初四数学强化训练题一

1、初四数学强化训练题一1（3分）如图，在一次函数的图象上取一点P，作PAx轴于点A，PBy轴于点B，且矩形PBOA的面积为5，则在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个2如图，在平面直角坐标系中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作A，B，点M，N分别是A，B上的动点，P为轴上的动点，则PM+PN的最小值为（ ） A B C D3如图，平行于轴的直线AC分别交抛物线（0）与（0）于B、C两点，过点C作轴的平行线交于点D，直线DEAC，交于点E，则= 4在反比例函数的图象上，有一系列点，若的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标

2、的差都为2，现分别过点，作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如下图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为，则_（用n的代数式表示）5如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（27，9），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、Sn，则第4个正方形的边长是 , S3的值为 6若，则= 7我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分

3、别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_8如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC若ABC=BEF=60°，则=_9如图在ABC中，BE平分ABC，C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E交BC于点F（1）求证：AC是O的切线；（2）已知sinA=，O的半径为4，求图中阴影部分的面积10（本小题满分6分）如图，将透明三角形纸片PAB的直角顶点P落在第二象限，顶点A、B分别落在反比例函数图象的两支上，且PBy轴于点C，PAx轴于点D，AB分别与x轴、y轴相交于点E、F已知B（1，3）

4、（1）k=_ _；（2）试说明AE=BF；（3）当四边形ABCD的面积为4时，直接写出点P的坐标11（9分）如图，四边形ABCD内接于O，ADBC，P为BD上一点，APB=BAD（1）AB=CD；（2）DPBD=ADBC；（3）12（9分）已知二次函数的图象与y轴的交点为C，与x轴正半轴的交点为A，且tanACO=（1）求二次函数的解析式；（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分PQO，求Q点坐标；（3）是否存在实数、（），当时，y的取值范围为？若存在，直接写在、的值；若不存在，说明理由13（14分）已知，ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A点坐标为（6，0），B点坐

5、标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为（1）求抛物线的解析式；（2）如图，将BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的对称轴上时，求G点的坐标；（3）如图，当点E在线段AB上运动时，抛物线的对称轴上是否存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由14（10分）如图，直线和相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线（）与直线的另一交点为点D（1）求双曲线的解析式；（2）求BCD的面积15（11分）如图，已知BC是O的弦，A是O外一点，

6、ABC为正三角形，D为BC的中点，M为O上一点，并且BMC=60°（1）求证：AB是O的切线；（2）若E，F分别是边AB，AC上的两个动点，且EDF=120°，O的半径为2，试问BE+CF的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由16如图，点A是反比例函数 图像上的一点，过点A作AB轴于点B，且AOB的面积为2，点A的坐标为（1）求m和k的值 （2）若一次函数y=ax+3的图像经过点A，交双曲线的另一支于点C，交y轴于点D，求AOC的面积（3）在轴上是否存在点P，使得PAC的面积为6？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由17如图，AB是O的直径，D为

7、圆周上任一点，C是弧BD的中点，CEAB，垂足为E，BD交CE于点F（1）求证：；（2）若，O的半径为3，求BC的长18阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为的正方形ABCD各边上分别截取AEBFCGDH1，当AFQBGMCHNDEP45°时，求正方形MNPQ的面积小明发现：分别延长QE，MF， NG，PH，交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得RQF，SMG，TNH，WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）。请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新的正方形的边长为_；（2）求正方形MNPQ的面积（3）参

8、考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边ABC各边上分别截取ADBECF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ，若，则AD的长为_19（10分）如图1，在ABC中，ACB=90°，经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角的大小等于ABC，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E（1）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（2）当ABC的位置旋转到图2或图3时，设直线CE、AB交于点F，且，CD=4，请你在图2和图3中任选一种情况，求此时BD的长20（10分）如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a0）的图象与x轴交于点A（

