结构力学课件：01静定结构位移计算

1、Displacement of Statically Determinate Structures4-1 结构位移计算概述结构位移计算概述4-0 理力材力相关内容回顾理力材力相关内容回顾4-2 变变形体形体虚功原理虚功原理4-3 单位荷载法单位荷载法4-4 图乘法图乘法4-5 其它外因引起的位移计算（温度等）其它外因引起的位移计算（温度等）4-6 互等定理互等定理AAAAAxAyFPAxAy AAAFPAxAyt 功能原理：功能原理： 可变形固体在受外力作用而变形时，外力和可变形固体在受外力作用而变形时，外力和内力均将做功。对于弹性体，不考虑其它能内力均将做功。对于弹性体，不考虑其它能量的损失

2、，外力在相应位移上做的功，在数量的损失，外力在相应位移上做的功，在数值上就等于积蓄在物体内的应变能值上就等于积蓄在物体内的应变能VW PFFWP21 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩WV PFPFlllFP21EAlFFPP21EAlFEAlF222N2PlxxEAxFVd)(2)(2NPF轴轴(向内向内)力力FP，弹性弹性模量模量E，截面面积截面面积A，杆长杆长l WV 纯弯曲：纯弯曲： 横力弯曲：横力弯曲：lxxIExMVd)(2)(2M21EIlMM21EIlMEIlM2222弯曲弯曲MMMM弯矩弯矩M，惯性矩，惯性矩I，弹性模量弹性模量E，杆长杆长l，转角，转角(纯纯弯梁弯梁) 22QQQ

3、0d1222lkF lkFxVFGAGAMl剪切剪切 （相对错动）（相对错动）剪力剪力FQ，截面面积，截面面积A，剪切模量剪切模量G，杆长，杆长l，截面形状系数截面形状系数k。 WV ppIGlTIGlTT2212lpxxIGxTVd)(2)(2扭转扭转扭矩扭矩T，剪切模量剪切模量G，极惯性矩极惯性矩IP，杆长杆长l， PFP21FWlxEIxMVd2)(2xFxMP)(lEIlFxEIxMV6d2)(32P2，得由WV EIlF33P例：例：2? 变形能对任一载荷变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于的偏导数，等于Fi作用点作用点沿沿Fi方向的位移方向的位移卡氏第二定理卡氏第二定理iiFV推导

4、过程使用了互等定理，所以只适用推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构 PFlEIlFxEIxMV6d2)(32P2EIlFFV33PP推导过程使用了互等定理，所以只适用推导过程使用了互等定理，所以只适用线弹性结构线弹性结构2? llplNNxEIxMxMxGIxTxTxEAxFxFd)()(d)()(d)()(000结结构构产产生生的的内内力力时时，移移的的方方向向加加广广义义单单位位力力位位移移点点，沿沿所所求求广广义义位位义义去去掉掉原原载载荷荷，在在所所求求广广结结构构在在原原载载荷荷下下的的内内力力-xMxTxF-xMxTxFNN)()()()()()(000、推导过程

5、使用了两种力施加不同顺序得出结果相同，推导过程使用了两种力施加不同顺序得出结果相同，所以只适用所以只适用线弹性结构线弹性结构 PFxFxMP)(1xxM)(0EIlFEIdxxFl33P02P 0iiFr 刚体虚位移原理刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意虚位移时所做的总虚功恒或刚体系的外力在任意虚位移时所做的总虚功恒等于零，也即有如下虚功方程成立等于零，也即有如下虚功方程成立 虚功虚功=外力在外力在非非自身所产生的变形上所做自身所产生的变形上所做的功，因此它是常

6、力所做的功，所以没有的功，因此它是常力所做的功，所以没有这一系数。这一系数。 02BPlYlFFPAXBYAYl/2l/20PYFYBA0XA FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小FP4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 不光滑不光滑不连续不连续不满足约束不满足约束4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状

7、态：协调方程满足协调条件：光滑、满足约束、微小满足协调条件：光滑、满足约束、微小FP物理方程物理方程4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 FPFP/2FP/2对一变形体对一变形体力状态：平衡方程力状态：平衡方程满足平衡条件满足平衡条件位移状态：协调方程位移状态：协调方程满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小满足协调条件：光滑、连续、满足约束、微小力的状态和位移状态无关力的状态和位移状态无关虚虚虚虚4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 关键点：关键点：u力状态和位移状态都是对力状态和位移状态都是对同一个同一个结构而言结构而言u虚力状态：满足虚力状态：满足平衡条件平衡条件u虚位移状态：满足虚位移

