第六章超静定问题PPT课件

1、6-1 超静定问题及其解法. 关于超静定问题的概述(a)(b)第1页/共59页 图a所示静定杆系为减小杆1 ,2中的内力或节点A的位移(如图b)而增加了杆3。此时有三个未知内力FN1 ,FN2 ,FN3，但只有二个独立的平衡方程 一次超静定问题。(a)(b)第2页/共59页 图a所示简支梁为减小内力和位移而如图b增加了中间支座C成为连续梁。此时有四个未知约束力FAx, FA, FB, FC，但只有三个独立的静力平衡方程 一次超静定问题。 超静定问题：单凭静力平衡方程不能求解约束力或构件内力的问题。FAFBl(a)FAxABq(b)l/2l/2CFCFAxAB qFBFA第3页/共59页. 解超

2、静定问题的基本思路例1超静定结构解除“多余”约束基本静定系(例如杆3与接点A的连接)第4页/共59页在基本静定系上加上原有荷载及“多余”未知力并使“多余”约束处满足变形(位移)相容条件相当系统12BCAF AFN3AA FN3ADA 第5页/共59页331N32111N3coscos2AElFAElFF于是可求出多余未知力FN3 。 由位移相容条件 ，利用物理关系(位移或变形计算公式)可得补充方程：AA 12BCAF AFN3AA FN3ADA 第6页/共59页基本静定系ABl补充方程为048384534EIlFEIqlC于是可求出多余未知力FC。位移相容条件Cq+CFC=0 相当系统ABl/

3、2qlFC例2超静定梁yxl/2l/2CABq第7页/共59页. 注意事项 (1) 超静定次数=“多余”约束数=“多余”未知力=位移相容条件数=补充方程数，因而任何超静定问题都是可以求解的。 (2) 求出“多余”未知力后，超静定结构的内力和位移等均可利用相当系统进行计算。 (3) 无论怎样选择“多余”约束，只要相当系统的受力情况和约束条件确实与原超静定系统相同，则所得最终结果是一样的。第8页/共59页 (4) “多余”约束的选择虽然是任意的，但应以计算方便为原则。 如上所示连续梁若取B处铰支座为“多余”约束，则求解比较复杂。xl/2l/2CABqFByxl/2l/2CABq第9页/共59页例6

4、-1 1、2、3三杆用铰链连接如图，各杆长度和刚度如图所示，外力沿铅垂方向。求各杆的内力。CPABD123LEAEAE3A3解：解：平衡方程：平衡方程：（1）0sin 0120coscos 03216-2 拉压超静定问题第10页/共59页变形协调方程：变形协调方程：CABD123A11L2L3Lcos31LL物理方程：物理方程：11111NF LLE A33333NFLLE A（2）（3）233111233311331133cos ; 2cos2cosNNNE A PE APFFFE AE AE AE A联解（联解（1）、）、2） 、（、（3）式得：）式得：解答表明，各杆的轴力与其刚度有关。解

5、答表明，各杆的轴力与其刚度有关。第11页/共59页例例6-2 求图示杆的支反力。求图示杆的支反力。解：解：0 (1)ABRRP变形协调条件：变形协调条件：0 (2)ABACBClll 物理关系：物理关系： (3)ABABR aR bLEAEA联解得：联解得：,ABbaRP RPll平衡方程：平衡方程：思考：思考：如杆件下端如杆件下端与支座与支座B有一微小距有一微小距离，又该如何计算离，又该如何计算？第12页/共59页 例例6-3 6-3 如图所示刚性梁如图所示刚性梁ABAB由由1 1，2 2，3 3杆悬挂，三杆的刚度均为杆悬挂，三杆的刚度均为EA。求。求P力力作用下三杆的轴力。作用下三杆的轴力

6、。解：解：0Y0AM（1）平衡方程：平衡方程：0321第13页/共59页13232()LLLL11NF llEA 22NF llEA（2）物理方程：物理方程：33NF llEA（3）联解（联解（1）、（）、（2）、（）、（3）式得：）式得：312613L3L2L1第14页/共59页此时，变形协调条件为此时，变形协调条件为13232()LLLL注意：受力图与变形图必须一致受力图与变形图必须一致！第15页/共59页 例例6-4 图示结构，图示结构，AB为刚性梁，为刚性梁，1、2两杆刚度相同。两杆刚度相同。 求求1、2杆的杆的受力。受力。022cos30 021平衡方程平衡方程:变形关系变形关系:物