9、2，0），B，与y轴交于点C，tanABC=2（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；（2）设直线CD交x轴于点E在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点试探究：抛物线最多可以向上平移多少个单位长度？试卷第9页，总9页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1C【解析】试题分析：当0x6时，设点P（x，x+6），矩形PBOA的面积为5，x（x+6）=5，化简

10、，解得，P1（1，5），P2（5，1），当x0时，设点P（x，x+6），矩形PBOA的面积为5，x（x+6）=5，化简，解得，（舍去），P3（，），在x轴的上方满足上述条件的点P的个数共有3个故选C考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2分类讨论2A【解析】试题解析：作A关于x轴的对称A，连接BA分别交A和B于M、N，交x轴于P，如图，则此时PM+PN最小，点A坐标（2，3），点A坐标（2，-3），点B（3，4），AB=，MN=AB-BN-AM=5-3-1=5-4，PM+PN的最小值为5-4故选A考点：圆的综合题3【解析】试题分析：本题利用特殊值法来进行求解是最好的首先设点B的坐标为（1，1），

11、然后根据反比例函数的性质分别求出点C、D、E三点的坐标，从而得出DE和AB的长度，然后进行求比值考点：发比例函数的性质4【解析】试题分析：由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、An、An+1在反比例函数上，求出各点坐标，再由面积公式求出Sn的表达式，所以图中阴影部分的面积：，因为，所以=故答案为：考点：图形的变化规律类问题5【解析】试题分析：因为点A坐标为（27，9），所以对于直线y=x，令x=27，则y=，所以第四个正方形的边长为，令x=27+，则y=， 第五个正方形的边长为，同理可得第六个正方形的边长为，所以S3=考点：1正方形的性质；2一次函数图像上点的坐标特点6243【

12、解析】试题分析：设x=1，=243两边乘以1，得=243，故答案为：243考点：代数式求值7【解析】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，x+4y=，所以S2=x+4y=考点：勾股定理的证明8【解析】试题解析：如图，延长GP交DC于点H，P是线段DF的中点，FP=DP，由题意可知DCGF，GFP=HDP，GPF=HPD，GFPHDP，GP=HP，GF=

13、HD，四边形ABCD是菱形，CD=CB，CG=CH，CHG是等腰三角形，PGPC，（三线合一）又ABC=BEF=60°，GCP=60°，考点：1菱形的性质；2全等三角形的判定与性质；3等腰三角形的判定与性质9（1）证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接OE根据OB=OE得到OBE=OEB，然后再根据BE是ABC的角平分线得到OEB=EBC，从而判定OEBC，最后根据C=90°得到AEO=C=90°证得结论AC是O的切线 （2）连接OF，利用S阴影部分=S梯形OECFS扇形EOF求解即可试题解析：（1）连接OEOB=OE，OBE=OEB，BE是

14、ABC的角平分线，OBE=EBC，OEB=EBC，OEBC，C=90°，AEO=C=90°，AC是O的切线；（2）连接OFsinA=，A=30°，O的半径为4，AO=2OE=8，AE=，AOE=60°，AB=12，BC=AB=6，AC=，CE=ACAE=OB=OF，ABC=60°，OBF是正三角形FOB=60°，CF=64=2，EOF=60°S梯形OECF= S扇形EOF=，S阴影部分=S梯形OECFS扇形EOF=考点：1切线的判定；2扇形面积的计算10（1）3；（2）详见解析；（3）（-，3）【解析】试题分析：（1）把点B

15、（1，3）代入得到k的值；（2）通过证明，又P=P，进而得到PDCPAB，所以PDC=PAB，所以DCAB，根据平行四边形的判定得到四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形，所以AF=DC，DC=BE，进一步证得AE=BF；（3）设P（m，3），则D（m，0），A（m，），由题意得C（0，3），根据点的坐标表示PCD和PAB的面积，四边形ABCD的面积等于PAB和PCD的面积的差，据此解得m的值，即可得到点P的坐标试题解析：（1）把点B（1，3）代入得，解得k=3故答案为：3；（2）设P（m，3），则D（m，0），A（m，），由题意得C（0，3），又P=PPDCPAB，PDC=PAB，DC