8、状态：满足协调条件协调条件u虚力状态和虚位移状态之间不强调因果：虚力状态和虚位移状态之间不强调因果：“虚虚”指的是力状态和位移状态间指的是力状态和位移状态间可以无关可以无关，不是指，不是指“假设假设”、“虚假虚假”4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 力在力在自身自身所产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功P1F1P121FW 力在力在非自身非自身所产生的位移上所作的功所产生的位移上所作的功2P1FW 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 1P1F1P2F2刚体虚位移原理刚体虚位移原理 对于具有理想约束的刚体或刚体系，其对于具有理想约束的刚体或刚体系，其平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚

9、体平衡的充分必要条件是，作用于刚体或刚体系的外力在任意刚体虚位移时所做的总虚功系的外力在任意刚体虚位移时所做的总虚功恒等于零恒等于零4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 力状态平衡力状态平衡位移状态协位移状态协调调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 力状态平衡力状态平衡位移状态协位移状态协调调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 整体是平衡的整体是平衡的局部是平衡的局部是平衡的外力外力分割面内力分割面内力变形体上的力状态变形体上的力状态4.2 变形体虚功原理变形体虚功原

10、理 力状态平衡力状态平衡位移状态协位移状态协调调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形体上的位移状态变形体上的位移状态位移是协调的位移是协调的初始位形初始位形变形位移变形位移刚体位移刚体位移4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 力状态平衡力状态平衡位移状态协位移状态协调调前前 提提虚功原理宣告了一个数学等式虚功原理宣告了一个数学等式4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 原理的表述：原理的表述： 任何一个处于平衡状态的变形体，当任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外

11、力发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功在虚位移时所作的总虚功We，恒等于变，恒等于变形体所接受的总虚变形功形体所接受的总虚变形功Wi。也即恒有。也即恒有如下虚功方程成立如下虚功方程成立We = =Wiu 外力虚功外力虚功=外力外力虚位移虚位移 =外力外力（刚体虚位移（刚体虚位移+变形虚位移）变形虚位移）u 虚变形功虚变形功=力力变形虚位移变形虚位移 =（外力（外力+分割面内力）分割面内力）变形虚位移变形虚位移变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之

12、和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= (外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移= 力力 (刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)两种算法两种算法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= (外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移= (外力外力虚位移虚位移)+(分割面内力分割面内力虚位移虚位移)等于零等于零为什么？为什么？第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形

13、体虚功原理 (分割面内力虚位移)=0，为什么？u 相邻分割体间内力是作用力与反作用力相邻分割体间内力是作用力与反作用力的关系，大小相等方向相反的关系，大小相等方向相反u 虚位移是协调的，相邻分割体的分割面虚位移是协调的，相邻分割体的分割面的虚位移相等的虚位移相等虚位移相等虚位移相等大小相等，方向相反大小相等，方向相反第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= (外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移= (外力外力虚位移

14、虚位移)+(分割面内力分割面内力虚位移虚位移)= (外力外力虚位移虚位移)= We等于零等于零外力总虚功外力总虚功第一种算法第一种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= (外力外力+分割面内力分割面内力)虚位移虚位移= 力力 (刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移)两种算法两种算法第一种第一种第二种第二种4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和证明：

15、计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= 力力 (刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移) = (力力 刚体虚位移刚体虚位移)+ (力力变形虚位移变形虚位移)等于零等于零第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力 (力 刚体虚位移)=0，为什么？u 各分割体上的力系是平衡的各分割体上的力系是平衡的u 刚体虚位移原理：力系平衡刚体虚位移原理：力系平衡刚体虚功刚体虚功=0第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 变形位移变形位移刚体位移刚体位移分割面内力外力证明：计算各分割体上所有力所做虚功

