反力不作功，所以只有M作功：作功： Mrrmm 0)(129222112211)(92(6rrmmMdtd a a2211)(92(12rrmmM 3两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当释放，求当OA杆转到铅垂位置时，杆转到铅垂位置时，AB杆杆B 端的速度。端的速度。01 T222

11、2219 . 023121mvmT v 9 . 0 得得代入到代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652 vmgmv解：取整个系统为研究对象解：取整个系统为研究对象mgmgmgWF35. 1)15. 06 . 0(29 . 02)( vA vB vvvBA 4 位于位于水平面内水平面内的机构如图。已知曲柄的机构如图。已知曲柄OA=r，重，重P，受受常力矩常力矩M作用；连杆作用；连杆AB=l，重，重Q；滑块滑块B重重G。当。当AOOB时，时， A点的速度为点的速度为u。求曲柄。求曲柄OA转至与连杆转至与连杆AB成一直线时，成一直线时，A点的速度。点的速度。uOB

12、AvAOABvAvAMM解：以系统为研究对象，解：以系统为研究对象， 用动能定理。用动能定理。初始位置时，初始位置时，OBMAu= u/r= u= uAB杆作瞬时平动杆作瞬时平动!CvCvB系统的动能为：系统的动能为：BCAOvAM代入T2T1 = WF得当当OAB成直线时，系统的动能为：成直线时，系统的动能为：ABvC瞬心初 始初 始 动 能动 能5 图示系统中，磙子图示系统中，磙子C、滑轮、滑轮O均质，重量、半径均为均质，重量、半径均为Q、r。磙子沿倾角为磙子沿倾角为的斜面纯滚动，借不可伸长的绳子提升的斜面纯滚动，借不可伸长的绳子提升重重W的的物体，同时带动滑轮物体，同时带动滑轮O转动，求

13、磙子质心转动，求磙子质心C的加速度的加速度aC 。COa a解解法一法一 ： 用动能定理的微分形式。用动能定理的微分形式。任意瞬时任意瞬时,系统动能为：系统动能为：COa aWQ瞬心瞬心 vCvWCOD主动力在位移主动力在位移ds上的元功为上的元功为 WF =(Qsina aW)ds两边同除以两边同除以dt，且，且由质点系动能定理的微分形式由质点系动能定理的微分形式dT = WFgQWWQaC2sin a aCOa aWQ瞬心瞬心 vCvWCOD法二法二用动能定理的积分形式用动能定理的积分形式。设系统初始动能为设系统初始动能为 T0 (定值定值)；当轮心当轮心 C 经过距离经过距离 s 后后

14、，速度为，速度为vC，系统动能为系统动能为TT0 = WF两边求导，得两边求导，得同样可得同样可得动能定理29动能定理30a aPABGC283页页12-17动能定理31a aPABGC小结： 动能定理最适于求解动力学第二类基本问题：已动能定理最适于求解动力学第二类基本问题：已知主动力求运动，即求速度、加速度或建立运动知主动力求运动，即求速度、加速度或建立运动微分方程。微分方程。 求速度宜用动能定理的积分形式；求加速度或建求速度宜用动能定理的积分形式；求加速度或建立运动微分方程宜用其微分形式，或先用积分形立运动微分方程宜用其微分形式，或先用积分形式再求导。式再求导。 动能定理方程中不出现理想约

15、束的反力使解题过动能定理方程中不出现理想约束的反力使解题过程大为简便。程大为简便。12-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。2势力场势力场： 在力场中在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为质点的始末位

16、置，与运动路径无关，这种力场称为势力场势力场。3. 有势力有势力: 质点在势力场中受到的场力称为质点在势力场中受到的场力称为有势力有势力(保守力保守力),如重力、弹力等。如重力、弹力等。二势能二势能在在势力场势力场中中, 质点从位置质点从位置M 运运动到任选位置动到任选位置M0, 有势力有势力所作所作的功的功称为质点在位置称为质点在位置M 相对于相对于位置位置M0的的势能势能，用，用V 表示。表示。 00MMzyxMMdzFdyFdxFrdFVM0作为基准位置，称为零势能点。势能具有相对性。作为基准位置，称为零势能点。势能具有相对性。MMxozyxozyF Fv vr rM0M0MM等势面等势

17、面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。：质点位于该面上任何地方，势能都相等。三：几种常见的有势力的势能三：几种常见的有势力的势能1.1.重力势能重力势能)(00zzmgmgdzVzz o2.2.弹性力势能弹性力势能 0-零势点处，弹簧的变形量。零势点处，弹簧的变形量。FMM0l00 若选弹簧自然位置为势能零点，即若选弹簧自然位置为势能零点，即 0=0，则，则221 kV )(21202 kV3. 万有引力场万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势点：取与引力中心相距无穷远处为零势点)(0 rrmGmV21 有势力有势力的的功功等于等于始末始末位置的位置的势能势能之之差差。三有势力的功三有势