16、AB，又ADCF，DECB，四边形ADCF和四边形DEBC都是平行四边形，AF=DC，DC=BE，AF=BE，AE=BF；（3） 设P（m，3），则D（m，0），A（m，），由题意得C（0，3），所以，所以-=4，解得m=，所以点P（-，3）考点：相似三角形的判定和性质；坐标与图形；平行四边形的判定11（1）证明见试题解析；（2）证明见试题解析；（3）证明见试题解析【解析】试题分析：（1）由平行线的性质和圆周角定理得出，进而得出答案；（2）由ADPDBC，即可得出答案；（3）由ABPDBA，得出=DBPB，再利用（2）中所求得出答案试题解析：（1）ADBC，ADB=BDC，AB=BC；（2）A

17、PB=BAD，BAD+BCD=180°，APB+APD=180°，BCD=APD，又ADB=CBD，ADPDBC，DPBD=ADBC；（3）APB=BAD，BAD=BPA，ABPDBA，=，=DBPB，+ADBC=DBPB+ADBC，由（2）得：DPBD=ADBC，+ADBC=DBPB+DPBD=DB（PB+DP）=，即考点：1相似三角形的判定与性质；2圆周角定理；3综合题；4压轴题12（1）；（2）Q（，）或（，）；（3），【解析】试题分析：（1）由tanACO=，求出OA的值，即可得出A点的坐标；然后把A点的坐标代入，求出b的值，即可得出二次函数的解析式（2）由Q为抛物

18、线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（，n）；然后根据OQC=CQP、CQP=OCQ，可得OQC=OCQ，所以OQ=OC，据此求出n的值，进而得出Q点坐标即可（3）根据题意，分三种情况：当时；当时；当时；然后根据二次函数的最值的求法，求出满足题意的实数、（），当时，y的取值范围为即可试题解析：（1）如图1，连接AC，二次函数的图象与y轴的交点为C，C点的坐标为（0，4），tanACO=，又OC=4，OA=1，A点的坐标为（1，0），把A（1，0）代入，可得0=1+b4，解得b=3，二次函数的解析式是：；（2）如图2，抛物线的对称轴是：，Q为抛物线对称轴上的一点，设点Q的坐标为（，n），抛物线的对称

19、轴平行于y轴，CQP=OCQ，又OQC=CQP，OQC=OCQ，OQ=OC，解得n=，Q点坐标是（，）或（，）（3）当时，二次函数单调递减，y的取值范围为，由，解得=3，2，2，由，解得=3，2，2，；当时，、当时，可得，y的取值范围为，由，可得，由，可得=3，2，2，没有满足题意的、；、当时，可得，y的取值范围为，解得：，1.981.92=3.93，没有满足题意的、当时，二次函数单调递增，y的取值范围为，××，可得：，0，=0，把代入，可得：，没有满足题意的、综上，可得：，当时，y的取值范围为考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3二次函数的最值；4最值问题；5综合题；6压

20、轴题13（1）；（2）（1，）或（1，）；（3）F（1，4）或（1，4）或（1，12）【解析】试题分析：（1）把点A，B的坐标代入抛物线解析式，解方程组即可（2）作DM抛物线的对称轴于点M，设G点的坐标为（1，n），由翻折的性质，得到BD=DG；然后求出点D、点M的坐标，以及BC、BD的值；在RtGDM中，由勾股定理，求出n的值，即可求出G点的坐标（3）分三种情况讨论：当CDEF，且点E在x轴的正半轴时；当CDEF，且点E在x轴的负半轴时；当CEDF时；然后根据平行四边形的性质，求出点F的坐标各是多少即可试题解析：（1）抛物线经过点A（6，0），B（4，0），解得，抛物线的解析式是：；（2）如