16、之和证明：计算各分割体上所有力所做虚功之和W：W=（力（力虚位移）虚位移）= 力力 (刚体虚位移刚体虚位移+变形虚位移变形虚位移) = (力力 刚体虚位移刚体虚位移)+ (力力变形虚位移变形虚位移)= (力力变形虚位移变形虚位移)= Wi等于零等于零总虚变形功总虚变形功第二种算法第二种算法4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 We = W =Wi 说明说明u 虚功原理涉及的两个状态：虚力状态需要满足虚功原理涉及的两个状态：虚力状态需要满足平平衡方程衡方程，虚位移满足，虚位移满足协调条件协调条件u 原理的证明过程没有涉及材料、形状等其他信息，原理的证明过程没有涉及材料、形状等其他信息，因此适用于

17、因此适用于任何结构任何结构u Wi= (力力变形虚变形虚) = (外力外力变形虚变形虚+内力内力变变形虚形虚) 当隔离体是当隔离体是微元体微元体时，外力时，外力变形虚位变形虚位移是移是高阶小量高阶小量，此时，此时Wi =(内力内力变形虚位移变形虚位移)。一些书籍将一些书籍将Wi称为内力功，容易引起误解称为内力功，容易引起误解外力总虚功外力总虚功总虚变形功总虚变形功4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 qpFPxWe = W =WiWe 的计算的计算:当无集中荷载时：当无集中荷载时： 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 q(s)ijp(s)m(s)*jM*QjF取任一单元取任一单元*NjF*Q

18、iF*iM*NiFu(s)v(s)(s)We =pu+qv+mdsjii,jsmvqupWdeqpFPxWe = W =WiWe 的计算的计算:当无集中荷载时当无集中荷载时, We =pu+qv+mds 当有集中荷载时当有集中荷载时We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i集中荷载集中荷载集中荷载处对应位移集中荷载处对应位移 4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 qpWe = W =WiWi 的计算的计算:微段拉伸微段拉伸微段剪切微段剪切微段弯曲微段弯曲取微段取微段,其受力如下其受力如下变形可看成有如下几部分变形可看成有如下几部分微段受力微段受力微段扭转微段扭转4.2 变形体虚

19、功原理变形体虚功原理 qpWe = W =WiWi 的计算的计算:以水平方向外力以水平方向外力功为例加以说明功为例加以说明微段受力微段受力微段拉伸微段拉伸dWi=-FN*0+(FN+dFN)(ds) +pds(0.5 ds) =0.5p ds2+ dFNds +FN ds = FN ds4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 qpWe = W =WiWi 的计算的计算:Wi =FN+FQ+Mx+Mds 对于直杆体系，由于变形互不耦联，所以对于直杆体系，由于变形互不耦联，所以We =pu+qv+mds + FPxu+FPyv+M i适用范围：适用范围：1、严格的说仅适用于直杆系、严格的说仅适用于直

20、杆系2、线性和非线性都适用、线性和非线性都适用3、小曲率曲杆近似适用、小曲率曲杆近似适用4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 We = W =Wi 1）单位位移法单位位移法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的协协调位移状态调位移状态与与实际的实际的平衡力状态平衡力状态之间。之间。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端约束并代以反力端约束并代以反力 X，则即为，则即为体系实际的虚力状态如图体系实际的虚力状态如图(b)待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 0P

21、CXFX 0XPXbXFaPabX待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态X(b)FP由外力虚功总和为零，即：由外力虚功总和为零，即：X C (c)直线直线虚设协调的位移状态虚设协调的位移状态构造相应的虚位移状态构造相应的虚位移状态.(1)对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是对静定结构，这里实际用的是刚体虚位移原理，实质上是实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程(2)虚位移与实际力状态无关虚位移与实际力状态无关,故可设故可设(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。(4)用几何法来解静力平衡问题用几何法来解静力平衡问题0 BM1

22、xcXba We = W =Wi例例. 求求 A 端支座发生竖向位移端支座发生竖向位移 c 时引起时引起C点的竖向点的竖向位移位移 .(a)ABaCbAC c 2）单位荷载法单位荷载法：虚功原理用于：虚功原理用于虚设的虚设的平平衡力状态衡力状态与与实际的实际的协调位移状态协调位移状态之间。之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。解：首先构造出相应的虚设力状态。1ABC(b)AF4.2 变形体虚功原理变形体虚功原理 在拟求位移之点（在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向点）沿拟求位移方向（竖向）设置（竖向）设置单位荷载单位荷载。由由 求得：求得： 0BMabFA虚功方程为：虚功方程为：01cFA c

