参数估计习题课

1、第21讲参数估计习题课教学目的：1.通过练习使学生进一步掌握矩估计和最大似然估计的计算方法；2. 通过练习使学生理解无偏性和有效性对于评价估计量标准的重要性；3. 通过练习使学生进一步掌握正态总体参数的区间估计和单侧置信限。教学重点：矩估计和最大似然估计，无偏性与有效性，正态总体参数的区间估计。教学难点：矩估计，最大似然估计，正态总体参数的区间估计。教学时数：2学时。教学过程：一、知识要点回忆1. 矩估计1 n用各阶样本原点矩Vk二丄Xik作为各阶总体原点矩EXk的估计，k=1,2,Hl。假设有参n y数 g(E(X),E(X2),|(,E(Xk)，那么参数二的矩估计为1 n1 ni n-(1

2、x Xi, Xi2,IH,丄Xik)。n i=in i=in i=i2. 最大似然估计似然函数L(R二f(Xj；R，取对数lnL(旳，从=0中解得二的最大似然估 yd日计？3. 无偏性,有效性当时，称令为&的无偏估计。当D會CD闵时，称估计量硏比区有效。4. 正态总体参数的区间估计X N学2,当二时，置信水平为1 -:的置信区间为(X-d%,X；当二未知时，的置信水平为1-：的置信区间为(X-匚仁(n -1),X- U (n -1)7n宀寸n 2当时,当丿未知时,2S (Xi-4)2二2的置信水平为1-的置信区间为(J,坨(n)2n- (xi - x)-2的置信水平为1 -:-的置信区

3、间为5(n-1)22、(D2y)；12丄(n)'_2n' (Xi _x)2,1±2) 0(n -1)|一2，其中n'、' (Xi -x)2i =4般写为(n -1)s2。5. 两个正态总体均差值的区间估计当匚1和二2时，叫-亠2的置信水平为1-二的置信区间为(x_y 比+玉 ux y,1 n2 2当二1和二2未知时,J2的置信水平为V：的置信区间为(x-y-tgj丄+26.两个正态总体方差比的区间估计_2三的置信水平为1-的置信区间为 匚2x -y VSw2丄+2)n4 n22Si(汇訂22J。_a2、典型例题解析e" x j 0设f(x)0

4、e鳥，求二的矩估计。EX =x1 10 Wdx，设 u，x,x=su，dx 蔦 du那么 EX0 uetdu)=：-bo0o：edu H 0 (一訂)0：=11故d二，所以2 =匸。EXx2.设总体X在a,b 1上服从均匀分布，求a和b的矩估计解由均匀分布的数学期望和方差知1E(X) (a b)(1)2D(X)= (b-a)2(2)1212由(1)解得 b =2EX -a ,代入(2)得 DX = (2EX -2a),整理得 DX = -(EX -a),123解得a =E(X) 、.、3D(X)b = E(X) ,3D(X)故得a,b的矩估计为(Xi -X)2n i 13.设总体X的密度函数为

5、fx；v，求二的最大似然估计x!n设 L(d)-i.l f(Xi门)i =1n、Xj屮土(X1!)(X2!).(Xn!)，那么nnIn L(r)=(二 X)l n v-nIn (Xi!)i =1i =1d In L(r)-n = 0,n彳=_ 二 xin y4.设总体X的密度函数fxj =Uaxa'e*a，求参数二的最大似然估计nn二£ Xa解L(T 鬥.If (xj) "nan(X1X2.Xn)a'e i±i=innln L=n ln r n ln a (a -1广 ln Xj -八 xai =1i =11 n解得Vxa。n i 45.设

6、3;和鳥为参数的两个独立的无偏估计量，且假定 Dt? = 2D兔，求常数c和 d，使孑二c：?y乡为二的无偏估计，并使方差D?最小。解 由于 E0 = E(c& +dg) =cE闵 +dE说=(c+d)8 ,且知 E0=0，故得 c+d=1。 又由于D(? = D(cf? +d(?J =c2D(?+d2Dd? =2c2D2 +d2D$ =(2c2 +d2)D并使其最小，即使f =2c2 d2，满足条件c+d=1的最小值。令 d=1-c，代入得 f=2c2 (1-c)2， f；=4c-2(1 -c) =0, 6c-2=012解得 c=,d =1-c 二o336对方差二2为的正态总体来说，

7、问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值的置信水平为1 -：的置信区间的长度不大于L?由于的置信区间为(X-=u：.,XEuJ，故"的置信区间长度为-：'n "2n "2cr2 u v - L o-n 所以，有，即得连)27. 设某电子元件的寿命服从正态分布NC,2)，抽样检查10个元件，得样本均值X=1200(h)，样本标准差s=14(h)。求(1)总体均值置信水平为99%的置信区间;(2)用X作为的估计值，求绝对误差值不大于10 ( h)的概率解(1)由于二未知，s=14 (h),根据求置信区间的公式得(x -n n -OX +-如(n -1)、n 2

8、141410如05(9),1200,10血(9)查表得t°.0059 =3.25，故总体均值卩置信水平为99%的置信区间为(1200 -14.388, 1200 14.388) =(1185.612, 1214.388)P(|x 4|c10) = P(10 1010、 )=P(t( n-1)s s14.n . n= P(t(9) c2.2588)壬 P(t(9)|vt0.025 (9) = 1 2a =1-0.05=0.958. 设X1,X2,.,Xn为正态总体Nf2的一个样本，确定常数c的值，使n 二 Q =c瓦(x + -Xi)2为©2的无偏估计。i T解nn _1EQ

9、 任 1 一人)2 二c' E(x 1)一以 一 T2i =1i =1n .42 2 二c' E(Xi 1 - J -2(x 1)(Xi- J) (Xi - J i Tn .4E(Xi .1 - J)2 -2E(x 1)E(x)E(Xi - T2i占由于E(x - P)=EXi _卩=卩一卩=0，所以有n-1n-1EQDXj 彳 一0 DxJ(2；2) =c2(n _1)；2ii咼无偏性，故有2cn -1-1，所以1c =2( n-1)9. 为了解灯泡使用时数均值 及标准差二，测量了 10个灯泡，得X = 1650小时,s=20小时。如果灯泡使用时间服从正态分布，求和二的95%

10、勺置信区间解 由匕n -1“0.0259 =2.262，根据求置信区间的公式得2ss2.262任二 t 一.( n_1),一二t 一.(n_1)=(1650一 - 20)Jn 2Jn 2<10二(1650_14.31) = (1635.69, 1664.31)查表知鳥(n -1)=监025(9) =19.023,沪川n -1)=淙75(9) = 2.70 ,根据求置信区间的公式 2 . .得匚2的置信区间为(n-1)s20.025 (9)(n -1)s20.975 (9)9 202 )=( 19.0239 2022.70)=(189.24, 1333.33)而二的置信区间为0,189.24,.1333.33) =(13.8, 36.5)10. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测