应用山路引理证Duffing方程周期解的存在性

1、第 26 卷第 1 期阜阳师范学院学报 (自然科学版)V o l. 26, N o. 12009 年 3 月Jou rnal of Fuyang T eachers Co llege (N atu ral Science)M a r. 2009应用山路引理证D uff ing 方程周期解的存在性潘建丹, 周伟灿(南京信息工程大学, 江苏 南京 210044)摘 要: 应用变分方法, 将一类无阻尼D uffing 方程周期边值问题转化为与之等价的非线性泛函的临界点问题, 并利用 山路引理证明了这类D uffing 方程 22周期解的存在性.关键词: 无阻尼D uffing 方程; 嵌入定理; 临

2、界值; P. S. 条件; 山路引理中图分类号: O 175. 2文献标识码: A文章编号: 100424329 (2009) 0120018204Ex istence of 2-per iod ic solut ion s for the duff ing equa t ionPAN J ian2dan , ZHOU W ei2can(Colleg e of M a them a tics & P hy sics, N U IS T , N anj ing J iang su 210044, Ch ina)Abstract: W ith the u se of variat io n

3、al m ethod, the per io dic boundary value of a class of D uffing equat io n can be e2 qually t ran slated in to the p rob lem of critical po in t of a non linear funct io n. By m ean s of M oun tain Pass L emm a, the ex is2 tence of 22p er io dic so lu t io n of D uffing equat io n is being p roved

4、.Key words: non2dam p ing duffing equat io n, em bed theo rem , critical po in t, condit io n, moun tain pass lemm a0引言考虑一类D uffing 方程u + cu + g (u ) = e ( t) ,(1) 这里 g , e : R R 是连续函数, c R 是任意 常数, 并且 e ( t) 还是以 2为周期的周期函数. 当 c= 0 时, 方程 (1) 是一个保守系统, 即u + g (u ) = e ( t) .(2)关于方程 (2) 周期解的存在性和多解性已有丰如果没

5、有其它附加条件, (4) 式并不能保证方 程 (1) 或(2) 存在周期解. 后来R eissig 2 在 n2 < g (u ) < (n + 1) 2 , u 0 条件下, 证明了方程u(2) 存在2- 周期解. 1982 年, 丁同仁 3 在弱共振情 形, 比较完整地解决了方程 (2) 的 2- 周期解存在 问题, 即在 n2 g (u ) (n + 1) 2 , g (0) = 0 条件 下, 根据强迫项 e ( t) 的各种类型, 比较完整地解决 了方程 (2) 的周期解存在性问题. 刘文斌和李勇 4 富的结果 (如文献 125 ) , 方程 (1) 或 (2) 存在 2

6、- 周在Fucik谱的框架下, 利用inf 2G (u ) 和 sup 2G (u )期解的必要条件是:u 2u 2e( t) = 12e ( t) d t Range (g) ,(3)的渐近性, 证明了方程 (2) 的 2- 周期解的存在性.20为了使得条件(3) 成立, 假设存在常数 d > 0 ,使得:sgn (u ) g (u ) > sup e ( t) : t R ,u d .(4)本文利用山路引理的方法证明超线性无阻尼的D uffing 方程 (2) 的 2- 周期解的存在性.1引理及预备知识本文在Banach 空间考虑问题, 设 E 是实Ba2 收稿日期: 2008

7、212215基金项目: 江苏省气象灾害重点实验室项目 (KLM E060206) 资助.作者简介: 潘建丹 (1983- ) , 女, 硕士. 研究方向: 微分方程与应用.第 1 期潘建丹等: 应用山路引理证D uffing 方程周期解的存在性19nach 空间, I: E R 是 C 1 泛函,( i) 若 I (u 0 ) = , 则称 u 0 是 I 的一个临界点.A G (u ( t) ) , v ( t) -(e ( t) , v ( t) ) d t(8)( ii) 如果 un < E , I (un ) 有界, I (u n ) 蕴 含 un 有收敛子列, 则称泛函 I (

8、u ) 满足 Palais2 Sm ale 条件, 简称 P. S. 条件.成立, 众所周知, 泛函 I (u ) 的临界点即为方程 (2)的 2- 周期解.22推论 1对任意 u H 1 , D 表示 (0, 2) , 有在文献 6- 7 中有如下结论, 本文将其作为引理 使用.D ud t Du 2d t.(9)1引理 1 6 若 0 < p < q , 且 8 < , 则证明由引理 1,结合 H2 的定义得: 1 1L q (8 ) < L p (8 ) , 且 f p f q ( 8 ) p - q .L 2 (D) < L 1 (D ) , 且 u 1