23、ab 这便是这便是单位荷载法单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故提出，故也称为也称为Maxwell-Mohr Method(a)ABaCbAC c1ABC(b)AF(1)所建立的所建立的虚功方程虚功方程,实质上是实质上是几何方程几何方程。(2)虚设的力状态与实虚设的力状态与实际位移状态无关，故际位移状态无关，故可设单位广义力可设单位广义力 P=1(3)求解时关键一步是求解时关键一步是找出虚力状态的静力找出虚力状态的静力平衡关系。平衡关系。(4)是用静力平衡法来是用静力平衡法来解几何问题。解几何问题。单位

24、位移法单位位移法的虚功方程的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法单位荷载法的虚功方程的虚功方程 几何方程几何方程 第一种应用一些文献称为第一种应用一些文献称为“虚位移原理虚位移原理”，而将第二种应用称为而将第二种应用称为“虚力原理虚力原理”。更确切的。更确切的说法为，说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要两种应用的依据是上述两原理的必要性命题性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的它们和虚功原理是有区别的。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 任意协调位移任意协调位移,虚功方程成立虚功

25、方程成立. 虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 任意平衡力系任意平衡力系,虚功方程成立虚功方程成立”。利用虚功原理计利用虚功原理计算结构位移算结构位移实际位移状态实际位移状态FP?BxABC虚设的力状态虚设的力状态ABC1单位荷载法单位荷载法：虚功原理用：虚功原理用于于实际的实际的协调位移状态协调位移状态与与虚设的虚设的平衡力状态平衡力状态之间。之间。 利用虚功原理计利用虚功原理计算结构位移算结构位移虚设的力状态虚设的力状态1ABCWe = W =Wi对于直杆体系：对于直杆体系：We = =Ni+Qi+Mi ds =Wi实际位移状态实际位移状态

26、FP?ABC =Ni +Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1. 结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构；2. 材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3. 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形变形、剪切变形4. 位移种类：位移种类：广义位移广义位移5. 位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等； 4. 位移种类：位移种类：广义位移广义位移xyAAFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称线位移，角位移，相对线位移、

27、角位移等统称广义位移广义位移线位移线位移 角位移角位移 DC 相对线位移相对线位移 CDDCFP 相对角位移相对角位移 4. 位移种类：位移种类：广义位移广义位移例例:巧妙：所加单位广义力与所求广义位移巧妙：所加单位广义力与所求广义位移相对应，相对应，该单位该单位广义力在所求广义位移上所做广义力在所求广义位移上所做虚功等于所求广义位移值虚功等于所求广义位移值2)求求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1P1P1P1)求求A点水平位移点水平位移AWeeWBAWeeW ABBAFP 1PBA?AB(b)A?A(a)P=1P=1P=1

28、试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。ABCd?BC(c)dP1dP1ABC2d1d(d)?ACAB11d11d21d21d试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。BCCBCBdPW)(1)(eAB?AB(e)P=1P=1C(f)C左右=？P=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。P=1?A(g)A?AB(h)ABP=1P=1试确定指定广义位移对应的单位广义力。试确定指定广义位移对应的单位广义力。 =Ni+Qi+Mi ds一般公式的普遍性表现在：一般公式的普遍性表现在：1. 结构类型：梁

29、、刚架、桁架、拱、组合结构；结构类型：梁、刚架、桁架、拱、组合结构； 静定和超静定结构；静定和超静定结构；2. 材料性质：线性、非线性；材料性质：线性、非线性；3. 变形类型：弯曲变形、拉变形类型：弯曲变形、拉(压压)变形、剪切变形变形、剪切变形4. 位移种类：位移种类：广义位移广义位移5. 位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等； =Ni +Qi+Mi ds5. 位移原因：荷载、位移原因：荷载、温度改变、支座移动温度改变、支座移动等；等；FP?ABCWe = kt =Nit +Qit+Mit ds =Wi荷载荷载+温度改变温度改变? =Ni +Qi+Mi

