计算方法 第1章 预备知识与误差分析

1、计算方法北京工业大学应用数理学院北京工业大学应用数理学院杨中华杨中华第一章预备知识与误差分析1.1绪论绪论绪绪论论1. 1. 本课程主要内容本课程主要内容绪绪论论2. 2. 学习计算方法的重要性和必要性学习计算方法的重要性和必要性01110nnnnaxaxaxa00111axaxaxannnn绪绪论论绪绪论论由线性代数知识我们知道，当其系数矩阵对应的行列式不等于零时，即 |A|0，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆法则，有：nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211DDxDDxDDxnn，,2211我们考虑用克莱姆法则求解此问题的时间代价。绪绪论论如果求一

2、个20阶线性方程组，把n=20代入，得乘法次数为：191010909. 5!21!1!) 1(）（nnn若以运算速度为每秒一亿次(108)浮点数乘除法运算的计算机昼夜不停的连续计算，其耗时约为：年16200365/24/3600/10/1010909. 5819绪绪论论由此可以看出求解线性方程组用Gauss消去法非常有效，因此对于稍微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。对程序员的忠告对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法问题，选择数学方法不当不当可能让你永远等不到最后可能让你永远等不到最后的计算结果！的计算结果！3

3、0603323nnn 但是如果用Gauss消去法求解此线性方程组，其乘除法次数约仅为：绪绪论论再根据极限的定义可知，当x足够小时可以用上式右端的差商近似此导数，如果取xxfxxfxfx)()(lim)(00001442010,10,10, 1,)(xxexfx分别用单精度和双精度进行此近似计算，所得结果列表如下：绪绪论论变量差变量差差商差商误差误差1.00e-0022.73191118e+0001.363e-0021.00e-0042.71953058e+0001.249e-0031.00e-0062.54005599e+0001.782e-0011.00e-008-8.25483990e+0

4、001.097e+0011.00e-010-8.25484009e+0028.282e+0021.00e-012-8.25483984e+0048.255e+0041.00e-014-8.25484000e+0068.255e+00684592.71828182)(0exf精确值为：绪绪论论变量差变量差差商差商误差误差1.00e-0022.73191866e+0001.364e-0021.00e-0042.71841775e+0001.359e-0041.00e-0062.71828319e+0001.359e-0061.00e-0082.71828181e+0002.107e-0081.00

5、e-0102.71828193e+0001.014e-0071.00e-0122.71856951e+0002.877e-0041.00e-0142.69448092e+0002.380e-00284592.71828182)(0exf精确值为：对程序员的忠告：千万不要以为按照一个优美的对程序员的忠告：千万不要以为按照一个优美的数学公式和数学算法就可以得到正确的计算结果，数学公式和数学算法就可以得到正确的计算结果，误差的积累与传播可能使最后的计算结果与真正误差的积累与传播可能使最后的计算结果与真正的解相差万的解相差万里里！绪绪论论1.2 1.2 误差分析误差分析实际问题数学模型数值方法程序设计

6、计算结果误误差差分分析析221gts (1.6)20020000)(! 1)()()(! 2)(! 1)()()(xOxxfxfxxfxxfxfxxf “截断”上式中 的二阶以上无穷小项得到的计算公式，由此产生的误差就是截断误差截断误差。误误差差分分析析误误差差分分析析误误差差分分析析*xxe*002. 00015926. 00015926. 014. 31415926. 3ee* xx*xxe(1.8)(1.7)误误差差分分析析*xerr*xexxxer*r(1.9)(1.10)误误差差分分析析%1 . 0001. 010001) 11000(%101. 0101 . 0) 1 . 010(

7、*rr误误差差分分析析npxxpm1 ,1021*mniaai, 2 , 1,9 , 2 , 1 , 0, 01mnaaax10.021*1415926.3413*1*102110210000926. 0-1031415. 01415. 3(1.11)误误差差分分析析615*1*102110210000026. 0-10314159. 014159. 3误误差差分分析析11*1021nra112121*102110. 0211010. 021nnnnmmnraaaaaaaxnm1021*误误差差分分析析误误差差分分析析%7001. 001. 0003. 0)()(*yxyxyxer误误差差分分

8、析析xxxx111yxyxlnlnln误误差差分分析析1*y*yx1*xxxxxxxxxxxxcos1sin)cos1 (sinsin)cos1 (sin)cos1)(cos1 (sincos121lnNNxdx1ln) 1ln() 1(lnln111NNNNdxxxxdxNNNNNN误误差差分分析析11lnlnlnNNNNNNdxxdx324321413121) 1ln(1)4131211() 1ln(1)11ln() 1ln(1-) 1ln(ln) 1ln(1ln) 1ln() 1(lnNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNNxdxNN1ln1NNxdx误误差差分分析析1)ln()ln

9、(ln1NNNxdxNN，1010N)ln(ln1NxdxNN71880258483886.231ln) 1ln() 1(ln1NNNNxdxNN40460258509299.233121)1ln(2NNN40460258509299.23)ln(N1.3 1.3 向量和矩阵的范数向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数nRRRyxn,0 xxxyxyx0 xnRniixx11niiTxxxx122inixx1max(1.12)(1.13)(1.14)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数221212yxyxyxniiniiT212122xxxxniinii222222222222222)(222)()(y

10、xyyxxyyxxyyyxxxyxyxyxTTTTT(1.16)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数 xxpplimxnxnxxxpppinipnipippini1111111maxmaxpnipipxx11对此式取p时的极限，则有xnxxpp1(1.17)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数33 , 2 , 1maxxTx)3 , 2, 1 ( 向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数xCxxC21，21CC ，21221xnxxxnxxxnxx122111xxxxnxn(1.18)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数nnRRRBAnn,0AAABABA0AnnRnjiijFaA1,2

11、BAAB(1.19)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数nRAxxAxAxx10maxmaxnnnRARxxAAx,xnnRAxAx(1.20)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数njijniTniijnjaAAAAaA11max2111max)(max)(maxAATAAT(1.21)(1.22)(1.23)向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数将矩阵A按列分块记为 假设第k列向量为范数最大的，即从 可推得),(21nAAAA111maxjnjkAAnjjjAxAx1niijnjkkaAAexA11111maxkex niijnjjnjknjjxkknjjxnjjjxnjjjxnjjjxxaAAxAAxAxAxAxAxA1111111111111111111111maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmax ，则有因此前述推导的上限，可以达到，则(1.21)式成立。向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数2426. 423183212532, 12max431, 22max6226. 3179222212FAAAA3212A1044832123122AAT179 向向量量和和矩矩阵阵的的范范数数AccAAccxcxxc122121