18、力的功21201012VVWWW M1M2：MMxozyxozyF Fv vr rM0M0MMM2位置：位置：10101WrdFVMM 10101WrdFVMM 在在M1位置：位置：设质点系所受的主动力均为有势力，则设质点系所受的主动力均为有势力，则211212VVWTT 机械能守恒定律机械能守恒定律常常量量 2211 VTVT对非保守系统，设非保守力的功为对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有则有121122)()(WVTVT 四机械能守恒定律四机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和。机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统这样的系统成为保守系统。如：摩擦力的

19、功。如：摩擦力的功。例例1 长为长为l，质量为，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角角 和质心的位置表达）。和质心的位置表达）。分析：分析：1. 水平方向不受外力，水平方向不受外力，且初始静止，且初始静止，质心的水平坐标守恒。质心的水平坐标守恒。故质心故质心 C 铅垂下降。铅垂下降。2. 主动力为有势力，主动力为有势力，故故机械能守恒机械能守恒。C 解：解： sin2 sin2 cos12 lylyly 即即又又机械能守恒：机械能守恒：)2(21241202

20、22ylmgymmlmgl 将代入上式，得将代入上式，得 sin2ly ygy22sin31sin6mglVT 2, 011初瞬时：初瞬时：22222221241 2121ymmlymITC )2(2ylmgV 任一瞬时：任一瞬时：动能定理40PNygy22sin31sin6 y sin2 sin2 cos12 lylyly 即即又又PNyM 12-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标动量定理和动量矩定理是矢

21、量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接况的判断，相应守恒定理的应用。

22、避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。三个定理联合求解。 求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程提供正确的运动学补充方程 例例1 两根均质杆两根均质杆AC和和BC各重为各重为P，长为，长为l，在，在C处光滑铰接，置处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点点高度为高度为h，求铰，求铰C 刚刚到达地面时的速度。刚刚到达地面时的速度。2. 分析受力：分析受

23、力： 0)(exF分析：分析：1. 不求系统的内力，不求系统的内力，可不拆开。可不拆开。且初始静止，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。所以水平方向质心位置守恒。PNANBvCvA解：解：PhhPWF 22)(01 T22223123121CvgPlgPT 代入动能定理：代入动能定理：PhvgPC 0312P瞬瞬心心运动分析：运动分析： lvC ghvC3 例例2 均质圆盘均质圆盘A：m，r；滑块；滑块B：m；杆；杆AB：质量不：质量不计，平行于斜计，平行于斜面。斜面倾角面。斜面倾角 ，摩擦系数，摩擦系数f，圆，圆盘作盘作纯滚动纯滚动，系统，系统初始静止初始静止。求：。求：滑块的滑块的加速度

24、加速度。解：对系统，受力分析解：对系统，受力分析 )cossin2( cos sin 2)( fSmgmgSfSmgWF22222214521212121 0mvmrmvmvTT 运动学关系：运动学关系： rv 由动能定理：由动能定理：)cossin2(0452 fmgSmv 对对求导，得求导，得gfa)cos52sin54( vA例例3 重重150N的均质圆盘与重的均质圆盘与重60N、长、长24cm的均质杆的均质杆AB在在B处处用铰链连接。用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置位置B点时的速度及支座点时的速度及支座A的约束反力。

25、的约束反力。解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象 0)(FmB 0 BBJa a00 B，圆盘平动。，圆盘平动。0 Ba a（2）用动能定理求速度。）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：最低位置时：22222121BAvgGJT 221222163213121BBBvgGGvgGvgG )30sin)(2()30sin()30sin22(2121)( llGGllGllGWF )(12FWTT)30sin)(2(06321221 llGGvgGGB代入数据，得代入数据，得m/s 58. 1 Bv（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量

26、矩定理求杆的角加速度 。 )31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA 由于由于0)()(eAAFmdtdL所以所以 0 。杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22 CnCCalaa)0( 2 BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1 lvB （4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。研究整个系统。研究整个系统。; 021 ABcixiXagGagGam 代入数据，得代入数据，得N401 , 0 AAYX 2122212GGYlgGlgGamAiyi 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定

27、理+动量矩定理动量矩定理+质心运动定理。质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在在 一般位置进行分析一般位置进行分析。 mLmvPC61 )6(12122LmmLJLOO 291mL 22218121 mLJTO 223mRLO 2243 mRT mRP mvP 221mRLC 2224121 mRmvT 例例4 基本量计算基本量计算 (动量动量,动量矩动量矩,动能动能)例例 质量为质量为m 的杆置于两个半径为的杆置于两个半径为r ，质量为的实心圆柱，质量为的实心圆柱上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。上，圆柱放在水平面上，求当杆上加水平力时，杆的加速度。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。设接触处都有摩擦，而无相对滑动。2mP解解：杆的速度为杆的速度为v，则圆柱体质心速度为，则圆柱体质心速度为v/2，角速度，角速度rv 2/ 方法方法1：动能定理动