30、ds5. 位移原因：荷载、温度改变、位移原因：荷载、温度改变、支座移动支座移动等；等；We = kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3 =0 =Wi1c2c3cKKKC1K1R2R3RiikcCR荷载荷载+温度改变温度改变 +支座移动？支座移动？ =NiP +QiP+MiP ds仅仅荷载作用下：荷载作用下：对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：EANPPGAQk PPEIMPP式中：式中：E 弹性模量；弹性模量； G 剪切模量；剪切模量；A 横截面积；横截面积； I 截面惯性矩；截面惯性矩；k 截面形状系数。如：对矩形截截面形状系数。如：对矩形截面面k=6/5;圆

31、形截面圆形截面k=10/9。 =NiP +QiP+MiP ds仅仅荷载作用下：荷载作用下：对于由对于由线弹性线弹性直杆直杆组成的结构，有：组成的结构，有：dsEIMMGAQkQEANNiPiPiP 轴向轴向 剪切剪切 弯曲弯曲 dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例1 ：已知图示梁的：已知图示梁的E 、G,求求A点的竖向位移。点的竖向位移。lhbqA解：构造虚设单位力状态解：构造虚设单位力状态.1PxqPQPM1 PiQiMxl 列出两种状态各杆的内力方程列出两种状态各杆的内力方程0)(, 0)(xNxNPi)()(, 1)(xlqxQxQPi2/)()(,)(2xlqxMlxx

32、MPidsEIMMGAQkQEANNiPPPAyii dxEIxlqGAkxlql2)()(03)(8242EIqlGAqkl )(8242EIqlGAqklAy讨论：讨论：2MQ4GAlEIkEIqlM84 2GAqkl2Q56,12,3kbhIbhA设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：问题：问题： 的取值范围是什么？的取值范围是什么？GE)1(2 EG5.00 32GE2MQ52lhGE )(8242EIqlGAqklAy讨论：讨论：1001MQ2MQ52lhGE 对于细长杆对于细长杆,剪切变形对位移的贡献剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计与弯曲

33、变形相比可略去不计.取：取： ， ，101lh5 .2GE dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构造虚设状态（虚拟力状态）（虚拟力状态）分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如： dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。（实际位移状态）（实际位移状态）解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状

34、态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：qxxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。解：构造虚设状态解：构造虚设状态分别列出实际状态和虚拟状态分别列出实际状态和虚拟状态中各杆的内力方程（或画出内中各杆的内力方程（或画出内力图），如：力图），如：（虚拟力状态）（虚拟力状态）xxlMx1PFQ1PFN dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii 例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移。点的竖向位移。xxlMx1PFQ1PFN荷荷载载内内力力图图q

35、xxPFQqlqlPFNx221qxPM221ql单单位位内内力力图图 dsEIMMGAQkQEANNiPPPipii GAsFFkEAsFFEIsMMPPPAydddQQNN )54581(85224GAlkEIAlIEIql 将内力方程代入公式将内力方程代入公式讨论：讨论：2254)(,58)(,1)(GAlkEIAlIQAyNAyMAy 轴向轴向剪切剪切弯曲弯曲 引入符号引入符号 56,12,3kbhIbhA22)(252)(,)(152)(lhGElhQAyNAy 设杆件设杆件截面截面为为 b h 的矩形截面杆，有：的矩形截面杆，有：)54581 (85224GAlkEIAlIEIql

36、Ay取：取： ， ，有：，有：101lh5 .2GE5001)(,7501)(QAyNAy )54581 (85224GAlkEIAlIEIqlAy%13. 0)()(,%2 . 0)()(MAyNAyMAyQAy 因此因此,对受弯细长杆件对受弯细长杆件,通常略去通常略去FN, FQ的影响的影响。)500175011(854EIqlAy 即：即： GAsFFkEAsFFEIsMMPPPPdddQQNN 一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。 1. 对梁和刚架：对梁和刚架：EIsMMPPd 2. 对桁架：对桁架： EAlFFEAsFFPPPNNNNd

37、 3. 对组合结构：对组合结构： EAlFFEIsMMPPPNNd 解：解：例例3:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点水平位移点水平位移.Paak100PPP2NP11122NiEAlNNiPkx)()21 (2222) 1)() 1)(1EAPaaPaPaPEA 练习练习:求图示桁架求图示桁架(各杆各杆EA相同相同)k点竖向位移点竖向位移.aaPk1110200P2PNPNiEAlNNiPkx)()221 (2)2)(2(11EAPaaPaPEA 作业作业:4-34-4一、概述一、概述 EIsMMPiPd刚架与梁的位移计算公式为：刚架与梁的位移计算公式为：4.4 图乘法图乘法

