知识讲解-指数函数及其性质-基础

1、文档收集于互联网，已重新整理排版word版本可编辑欢迎下载支持.指数函数及其性质编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1 掌握指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性，明确指数函数的左义域：2 掌握指数函数图象：(1) 能在基本性质的指导下.用列表描点法画出指数函数的图象，能从数形两方而认识指数函数的性质:(2) 掌握底数对指数函数图象的影响；(3) 从图象上体会指数增长与直线上升的区别.3.学会利用指数函数单调性来比较大小，包括较为复杂的含字母讨论的类型；4通过对指数函数的概念、图彖、性质的学习，培养观察、分析归纳的能力，进一步体会数形结合的思 想方法：5通过对指数函数的研究，要认识到数

2、学的应用价值，更善于从现实生活中发现问题，解决问题.【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=as(a>0且aHl)叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数左义域为R.要点诠释：丄(1) 形式上的严格性：只有形如y=a (a>0且aHl)的函数才是指数函数.像y = 2-3 y = 27, y = 3V +1等函数都不是指数函数.(2) 为什么规左底数&大于零且不等于1：如果a = 0.则% > 0H寸，/恒等于0, x < OlH, a”无意义 如果gvO,则对于一些函数，比如y = (-4)',当x = l，时，在实数范用内函数值不存在.2 4

3、* 如果a = l,则y = T= 1是个常量，就没研究的必要了.要点二、指数函数的图象及性质：Xy=a0<a<l时图象a>l时图象图象性质泄义域R，值域(0, +8)a°二1,即x=0时,y=l,图象都经51(0, 1)点才即x=l时，y等于底数a在泄义域上是单调减函数在泄义域上是单调增函数x0 时，ax>lx0 时，0<ax<lx>0 时，0<az<lx>0 时，ax>l既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：(1) 当底数大小不住时，必须分“ a>rf和“Ovovl”两种情形讨论。(2) 当0va< 1时

4、，x +oc,y>0；当g>1 时x -y>0o当g>1时，"的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快。当0<GV1时，"的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快。1 Y(3) 指数函数y =与，=- 的图象关于y轴对称。ci)要点三、指数函数底数变化与图像分布规律(1)y = aA 歹二')?=疋y = dx贝lj： 0<b<a<l<d<c行比较.又即：xG(0,+8)时，bx <ax <dx <cx (底大幕大) xe (oo, 0)时，bx >ax >dx >cx(2

5、) 特殊函数y = 2 y = 3v, y = 4) y =(分的图像：要点四.指数式大小比较方法(1) 单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进(2) 中间量法(3) 分类讨论法比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为： 若A-3>0oA>3； A-BvOoAvB： A B = 0o4 = B；AA 当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断一>1,或一V1即可.BB【典型例题】类型一、指数函数的概念例1函数y = (/3a + 3”是指数函数，求d的值.【答案】2【解析】由)，=3-3° + 3)“是指数函数,a2 - 3。+ 3 = 1,

6、 。>0,且a 丰 1,a = 1 或a = 2,a > 0且“ H 1,所以。=2【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：(1) 切入点：利用指数函数的定义来判断；(2) 关键点：一个函数是指数函数要求系数为1,底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变 Mx举一反三：【变式1】指岀下列函数哪些是指数函数？(1) y = 4T： (2) y = x4 ： (3) y = -4v: (4) y = (-4)r:(5) y = (2a-)x(a> 丄且 “Hl)：(6) y = 4x.2【答案】(1)(5) (6)【解析】(1) (5) (6)为指数函数其中(6) y = 4

7、"v=丄，符合指数函数的左义，而(2)中底 I 4丿数兀不是常数而4不是变数；(3)是-1与指数函数4丫的乘积：(4)中底数-4<0,所以不是指数函数.类型二、凿数的定义域.值域 例2求下列函数的立义域、值戚.尸占：y二47+1；严冷；(4) y = a筒 (a为大于1的常数)3【答案】(1) R，(0, 1)： (2) R _,+8)； (3)41, a) U (a> +8)【解析】(1)函数的定义域为R (I对一切xwR,(1 + 3J 1y =1 + 3""-需，又5,1,+s23V-1).0,+CO): (4) (-8, - 1)U1, +8)

8、 o<!<1,1 + 3” o<i-!<1 + 3X- 1<"TTF<0,值域为(0, 1)1文档来源为:从网络收集整理word版本可编辑.2 "=即x=-l时，y取最小21 3(2) 泄义域为 R, y = (2*)22+1 = (2"一)2 +-, T 2x>0.2 43 33値一，同时y可以取一切大于一的实数，：值域为,+s).4 44(3) 要使函数有意义可得到不等式32-1>0,即32x-! >3"2 ,又函数y = 3r是增函数，所以9,值域是0,+s)2x-l>-2,即x>-