7、理关系物理关系:cos30 2211联立解出联立解出:3326 332421第16页/共59页例例6-5 图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力。图示为一平面桁架，各杆刚度相同。求各杆的轴力。o430 2cos300NNYFFP由对称性，有由对称性，有1245 NNNNFFFF由由A点平衡点平衡由由B点平衡点平衡o130 2cos600NNYFF第17页/共59页变形关系：变形关系：41oo cos30cos60ABLL 3ABL 物理关系：物理关系：11 NF LLEA33 NF LLEA553 NFLLEA由以上关系式求得：由以上关系式求得：12323 32NNNPFFF4533 3

8、2NNPFF,3LL设1，2，3杆长为则4，5杆长为AB第18页/共59页. 装配应力和温度应力(1) 装配应力 超静定杆系(结构)由于存在“多余”约束，因此如果各杆件在制造时长度不相匹配，则组装后各杆中将产生附加内力装配内力，以及相应的装配应力。第19页/共59页 图a中所示杆系(E1A1=E2A2)中杆3的长度较应有长度短了e，装配后各杆的位置将如图中虚线所示。此时，杆3在结点 A 处受到装配力FN3作用(图b)，而杆1,2在汇交点A 处共同承受与杆3相同的装配力FN3作用(图b)。(a)(b)第20页/共59页求算FN3需利用位移(变形)相容条件(图a)列出补充方程由此可得装配力FN3，

9、亦即杆3中的装配内力为eAAAA eAElFAElF21113N333N3cos221113333Ncos2AElAEleF(拉力）(a)第21页/共59页 至于各杆横截面上的装配应力只需将装配内力(轴力)除以杆的横截面面积即得。 由此可见，计算超静定杆系(结构)中的装配力和装配应力的关键,仍在于根据位移(变形)相容条件并利用物理关系列出补充方程。而杆1和杆2中的装配内力利用图b中右侧的图可知为压力21113333N2N1Ncos2cos2cos2AElAEleFFF第22页/共59页 例题6-6 两端用刚性块连接在一起的两根相同的钢杆1, 2(图a)，其长度l =200 mm，直径d =10

10、 mm。试求将长度为200.11 mm，亦即e=0.11 mm的铜杆3(图b)装配在与杆1和杆2对称的位置后(图c)各杆横截面上的应力。已知：铜杆3的横截面为20 mm30 mm的矩形，钢的弹性模量E=210 GPa，铜的弹性模量E3=100 GPa。第23页/共59页 解：1. 如图d所示有三个未知的装配内力FN1, FN2 , FN3，但对于平行力系却只有二个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。也许有人认为，根据对称关系可判明FN1=FN2，故未知内力只有二个，但要注意此时就只能利用一个独立的静力平衡方程：所以这仍然是一次超静定问题。02 01NN3FFFx，(d)第24页/共59页2.

11、变形相容条件(图c)为这里的l3是指杆3在装配后的缩短值，不带负号。ell313. 利用物理关系得补充方程：eAElFEAlF33N3N1第25页/共59页4. 将补充方程与平衡方程联立求解得： 所得结果为正，说明原先假定杆1,2的装配内力为拉力和杆3的装配内力为压力是正确的。5. 各杆横截面上的装配应力如下：EAAElAeEFAEEAleEAFF211 21133333N332NN1，MPa51.19MPa53.743N331N21AFAF（拉应力）（压应力）第26页/共59页(2) 温度应力 也是由于超静定杆系存在“多余”约束，杆件会因温度变化产生的变形受到限制而产生温度内力及温度应力。铁

12、路上无缝线路的长钢轨在温度变化时由于不能自由伸缩，其横截面上会产生相当可观的温度应力。第27页/共59页 例题6-7 试求两端与刚性支承连接的等截面杆(图a)当温度升高t 时横截面上的温度应力。杆的横截面面积为A，材料的弹性模量为E，线膨胀系数为l。(a)第28页/共59页 解: 1. 由平衡方程只能知道杆两端的轴向支约束力数值相等而指向相反，但不能给出约束力的值，可见这是一次超静定问题。 2. 以刚性支撑B为“多余”约束后的基本静定系由于温度升高产生的伸长变形lt和“多余”未知力FN产生的缩短变形lF分别如图所示。第29页/共59页3. 变形相容条件为4. 补充方程为5. 由此得多余未知力0