38、在杆件数量多的在杆件数量多的情况下，不方便情况下，不方便. ?CyBAkN/m2m4kN6m2m3CEIxdxfxgiP)()(特点：单位力内力特点：单位力内力图为直线段或若干图为直线段或若干直线组成的折线段直线组成的折线段 EIxxkxfd)( dxxxfEIk)( EIsMMPiPd dxxxfEIk)(cxEIkEIyc图乘法求位移公式为图乘法求位移公式为: EIycip 图乘法是图乘法是Vereshagin于于1925年提出的，他当时年提出的，他当时为莫斯科铁路运输学院为莫斯科铁路运输学院的的学生学生。4.4 图乘法图乘法 EIycip 1. 图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1）

39、等截面直杆，）等截面直杆，EI为常数；为常数；（2）两个）两个M图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。cy3. 若若 与与 在杆件的同侧，在杆件的同侧， 取正值；取正值；反之，取负值。反之，取负值。cycy应用注意事项应用注意事项2. 当两个图形均为直线图形时当两个图形均为直线图形时,取那个图形取那个图形的面积均可的面积均可4.4 图乘法图乘法 例例1. 试求图示梁试求图示梁B端转角端转角.EIycBAB1MMPMi)(1612142112PPEIlFlFlEI EIycip 4.4 图乘法图乘法 ABPF2/ l2/ lEIB4/PlF1解：作荷载弯

40、矩图和单位解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图荷载弯矩图例例2. 试求图示结构试求图示结构B点竖向位移点竖向位移.EIycByMPMi)(34)3221(13PPPEIlFlllFlllFEI1 EIycip 4.4 图乘法图乘法 lPFEIBEIllFPl解：作荷载弯矩图和单位荷载解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图弯矩图几种常见图形的面积和形心位置的确定方法几种常见图形的面积和形心位置的确定方法二次抛物线二次抛物线4.4 图乘法图乘法 M图图21EIqlqllEIB3224121)8132(1（ ）PM图图281qlBAq1例例3:求图示梁求图示梁(EI=常数常数,跨长为跨长为l)B截面转角截面转

41、角B EIycip 4.4 图乘法图乘法 解：作荷载弯矩图和解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图单位荷载弯矩图 EIycip 例例 4. 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点两点距离的改变距离的改变 。CD 4.4 图乘法图乘法 EIycip 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD hyc24.4 图乘法图乘法 EIycip 2l2l例例 5. 设设 EI 为常数，求为常数，求 Cy 4.4 图乘法图乘法 EIycip 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图BAq281qlP

42、M图图CABFP=1M图图4l4212155() () 2()32884384CyllqlqlEIEI对吗？对吗？4.4 图乘法图乘法 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/23/1)(3500)3120102132401021(1EIEIB4020例例 6.4.4 图乘法图乘法 ABmkN 20ABmkN 40 EIycip B求求1ABmkN 20mkN 40m10EI4020MPMi3/22/1)(3500)21201032201021(1EIEIB)(3500)322020(110211EIEIB 当两个图形均当两个图形均为直线图形时为直线图形

43、时,取那取那个图形的面积均可个图形的面积均可.例例 6.4.4 图乘法图乘法 EIycip 1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2qlB求求例例 7.4.4 图乘法图乘法 EIycip 例例 8. 图示梁图示梁EI 为常数，求为常数，求C点竖向位移。点竖向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc不是简单图形，分解不是简单图形，分解?分解分解

44、14.4 图乘法图乘法 EIycip iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql分解分解24.4 图乘法图乘法 EIycip 32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2318221232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2ql2/2ql8/2qlq8/2ql2/2ql分解分解34.4 图乘法图乘法 Cy例例9

45、 求求C截面竖向位移截面竖向位移MPMi)(404819)16332323421163218)4/(432163323234321163218)4/3(4332(142222EIqllqllllqllqllllqlEIcy16/3l8/2ql4/3l4/ lABEIqC1P32/32qlq32/32ql4/3lq32/32qlq32/32ql4/ lq32/32ql8/) 4/3 (2lq8/) 4/(2lq4.4 图乘法图乘法 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. EIycip 12梯梯梯梯同同侧侧组组合合EIxdxfxgiP)()(EIxdxfxfxg)()()(