9、9 即一1,+s- 29 yr 1(4) V -1 = >0泄义域为(-8, -l)ul, +8),x+x+1i/ v iIO且、!工1, y =»1且$ =(八丫利 Hd, .I值域为1, a) U (a, +°°). x+x+【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中H1不能遗漏.举一反三：【变式1】求下列函数的左义域：(l) y = 2宀(2)=3曲(3) y = J2' -1(4) y = Jl -d' (a > 0, a H 1)【答案】(1) R： (2) (-

10、oo,3; (3) 0,+co)； (4) &>1 时，(-oo,0: 0<a<l 时,0,+oo) 【解析】(1)R（2）要使原式有意义，需满足3-xMO,即x<3.即（-oo,3（3）为使得原函数有意义，需满足2-1N0,即21,故x>0,即0,+s）（4）为使得原函数有意义，需满足1-6/'>0,即/S1,所以a>l时，（-oo,0 ； 0<a<l时，0,+s）. 【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幕的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用0

11、例3讨论函数/（对的单调性，并求其值域.【思路点拨】对于XWR, ->0恒成立，因此可以通过作商讨论函数/（x）的单调区间此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果.【答案】函数/（X）在区间（一8, 1）上是增函数，在区间1, +OQ）上是减函数 （0, 3【解析】解法一：T函数/（X）的泄义域为（一 8, +8）,设XI、X2W （ 8, +8）且有X1VX2，（|、丘-2勺/ j Y"2x,a/（X2）=M ，/（x,）=k ，血）_13(1) 当 xi<x2< 1 时，X|+x2<2t 即有 Xi+Xz-2&l

12、t;0.又VX2Xj>0» A(x2xj)(x2+xj 2)<0>又对于xWR, /（x） > 0恒成立，二/（心）>/（斗）函数/（x）在（-OO, 1）上单调递增.(2) 当 1 £XVX2 时，X1+X2>2,即有 X1+X22>0 又 V X2 Xl>0» ' (X2 X)(x2+X1 2)>0,则知<1. ./Cv2)</(xI).函数/（X）在1,十8）上单调递减.综上，函数/（X）在区间（一 8, 1）上是增函数.在区间1, +8）上是减函数.函数/（x）的值域为（0, 3/、

13、“ 解法二：函数/（羽的下义域为R，令u=x2-2x，则/（w）=Vu=x22x=(x 1 )2 1,在(一8,1上是减函数，f(u)=在其左义域内是减函数函数/（X）在（一8, 1内为增函数.又=在其定义域内为减函数，而u=x2-2x=（x-l）2-l在1, +8）上是增函数，.函数/（X）在1, +°°）上是减函数.值域的求法同解法一.【总结升华】由本例可知，研1ty = afx型的复合函数的单调性用复合法，比用泄义法要简便些，般地有：即当a>l时，y = 的单调性与y = /（x）的单调性相同：当OVaVl时，的单调与 y = /（x）的单调性相反.举一反三：【

14、变式1】求函数y = 3?+如2的单调区间及值域3 31【答案】xe（-上单增，在xe-,+eo）上单减.（0,342 2【解析】1复合函数一一分解为：u二-+3x-2,y=3u：2利用复合函数单调性判断方法求单调区间：3求值域.设 u=-x：+3x-2,y=3u,其中尸3"为R上的单调增函数，u=-x:+3x-2在兀e （y>,二上单增，2-3u二-疋+3x-2 在 x e |,+co）上单减，2则y =在w（乜上上单增，在xe|-,+oo）上单减.2 2又 u=-x3+3x-2 = -（x-）2+-<-, y = 3 宀“的值域为（°, 3齐.244【变式2

15、】求函数f（x） = c/-2x（其中«>0,且°工1）的单调区间.【解析】当a>l时，外层函数尸¥在（-s, + s）上为增函数，内函数u=x：-2x在区间（-0,1）上为减函 数，在区间1,4-0）上为增函数，故函数f（x）=axi-2x在区间（8,1）上为减函数，在区间1 ,+oo）上为增函 数；当0"1时，外层函数y二寸在(-s, + s)上为减函数，内函数u二x=2x在区间(yU)上为减函数，在 区间1,4-0)上为增函数，故函数f(X)=在区间(YO,1)上为增函数，在区间l,+oo)上为减函数.ax -1例4i正明函数/(X)=

16、 -一(a > 1)在左义域上为增函数.a +1【思路点拨】利用函数的单调性立义去证明。【解析】定义域为xeR,任取xKx“_2(沪一泸)一厲 +1)(° 勺 +1)(八+1>0, aX2 +1 > 0 ,(八+1)(卢+1)>0,又 a>l, Xi<x3t /. ax < aX1,/. d勺ax： < 0 >f (xj <f (x：),ax _ 1则fM = -一(a > 1)在左义域上为增函数a +1另.aXl - aX1 = aXl (1 一 泸勺),V «r, >0, a>l 且 xr&g