9、2u 2 ,0引理 2 6 设 u W 1, p (8 ) , 则存在 C = C (n,p ) , 使得n- pu np C A u p ,(p < n ) ;由引理 2 6, P35- 36 可证得:u 2 1 u 1 ,2结合以上两个不等式, 易得:sup u C 8 1 -n 1p A u p ,(p > n ).u 2 1 u 1 u 2 .引理 3 7 (山路引理) 设 E 是实Banach 空间,I: E R 是 C 1 泛函, 满足 P. S. 条件, u 0 , u 1 E ,2证毕.- -8 是 u 0 的开邻域, u 1 8 , 假定m ax I (u 0 )

10、 , I (u 1 ) 2主要结果及证明< infu58I (u ) . 令 c = inf m ax I (h ( t) ) . 其中 5 =h5 t 0, 1 本文假设 g (u ) 满足如下条件:h h: 0, 1 E 连续, 且使 h (0) = u 0 , h (1) = u 1 (即 5 是 E 中联结 u 0 和 u 1 的一切道路组成) , 那么,( i) g (u ) C (R ; R ) 并存在N + 2c 必是 I 的临界值. 定义H ilbert 空间:H 11 <使N - 2 ( N > 2 ) ,2 = u: 0, 2 R | u (0) = u

11、(2) = 0,u (0) = u (2) , u ( t) 绝对连续且 u ( t) L 2 ( (0, 2) ; R ) g (u ) a + b u( ii) 存在 (0, 12u, (a > 0, b > 0)(10) 及M > 0 , 使2定义 H 1 上的内积:G (u ) = 0g (s) ds u g (u ) ,2u , v =0 u ( t) v ( t) + u ( t) v ( t) d t(5) u M , t D(11) ( iii) 下面两个极限式成立,其范数定义为:22122limu0g (u ) = 0 , 对 t D 一致;ug (u )u

12、 1, 2 = 0u +ud tlimu+ u= + , 对 t D 一致.(12)(6)显然, H 1 是 L 2 0, 2 的一个子空间, 且 H 1同时假设方程 (2) 中的强迫振动项 e ( t) 有界,即存在常数 m > 0 , 使 e ( t) m . 应用山路引22关于上述内积(5) 是一个H ilbert 空间. 二阶D uffing2方程 (6) 在空间 H 1 上对应的泛函为理, 可得如下 2- 周期解存在性结果.定理 1假设 e ( t) 有界, g (u ) 满足上述条件 12(I ) (" ) (? ) , 则D uffing 方程 u + g (u

13、) = e ( t) 至I (u ) = D2 u - G (u ) - e ( t) u ( t) d t ,u(7)少存在一个非平凡的 2- 周期解.证明只需证明泛函 I (u ) 存在临界点, 即泛其中, 0, 2 记为D , G (u ) =g (s) ds , 易知0函 I (u ) 满足山路引理的全部条件.首先, 证明 I (u ) 满足 P. S. 条件. 设 un <2I (u ) 是 H 1 上 C 1 泛函.2对任意 u , v H 1 , 有2 ,I (un ) c, (n = 1, 2,) , I u n , (在H 1H 12 中). 要证 un 有收敛的子列,

14、 只需证 un 在I (u ) , v = u ( t) , v ( t) -H 1 1D2 中有界. (因为 un 在 H 2 中绝对连续). 事实上,20阜阳师范学院学报 (自然科学版)第 26 卷由条件 (I ) (" ) 知, 存在M 1,M 2 > 0 , 使得c I un =g (u ) 2u , 0 <u < , 其中 ( 1 +2 121) 记为 .02 un - G (un ) - e ( t) un ( t) d t 从而, 对 u < , 有 G (u ) u 2成立.4 12( ) d t -2D un d t - uG un ( t)

15、 M(18)D e( t) un( t)d t - M 1 另一方面, 由(10) 式知: 122G (u ) a u +u + 1 , - < u < + .2D un d t - D un d t +(19)2D un - ung(un )- e ( t) un( t)d t +结 合 ( 18 ) 式、( 19 ) 式, 并 注 意 到 + 1 <b+ 1 2N D e( t) un( t)d t - D e( t) un( t)d t - M 2 =N - 2, 可知, 存在 b1 > 0, 使得下式成立:( 1 - )2Dun 2d t + ( I (un )

16、 , un ) -G (u ) u 2 + b1 u42NN - 2 , (- < u < + )(1 - )D e ( t) un ( t) d t - M 2.(13)设 I un 0 , 所以当 n 时, 有(20)因 N > 2 , 根 据 嵌 入 定 理: W 1, 2 (D ) 嵌 入L 2N (D ) , 故 u , v L 2N (D ) , 且存在常数 c > 0 ,( I (un ) , un ) < un ,(14)¨利用H o lder 不等式及推论 1, 可得:D e ( t) un ( t) d t N - 2使得即N - 2