46、21EIyy2211)/32()/32(21dcydcy4.4 图乘法图乘法 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. EIycip 梯梯梯梯异异侧侧组组合合1 1y2 2yABCDabcdKM图图M图图b、 c 取负值取负值EIxdxfxgiP)()(EIyy2211)/32()/32(21dcydcy是竖标相加是竖标相加,不是不是图形的简单拼合图形的简单拼合.4.4 图乘法图乘法 例例10 求求B点水平位移。点水平位移。解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllE

47、I4PEIEI1注意注意:各杆刚度各杆刚度可能不同可能不同iMl EIycip 4.4 图乘法图乘法 如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. EIycip 阶阶梯梯形形截截面面杆杆EIxdxfxgiP)()(I1I2I3）（xEIxfxgiiid)()()yyy(333222111EIEIEI4.4 图乘法图乘法 AlPBlPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY 图示结构图示结构 EI 为常数，求为常数，求AB两点两点(1)相对竖向位相对竖向位移移,(2)相对水平位移相对水平位移,(3)相对转角相对转角 。iMMP练习练习11Pll

48、11lliM0EIycABX0EIycAB对称弯矩图对称弯矩图反对称弯矩图反对称弯矩图 对称结构的对称弯矩图与对称结构的对称弯矩图与其反对称弯矩图图乘其反对称弯矩图图乘,结果结果为零为零.1111iM EIycip 例例 11. 已知已知 EI 为常数，求铰为常数，求铰C两侧截面相对转角两侧截面相对转角 。CAlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqlqlEIEIycCD4/2ql4/2ql解：解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图4.4 图乘法图乘法 EIycip 例例 12. 已知已知 EI 为常数，求为常数，求A点竖向位移

49、点竖向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l4.4 图乘法图乘法 例例13. 已知已知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A点的竖向位点的竖向位移移 ，并绘出刚架的变形曲线。，并绘出刚架的变形曲线。Ay FP EIycip 4.4 图乘法图乘法 )(16423212213EIlFlFllEIlFllEIEIyPPPcAyM图图EI2EIPM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPF

50、Pl在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：MPM解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 EIycip 4.4 图乘法图乘法 绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。如：凹凸方向，注意反弯点的利用。如：PM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP4.4 图乘法图乘法 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 ,并画出变形图。并画出变形图。CD MPl11liM)(1211)832213221(14222EIqllqlllqlllqll

51、EIEIycCD解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图AlqBlCDqlq2qlql练习练习 已知已知 EI 为常数，求为常数，求B截面转角。截面转角。MP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB练习练习例例 14. 已知已知 CD、BD杆的杆的 和和AC杆的杆的 为常数，求为常数，求 。Dy 11AE22IEFPABCD11AE11AE22IEaaa2+11aFP+ FPP2FFP a解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图

52、)(34)221()322(12)2)(2(1223P11P2P2P2211PP2211NNIEaFAEaFaaFaaFIEAEaFaFIEyAElFFcPDy FPABCD11AE11AE22IEaaa2+11aFP+ FPP2FFP a例例 15. 已知：已知： E、I、A为常数，求为常数，求 。Cy ABCFP2l2laD4.4 图乘法图乘法 解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图4.4 图乘法图乘法 ABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2lEAaFEIlFaFEAllFlEIsEAFFsEIMMlaPPCy4482211

53、432)4221(2ddP3PPP00NN 若把二力杆换成弹簧若把二力杆换成弹簧,该如何计算该如何计算?4.4 图乘法图乘法 讨论讨论:如果如果B支座处为刚度支座处为刚度k的的弹簧，该如何计算？弹簧，该如何计算？4lMABCFP2lk2l显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为kF2P 。因此，弹簧对位移的贡献为。因此，弹簧对位移的贡献为 。kFkFFB42PP 由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为 kFFsEIMMkkPPd 4PlFPM2PPFFB 21 BFABC2lk2lFP=1若把弹簧看成一个弹性支座若把弹簧

54、看成一个弹性支座,该如何计算该如何计算?)(31123)32(21322113PPPPPEIlFlllFllllFlllFllFlEIEIycB解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图求求B点竖向位移点竖向位移,EI=常数。常数。FPAlBllA1Bl 2MPl练习练习MPlFPlFP2解：解：作荷载内力图和单位荷载内力图作荷载内力图和单位荷载内力图)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB求求C、D两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD 11iMll练习练习ABllEAEICDPFEIlPFMPlFPlFPP2