17、t;0,： a "厲 > 11/.1 。勺-勺 v o【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数因此，在学习中，尽量体 会从一般到特殊的过程.例5判断下列各数的大小关系：1 £ 1(1)1. 8a与 18(-)7,3(-) 2(3) 2匕(2. 5)°, (|)2-5(4)1严与“"(“>0,(心1)【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。1 £ 1 1【答案】(1) 1.81. 8 (2) (-)7<(-/2<34(3) (-)15<(2.5)0<2i53 3(4) 当a>l

18、时，N <(声,当Oal时，涉> N【解析】IV(1)因为底数1.8>b所以函数y=l. 8X为单调增函数， 又因为a<a+l,所以1.8W1.8二(2)因为3°= - j ,又)，=- 是减函数，所以(-)5<(-)2< -I ,即(-)J<(-)'2<34.>3丿3 /333/33(3) 因为 225 > 1,<1,所以(|)2-5<(2.5)°<22-5(4) 当 &>1 时，3当 oa<i 时，N N 【总结升华】(1) 注意利用单调性解题的规范书写：(2) 不

19、是同底的尽量化为同底数幫进行比较(因为同底才能用单调性)；(3) 不能化为同底的，借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“(T和)举一反三:【变式1】比较大小：(D22-1 与 2s-3(2)3. 55与 3. 23(3)0. 9与 1.°(5) 1.5-02, (|)4)5.【解析】''(1)221<2(2) 3. 53>3. 23.观察两函数值，底数不同，而指数不变一一不是指数函数，而是y=x它为增函数.(3) 由 0. 9"° 0<0. 9<1,-030=09>1,1. i>i, -o. i<o=&

20、gt;o<i. rb 则 o. 9>i r01：(4) 由指数函数图象相对位置关系一一数形结合，(5) V 1.5-0-2 = (|)0-2,又函数 y = (|丫 为减函数，x > 0 => 0 v y v 1 , A 1> (|)0-2 > (|)5 > 0,4 14-?2-* = ()” 为增函数,x = - >0时，y>l, (-)3 >(-)02 >(-)3.3 333314 12另解：幕函数y = x3为增函数，则有(-)3 > 1 > (-)3,(下略).【高清课堂：指数函数369066例1】丄 1【变

21、式2】利用函数的性质比较2 3了,【答案】3$ >2? >661311作岀y = 8y = 9y = 6x的图象知【变式3】比较1.5 %1.3%? 1【答案】(二尸 <1.5'0-2 <1.30/772 - 3z(x1-3的大小.【解析】2匸2&=(2)& =8&3 2 - 2 -97【解析】先比较15亠2=（3）亠2=（）5与（）3的大小由于底数=w（0, 1）, y = （-Y在R上是233331 1 2 - 2 - 2减函数，V ->->0, 0<(-)3 <(-)5 <(-)°=1>

22、再考虑指数函数y=l. 3由于1.3>L 所以9 1 I所以35 > 25 > 6y=l3在 R 上为增函数, A3 <1.5-02 <1.307.3【总结升华】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同, 则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个 数（如0, 1等）分别与之比较，从而得出结果总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进 行判断.例6.（分类讨论指数函数的单调性）化简：4/-2°+斥【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对进行分类

23、讨论，去掉绝对值。举一反三：【变式1】如果«2r+I < «r-5(。>0,且dHl),求x的取值范围.【答案】当0<GV1时，x>-6；当。>1时，x<-6【解析】(1)当0 VdV 1时，由于«2r+, < ax-5,:.2x+ >x-5.解得(2)当。>1 时，由于 a2x+i < ax5 ,2x+U5,解得xS-6.综上所述，x的取值范围是：当0 vgv 1时，x>-6；当。>1时，x<-6.类型四、判断凿数的奇偶性例7.判断下列函数的奇偶性：f(x) = (1 + l)(.r)

24、(0(X)为奇函数)2' 1 2【答案】偶函数【解析】f(X)上义域关于原点对称( 0(x)泄义域关于原点对称，且f(X)的泄义域是0(x)泄义域除掉11117*v1 2X 10这个元素)，令g(x)= m + 7则虻心产7+厂占+厂厂ITg(x)为奇函数,又V(p(x)为奇函数，f(x)为偶函数.【总结升华】求/(x) = g(x)0(x)的奇偶性，可以先判断g(x)与0(%)的奇偶性，然后在根据奇奇二偶，偶偶二偶，奇偶二奇，得岀f(x)的奇偶性.举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：/(x) = + -2 -1 2【答案】偶函数【解析】定义域x|xeR且xHO,1 I2t 12V 1又 f(-x) = -x(+ -) = _x(+ -) = x( _ -)'2"x-l21-2V22V-122r-l + l 1,11 z 11、=H -T)=牙