21、图，作DM抛物线的对称轴于点M， ，设G点的坐标为（1，n），由翻折的性质，可得BD=DG，B（4，0），C（0，8），点D为BC的中点，点D的坐标是（2，4），点M的坐标是（1，4），DM=2（1）=3，B（4，0），C（0，8），BC=，BD=，在RtGDM中，32+（4n）2=20，解得n=，G点的坐标为（1，）或（1，）；（3）抛物线的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形当CDEF，且点E在x轴的正半轴时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则，解得，点F的坐标是（1，4），点C的坐标是（1，0）；当

22、CDEF，且点E在x轴的负半轴时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则，解得，点F的坐标是（1，4），点C的坐标是（3，0）；当CEDF时，如图，由（2），可得点D的坐标是（2，4），设点E的坐标是（c，0），点F的坐标是（1，d），则，解得：，点F的坐标是（1，12），点C的坐标是（3，0）；综上，可得抛物线的对称轴上存在点F，使得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标是（1，4）、（1，4）或（1，12）考点：1二次函数综合题；2分类讨论；3平行四边形的判定与性质；4存在型；5翻折变换（折叠问题）综合题；6压轴题1

23、4（1）；（2）2【解析】试题分析：（1）解方程组，得A（1，2），然后把A（1，2）代入中求出k的值即可得到反比例函数解析式；（2）解方程组，得D（2，1），再利用x轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，由三角形面积公式求解即可试题解析：（1）解方程组，得：，则A（1，2），把A（1，2）代入得k=1×2=2，所以反比例函数解析式为；（2）解方程组，得或，则D（2，1），当y=0时，x+1=0，解得x=1，则B（1，0）；当y=0时，x+3=0，解得x=3，则C（3，0），所以BCD的面积=×（3+1）×1=2考点：反比例函数与一次函数的交点问题15（1）证明见试

24、题解析；（2）BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半【解析】试题分析：（1）连结OB、OD，如图1，由于D为BC的中点，由垂径定理的推理得ODBC，BOD=COD，即可得到BOD=M=60°，则OBD=30°，所以ABO=90°，于是得到AB是O的切线；（2）作DMAB于M，DNAC于N，连结AD，如图2，由ABC为正三角形，D为BC的中点，得到AD平分BAC，BAC=60°，利用角平分线性质得DM=DN，得MDN=120°，由EDF=120°，得到MDE=NDF，于是有DMEDNF，得到ME=NF，得到BE+CF=BM+CN，

25、由BM=BD，CN=OC，得到BE+CF=BC，即可判断BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半试题解析：（1）连结OB、OD，如图1，D为BC的中点，ODBC，BOD=COD，ODB=90°，BMC=BOC，BOD=M=60°，OBD=30°，ABC为正三角形，ABC=60°，ABO=60°+30°=90°，ABOB，AB是O的切线；（2）BE+CF的值是为定值作DMAB于M，DNAC于N，连结AD，如图2，ABC为正三角形，D为BC的中点，AD平分BAC，BAC=60°，DM=DN，MDN=120°

26、;，EDF=120°，MDE=NDF，在DME和DNF中，DME=DNFDM=DN，MDE=NDF，DMEDNF，ME=NF，BE+CF=BMEM+CN+NF=BM+CN，在RtDMB中，DBM=60°，BM=BD，同理可得CN=OC，BE+CF=OB+OC=BC，BE+CF的值是定值，为等边ABC边长的一半考点：1切线的判定；2等边三角形的性质；3定值问题；4探究型；5综合题；6压轴题16（1）m=4，k=-4；（2）；（3）存在，P点坐标为（0，）或（0，）【解析】试题分析：（1）AOB的面积为2，点A的坐标为（-1，m）得，求出m的值，把点A坐标代入求得k的值即可；（