55、F2练习练习解：解：作荷载内力图和单位荷载内力图作荷载内力图和单位荷载内力图)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB求求A点竖向位移点竖向位移,EI=常数常数 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k图示一等截面圆弧曲杆图示一等截面圆弧曲杆AB,截面为矩形，圆弧的圆心截面为矩形，圆弧的圆心角为角为 ,半径为半径为R。设均布竖向荷载。设均布竖向荷载 q 沿水平线作用，沿水平线作用，试求试求B点的竖向位移点的竖向位移 By虚拟状态：虚拟状态：在在B点加单位竖向荷点加单位竖向荷载载取O点为坐标原点，任一点C极半径

56、为R，圆心角计算实际状态和单位荷载作用下的内力 22P)sin(2121RqqxM2NPsinsinqRqxFcossincosQPqRqxFsinRxMsinNFcosQF荷载内力式荷载内力式单位荷载内力式单位荷载内力式22P)sin(2121RqqxM2NPsinsinqRqxFcossincosQPqRqxFsinRxMsinNFcosQF荷载内力式荷载内力式单位荷载内力式单位荷载内力式0PdsEIMMM034dsin2EIqR34cos31cos322EIqR0NNPNdsEAFF32cos31cos32EAqR0QQPQdsGAFFk32cos131GAkqRQNyMBddRs GA

57、qREAqREIqRMB3323224QNy讨论讨论：设 )(10/1/90为截面高hRh6001612222NRhARIM400112222QGRkEhGARkEIM对于细长受弯构件对于细长受弯构件 梁梁/ /曲杆曲杆 ，弯曲变形对位移，弯曲变形对位移 的的影响是主要的。一般轴力和剪力所引起的位移可以影响是主要的。一般轴力和剪力所引起的位移可以忽略不计。忽略不计。 若 902 . 112/2/5/2khAIGE作业作业:4-1 (a)4-24-6? Bx ABCFPt 实际位移状态实际位移状态ABC1虚设力状态虚设力状态FR3FR2FR1We =FRi ci+ FN 、 FQ、M、=Wi=

58、FN+FQ+Mds位移计算的一般公式：位移计算的一般公式：= -FRi ci+FN+FQ+MdsRiiF c 支座位移公式支座位移公式PNPQPPdFFMs 荷载位移公式荷载位移公式tNtQttdFFMs温度位移公式温度位移公式tNtQttdFFMs温度位移公式温度位移公式微段的温度变形分析微段的温度变形分析图示结构，设外侧温度升高图示结构，设外侧温度升高 ，内侧温，内侧温度升高度升高 ，求，求K点的竖向位移点的竖向位移 。tKy)( 2t1t线线膨膨胀胀系系数数 tNtQttdFFMs温度位移公式温度位移公式微段的温度变形分析微段的温度变形分析微段轴向伸长：微段轴向伸长：hhstststut

59、1121)dd(ddstshhthtdd01221其中：其中：hththt12210若截面形心轴在截面中线：若截面形心轴在截面中线：2210ttttNtQttdFFMs温度位移公式温度位移公式微段的温度变形分析微段的温度变形分析微段截面两端的相对转角：微段截面两端的相对转角：hststtddd12hstshttdd12其中：其中：12ttt温度变化时，杆件不引起温度变化时，杆件不引起剪应变剪应变tNtQttdFFMs温度位移公式温度位移公式hststuttdddd0ttttMvFuFddd)(QNhstMstFdd0N等直杆情况下，等直杆情况下，h 为常量为常量若有若有 , t1, t2 沿杆

60、长不变沿杆长不变 sMhtsFtiitddN0MFithttN0温度引起的位移计算公式温度引起的位移计算公式: sMhtsFtitddN0上式中的正、负号：上式中的正、负号：t0 升高为正，降低为负升高为正，降低为负 Ni 拉为正，压为负拉为正，压为负 M 温度变化产生的弯曲变形与温度变化产生的弯曲变形与M产生的弯曲方向相产生的弯曲方向相同时为正，反之为负同时为正，反之为负例：例： 刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。已知。已知 l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度各杆均为矩