13、Ftll0NEAlFltltEAFlN6. 杆的横截面上的温度应力为tEAFlN第30页/共59页 若该杆为钢杆而l =1.210-5/(C)，E=210GPa，则当温度升高t =40时有MPa100 Pa10100C40GPa10210C/102 . 1695tEl（压应力）tEAFlN第31页/共59页6-3 扭转超静定问题 例题6-5 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a)第32页/共59页 解: 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。

14、0 0eBAxMMMM，(a)MAMB第33页/共59页 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。BBMBMe第34页/共59页另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA第35页/共59页4. 杆的AC段横截面上的扭矩为lbMMTAACe从而有 peplGIabMGIaTACC(

15、a)第36页/共59页 例题6-6 由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径的变化情况。(a)第37页/共59页 解: 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为BbBa第38页/共59页3. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTM

16、IGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)第39页/共59页5. 铜杆横截面上任意点的切应力为aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbppep第40页/共59页 上图示出了铜杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在 = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。aaab第41页/共59页6-4 简单超静定梁.超静定梁的解法 解超静定梁的基本思路与解拉压超静定

17、问题相同。求解图a所示一次超静定梁时可以铰支座B为“多余”约束，以约束力FB为“多余”未知力。解除“多余”约束后的基本静定系为A端固定的悬臂梁。基本静定系第42页/共59页0BBBqww基本静定系在原有均布荷载q和“多余”未知力FB作用下(图b)当满足位移相容条件(参见图c,d) 时该系统即为原超静定梁的相当系统。若该梁为等截面梁，根据位移相容条件利用物理关系(参见教材中的附录)所得的补充方程为03834EIlFEIqlB第43页/共59页从而解得“多余”未知力qlFB83所得FB为正值表示原来假设的指向(向上)正确。固定端的两个约束力利用相当系统由静力平衡条件求得为 28185qlMqlFA

18、A，第44页/共59页该超静定梁的剪力图和弯矩图亦可利用相当系统求得，如图所示。思考 1. 该梁的反弯点(弯矩变换正负号的点)距梁的左端的距离为多少？ 2. 该超静定梁可否取简支梁为基本静定系求解？如何求解？第45页/共59页 例题6-7 试求图a所示系统中钢杆AD内的拉力FN。钢梁和钢杆的材料相同，弹性模量E已知；钢杆的横截面积A和钢梁横截面对中性轴的惯性矩I 亦为已知。第46页/共59页 解: 1. 该系统共有三个未知力(图b)FN ,FB ,FC ，但平面平行力系仅有两个独立的平衡方程，故为一次超静定问题。 2. 取杆和梁在点A处的连接铰为“多余”约束，相应的“多余”未知力为FN。位移(

19、变形)相容条件(参见图b)为wA=lDA。第47页/共59页3. 物理关系(参见图c,d)为EAlFlEIaFEIqawwwDAAFAqAN3N4 127，需要注意，因lDA亦即图b中的 是向下的，故上式中wAF为负的。1AA第48页/共59页4. 于是根据位移(变形)相容条件得补充方程：由此求得EAlFEIaFEIqaN3N412734N 127AalIAqaF第49页/共59页 例题6-8 试求图a所示等截面连续梁的约束力FA , FB , FC，并绘出该梁的剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI=5106 Nm2。第50页/共59页 解: 1. 两端铰支的连续梁其超静定次数就等于中间支座的数目。此梁为一次超静定梁。第51页/共59页 2. 为便于求解，对于连续梁常取中间支座截面处阻止左,右两侧梁相对转动的内部角约束为“多余”约束，从而以梁的中间支座截面上的弯矩作为“多余”未知力，如图b。BB 此时基本静定系为两跨相邻的简支梁，它们除承受原超静定梁上的荷载外，在中间支座B处的梁端还分别作用有等值反向的“多余”未知力矩 弯矩MB，图b中的“多余”未知力矩为一对正弯矩。位移相容条件(参见图b)为第52页/共59页3. 利用教材中的附录