17、N - 2u 2N cu 1, 2 ,u 2N cu W 成立.(21)122(Dun ( t)12d t) 2 N - 221由于 H 1 < W 1, 2 (D ) , 结合 ( 9) 式、( 20 ) 式、4 43m (1un 2d t) 2 ,(15)(21 ) 式, 可 知: 当 u H 2 时, 有 ( 下 式 令 =D结合 (13) -(15) , 有 2N )N - 2c ( 12- )Dun 2d t - un 1, 2 -G (u ) u 2 + b1 u 2N 4 43m (1 - ) ( 1un 2d t) 2 - M 242(16)N - 21Du 2, 2 +

18、 b1cu 2 , ( u H 1) 成立.2成立, 由 (16) 式可推得 un 1, 2 在 H 1 中有42界. 若不然, un 1, 2 在 H 1 中无界, 由 ( 9) 式易1,2(22)得:1u 2, 2 ( + 1)u 2d t ,由(9) 式、(22) 式, 并注意到 = 2N> +N - 21 2 , 即知存在充分小的 r > 0 , 使得2从 而D u d t + , 与D(3. 8)式矛盾. 于是,2显然, 对 H 1inf I (u ) = cr > 0.u5B r2 中的零元素 , 有 I () = 0.(23)2un 1, 2 在 H 1 中收敛

19、, 从而 I (u ) 满足 P. S. 条再次, 证明存在 u 0 , u 1 H 1 , 8 是 u 0 的开邻件.域, u 1 8 , 使得m ax I (u, I u < inf I u .其次, 证明存在充分小的 r > 0 , 使- -0 )( 1 )( )u58inf I (u ) = cr > 0 ,u5B r这里2B r = u H 1 u 1, 2 < r.由推论 1 得:取 u 0 H 1 , u 0 1, 2 = 1 , 且 u 0 ( t) > 0 , t2 0, 2 . 令 u 0 2 = a0 , 则 a0 > 0. 由条件(

20、iii) 和(12) 式知, 存在 0 > 0 , 使得2g (u) 4 u, u0 成立.(24)au 2, 2 ( 1 + 1) u 2 ,(17)0令 () = I (u 0 ) , 考察实函数 () , 有下式12成立.观察 ( 11 ) 式 和 ( 17 ) 式 知, 存 在 > 0 , 使() = I (u 0 ) ,第 1 期潘建丹等: 应用山路引理证D uffing 方程周期解的存在性212再由 (25) 式得2 u 0 1, 2 - D G2(u 0 )d t - D e(t) ) (u 0 )d t =() =2I (u 0 ) =2 - D G (u 0 )

21、d t - D e ( t) (u 0 ) d t2 - DG (n u 0 ) d t -D e ( t) (n u 0 ) d t <(25)2现取 0 <1 <2 <, 设 n + , 并令-2- mD u d t + M ,n > N .n 040D n =t 0, 2 n u ( t) 0 ,则故当 n 时, (n ) - , 显然, 当 n 时,n u 0 1, 2 = n + . 于是, 可取定某 n (充分1D D n =t 0, 2n u0 (t) < 0( n = 1, 2,).注意到 (24) 式, 有下面不等式成立:大) , 使 H

22、2 中的元素 u 1 = n u 0 , 满足u 1 B r , I (u 0 ) < 0.(30)于是, 存在 u 0 , u 1 H 1 , B 是 u 0 的开邻域,D G(n u 0 )d t =0 0nu0 ( t)nu0 ( t)u 1 B r ,使得m ax I(u 0 ) , I2(u 1 ) <inf Iu5B r(u) ) .(+g (u ) du ) +n0D D ndtg (u ) du 0最后, 结 合 ( 23 ) 式、( 24 ) 式 及 ( 30 ) 式, 可 知3nnu0 ( t)0I (u ) 满足山路引理的条件, 故 I (u ) 必有临界值

23、cn0D dt 0g (u )du - D dtg (u )0du - cr> 0. 即方程 (1. 2) 有 22周期解.nD D dtg (u )0du 参考文献:0nu0 ( t) 40 1 D ing TongR en, D ing W eiyue. R esonance p rob lem sn0D dt a 2 u du - D dtg (u )0du 0fo r a class of D uffings equat io n s J . Ch inese A nn.2 2a 0 D n 2 2(2 u 0 ( t) 2n2- 2 ) d t - M 3 M ath. See

24、. 1985, B 6: 4272432. 2 R eissig R. Con t ractive M app ings and Per io dically Pertu rbed Con servative System s J . A t t i A ccad2 nna0 Du 0 ( t)d t - M 4.(26)N az L incei R end CL Sci F is M at N atu r, 1975, 58: 6962702. 3 D ing TongR en. N on linear o scillat io n s at po in t of res2042其中,M 3 = 2(a