27、2）把A（-1,4）代入y=ax+3求出一次函数的表达式，联立，解方程组求出点C的坐标，进而求出AOC的面积；（3）假设存在，设P点坐标为（0，c）有：=6，进而求出c的值即可试题解析：（1）依题意得，m=4，A（-1,4），把点A（-1,4）代入得，k=-4，答：m=4，k=-4；（2）把A（-1,4）代入y=ax+3得：4=-a+3，解得a=-1，y=-x+3，又反比例函数的表达式为，联立，解得，C的坐标为（4，-1），又当x=0时y=-x+3=-0+3=3，OD=3，=；（3）答：存在 理由： 假设存在，设P点坐标为（0，c）有：=6，解得或，P点的坐标为（0，）或（0，）， 故存在P点

28、使得PAC的面积为6考点：反比例函数与一次函数综合题17（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：连接AC，根据已知条件利用等角对等边可以得到CF=BF；作CGAD于点G，先利用HL判定RtBCERtDCG，推出BE=DG，根据边之间的关系可求得BE的值，再根据相似三角形的判定得到BCEBAC，根据相似三角形的对应边成比例，可得到BC2=BEAB，这样便求得BC的值，注意负值要舍去试题解析：（1）连接AC，如图C是弧BD的中点BDC=DBC又BDC=BAC在ABC中，ACB=90°，CEABBCE=BACBCE=DBCCF=BF；（2）作CGAD于点G，C是弧BD的中点CAG=BA

29、C，即AC是BAD的角平分线CE=CG，AE=AG在RtBCE与RtDCG中，CE=CG，CB=CDRtBCERtDCG（HL）BE=DGAE=AB-BE=AG=AD+DG即6-BE=2+DG2BE=4，即BE=2又BCEBACBC2=BEAB=12BC=±2（舍去负值）BC=2考点：圆周角定理；相似三角形的判定与性质18（1）a；（2）2；（3）【解析】试题分析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2，边长为a；（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；（3）参照小明的解题思路，对问题做同样

30、的等积变换如答图1所示，三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和等于等边三角形ABC的面积，故阴影三角形PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和据此列方程求出AD的长度试题解析：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，每个等腰直角三角形的面积为：a×a=a2，则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等，这个新正方形的边长为a；（2）四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2；（3）如图1所示，分别延长R

31、D，QF，PE，交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W由题意易得：RSF，QET，PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于ABC的边长不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a如答图2所示，过点R作RMSF于点M，则MF=SF=a，在RtRMF中，RM=MFtan30°=a×=a，SRSF=a×a=a2过点A作ANSD于点N，设AD=AS=x，则AN=ADsin30°=x，SD=2ND=2ADcos30°=x，SADS=SDAN=×x×x=x2三个等腰三角形RSF，QET，PDW的面积和=3SRSF=3

32、×a2=a2，SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS，=3×x2，得x2=，解得x=或x=-（不合题意，舍去）x=，即AD的长为考点：四边形综合题19（1）AE=2CD，证明详见解析；（2）2或8【解析】试题分析：（1）根据GCDGAE后即可证明猜想正确（2）分当点F在线段AB上时和点F在线段BA的延长线上时利用AGHAEB求得线段BD的长即可试题解析：（1）线段AE、CD之间的数量关系为AE=2CD证明：如图1，延长AC与直线l交于点G依题意，可得1=2ACB=90°，3=4BA=BGCA=CGAEl，CDl，CDAEGCDGAE，AE=2CD（2）解：当点F在线段AB上时，如图2，过点C作CGl交AE于点H，交AB于点G2=HCB1=2，1=HCBCH=BHACB=90°，3+1=HCB+4=90°3=4CH=AH=BHCGl，FCGFEB，设CH=5x，BE=6x，则AB=10x在AEB中，AEB=90°，AE=8x由（2）得，AE=2CDCD=4，AE=8x=1AB=10，BE=6，CH=5CGl，AGHAEB，H