高等数学4_3_1幂级数ppt课件

1、目录 上页 下页 返回 结束 第三节第三节 一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 二、幂级数的运算二、幂级数的运算 幂级数 第四章 1/27；.目录 上页 下页 返回 结束 一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 形如形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数的函数项级数称为幂级数, 其中数列其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如例如, 幂级数幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数为幂级数的系数 .即是此种情形即是此种情形. .的情形的情形, 即即nnxxa)(0称称 2/27；

2、.目录 上页 下页 返回 结束 收敛收敛发散发散定理定理3 .1 ( Abel定理定理 ) 若幂级数若幂级数0nnnxa,0点收敛在xx 则对满足不等式则对满足不等式0 xx 的一切的一切 x 幂级数都绝对收敛幂级数都绝对收敛.反之反之, 若当若当0 xx 0 xx 的一切的一切 x , 该幂级数也发散该幂级数也发散 . 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,则对满足不等式则对满足不等式证证: 设设00nnnxa, 0lim0nnnxa收敛收敛,则必有则必有),2, 1(0nMxann于是存在于是存在常数常数 M 0, 使使Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛阿贝尔阿贝尔 3/27；.目录 上页 下页

3、 返回 结束 当当 时时, 0 xx 00nnxxM收敛收敛,0nnnxa故原幂级数绝对收敛故原幂级数绝对收敛 .也收敛也收敛,反之反之, 若当若当0 xx 时该幂级数发散时该幂级数发散 ,下面用反证法证之下面用反证法证之.假设有一点假设有一点1x01xx0 x满足不等式满足不等式0 xx 所以若当所以若当0 xx 满足满足且使级数收敛且使级数收敛 ,面的证明可知面的证明可知,级数在点级数在点故假设不真故假设不真. 的的 x , 原幂级数也发散原幂级数也发散 . 时幂级数发散时幂级数发散 ,则对一切则对一切则由前则由前也应收敛也应收敛, 与所设矛盾与所设矛盾,nnnnnnxxxaxa00nnn

4、xxxa00nxxM0证毕证毕4/27；.目录 上页 下页 返回 结束 幂级数在幂级数在 (, +) 收敛收敛 ;由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 0nnnxa中心的区间中心的区间. 用用R 表示幂级数收敛与发散的分界点表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为的收敛域是以原点为则则R = 0 时时,幂级数仅在幂级数仅在 x = 0 收敛收敛 ;R = + 时时,0 R幂级数在幂级数在 (R , R ) 收敛收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径称为收敛半径 ， 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发

5、散外发散;在在(R , R ) 称为收敛区间称为收敛区间.Ox发发 散散发发 散散收收 敛敛收敛收敛发散发散5/27；.目录 上页 下页 返回 结束 xaaxaxannnnnnnn111limlim定理定理3.3 若若0nnnxa的系数满足的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R证证:1) 若若 0,则根据比值审敛法可知则根据比值审敛法可知:当当,1x原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.x即即1x时时,1) 当当 0 时时,2) 当当 0 时时,3) 当当 +时时,即即时时,则则 1x6/27；.目录 上页 下页 返回 结束 2) 若若, 0则根据比值审敛法可知则根据比

6、值审敛法可知,;R绝对收敛绝对收敛 ,3) 若若,则对除则对除 x = 0 以外的一切以外的一切 x 原级发散原级发散 ,.0R对任意对任意 x 原级数原级数因此因此因此因此 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1limnnnaaR因此级数的收敛半径因此级数的收敛半径.1R7/27；.目录 上页 下页 返回 结束 对端点对端点 x =1, 1limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(32的收敛半径及收敛域的收敛半径及收敛域.解解:11nn11对端点对端点 x = 1, ,1) 1(11nnn收敛收敛; 级数为级数为,11nn发散发散 . . 1, 1(故收敛

7、域为故收敛域为例例1.1.求幂级数求幂级数 limn 级数为交错级数级数为交错级数8/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 :.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn解解: (1) limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn所以收敛域为所以收敛域为. ),(2) limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0所以级数仅在所以级数仅在 x = 0 处收敛处收敛 .规定规定: 0 ! = 1! ) 1(1n9/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.nnxnn202) !(! )2(求幂级数的收敛半径的收敛半

8、径 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径比值审敛法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接用故直接用10/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例4.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21)

9、 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,)2, 2故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即. )3, 111/27；.目录 上页 下页 返回 结束 二、幂级数的运算二、幂级数的运算定理定理3.4 设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及及的收敛半径分别为的收敛半径分别为,21RR令令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnn

10、xbaRx ,0nnnxcRx 则有则有 :nnnnnnxbxa00其中其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限以上结论可用部分和的极限证明证明 .12/27；.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如例如, 设设 nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn它们的收敛半径均为它们的收敛半径均为,R但是但是nnnxa0nxxx21其收敛半径只是其收敛半径只是 .1R1x1nnnxb0 x11

11、13/27；.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.5 （内闭一致收敛性）（内闭一致收敛性） 设幂级数设幂级数nnnxa0的收敛半径为的收敛半径为R, , R0则它在收敛区间则它在收敛区间（-R, R)内的任何内闭子区间内的任何内闭子区间 a, b 上都是一致收敛的上都是一致收敛的14/27；.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理3.6 若幂级数若幂级数nnnxa0的收敛半径的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函则其和函在收敛域上连续在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与

12、且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分逐项求积分,运算前后收敛半径相同运算前后收敛半径相同: 15/27；.目录 上页 下页 返回 结束 解解: 由例由例2可知级数的收敛半径可知级数的收敛半径 R+.例例5.0!nnnx求幂级数0!)(nnnxxS)(x则则11! ) 1()(nnnxxS0!kkkx)(xS)(x故有故有0)(exSxxCxSe)(,e)(1)0(xxSS 得由故得故得.e!0 xnnnx的和函数的和函数 .因此得因此得设设16/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 1nnxn求幂级数的和函数的和函数解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 ,x1

13、 时级数发时级数发,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx散散,17/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求级数求级数01nnnx的和函数的和函数. )(xS解解: 易求出幂级数的收敛半径为易求出幂级数的收敛半径为 1 , 时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1ln(1xx) 10( x1x及及收敛收敛 , 0111nnnxxxnnxxx00d1,) 1, 1中则在 x = 1 时级数发散时级数发散, 有时当,0 x18/27；.目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 ,0()

14、0, 1x)(xS, )1ln(1xx因此由和函数的连续性得因此由和函数的连续性得:)(xS而而 x = 0 时级数收敛于时级数收敛于1, , )1ln(1xx,10 x) 10( x1x及及,1)1 (lnlim0 xxx19/27；.目录 上页 下页 返回 结束 例例8.2) 1(122的和求数项级数nnn解解: 设设,1)(22nnnxxS则则, )1, 1(x2112nnnxx21121nnnxx)0( x12nnnxx321nnnxxnnxnnxS111121)(220/27；.目录 上页 下页 返回 结束 31212)(nnnnnxxnxxxS1nnnx 101dnxnxx而而xx

15、xnnd011 xxx01d)1ln(x42)1ln(21)(2xxxxxS222) 1(1nnn)0( x1212)(nnnxxxxS21S2ln4385)0( x)2(212xxx故故21/27；.目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 求幂级数收敛域的方法求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数对标准型幂级数先求收敛半径先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法求收敛半径时直接用比值法或根值法,2. 幂级数的性质幂级数的性质两个幂级数在公共收敛区间内可

16、进行加、减与两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa也可通过换元化为标准型再求也可通过换元化为标准型再求 .乘法运算乘法运算. 22/27；.目录 上页 下页 返回 结束 2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.思考与练习思考与练习 1. 已知已知nnnxa00 xx 在处条件收敛处条件收敛 , 问该级数收敛问该级数收敛半径是多少半径是多少 ?答答:根据根据Abel 定理可知定理可知, 级数在级数在0 xx 收敛收敛 ,0 xx 时发散时发散 .故收敛半径为故收敛半

17、径为.0 xR 3. 求和函数的常用方法求和函数的常用方法 利用幂级数的性质利用幂级数的性质 23/27；.目录 上页 下页 返回 结束 2. 在幂级数在幂级数nnnnx02) 1(2中中,nnaa1nn) 1(2) 1(2211n 为奇数为奇数,23n 为偶数为偶数,61能否确定它的收敛半径不存在能否确定它的收敛半径不存在 ?答答: 不能不能. 因为因为nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x当当2x时级数收敛时级数收敛 ,2x时级数发散时级数发散 ,.2R说明说明: 可以证明可以证明比值判别法成立比值判别法成立根值判别法成立根值判别法成立24/27；.目录 上页 下页 返回 结束

18、 P275 1 (1), (3), (5), (7), (8) 2 (1), (3)P320 7 (1), (4) 8 (1), (3) 作业作业第四节第四节 25/27；.阿贝尔阿贝尔(1802 1829)挪威数学家挪威数学家, 近代数学发展的先驱者近代数学发展的先驱者. 他在他在22岁时就解决了用根式解岁时就解决了用根式解5 次方程次方程的不可能性问题的不可能性问题 , 他还研究了更广的一他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群并称之为阿贝尔群. 在级数研究中在级数研究中, 他得他得 到了一些审敛准则及幂级数求和定理到了一些审敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路拓了道路. 数学家们工作