c时间序列第三章平稳时间序列模型的特性

1、应用时间序列分析应用时间序列分析第三章第三章 ARMA模型的特性模型的特性本章结构本章结构格林函数和平稳性格林函数和平稳性1.逆函数和可逆性逆函数和可逆性2.自协方差函数自协方差函数3.自谱自谱4. 第二章从普通回归出发导出了第二章从普通回归出发导出了ARMA模型。因为模型。因为静态回归根本不存在动态性，在时刻静态回归根本不存在动态性，在时刻 t 进入系统的进入系统的扰动扰动 只影响系统只影响系统 t 时刻的行为，而对后继行为无时刻的行为，而对后继行为无任何影响。也就是说，静态回归模型描述的系统，任何影响。也就是说，静态回归模型描述的系统，只有一个变量对另外其他变量的静态依存关系。只有一个变量

2、对另外其他变量的静态依存关系。 3t4在在ARMA模型的动态形式下，影响系统的扰动模型的动态形式下，影响系统的扰动 ta被“牢记记”一定时期，从而影响系统的后继行为。正是系统的这种动一定时期，从而影响系统的后继行为。正是系统的这种动态性，引起了时间数列中的依存关系，从而决定了时间序列态性，引起了时间数列中的依存关系，从而决定了时间序列中的依存关系不能用普通回归模型描述，只能用中的依存关系不能用普通回归模型描述，只能用ARMA模型。模型。 那么，如何刻画系统的动态性呢？那么，如何刻画系统的动态性呢？ 本章将较深入地本章将较深入地分析分析ARMA 模型的特性模型的特性，为进一步识别，为进一步识别模

3、型、估计参数、解释模型以及预测提供必要的理论基础。模型、估计参数、解释模型以及预测提供必要的理论基础。 5 时间序列分析方法从本质上可以分成两个大类：一是时域时间序列分析方法从本质上可以分成两个大类：一是时域分析（分析（Time domain）;另一是频域分析（另一是频域分析（Frequency domain）。它们对相同的序列有完全不同的理解角度。时域）。它们对相同的序列有完全不同的理解角度。时域分析认为时间序列是过去值和一些相关变量的函数，也就是说，分析认为时间序列是过去值和一些相关变量的函数，也就是说，当前的表现是由过去的状态和一些外部因素决定的，通过过去当前的表现是由过去的状态和一些外

4、部因素决定的，通过过去和当前的序列数据可以预知将来的表现；而频域分析则认为时和当前的序列数据可以预知将来的表现；而频域分析则认为时间序列是由若干个具有不同周期的正弦波成分叠加而成，通过间序列是由若干个具有不同周期的正弦波成分叠加而成，通过复杂的数学工具对这些周期成分进行识别和分解，就可以认识复杂的数学工具对这些周期成分进行识别和分解，就可以认识时间序列的特性，掌握它的变化规律。时域分析方法和频域分时间序列的特性，掌握它的变化规律。时域分析方法和频域分析方法各有特色，不同专业背景的人对两种方法各有偏爱。当析方法各有特色，不同专业背景的人对两种方法各有偏爱。当然如果两者结合使用则会是分析更有说服力

5、。然如果两者结合使用则会是分析更有说服力。 在时间序列的时域分析方法当中，也有不同的流派和方法。在时间序列的时域分析方法当中，也有不同的流派和方法。其中简单回归方分析方法、趋势外推法、指数平滑法等都是产其中简单回归方分析方法、趋势外推法、指数平滑法等都是产生时间较长且较为简单直观的分析方法。而生时间较长且较为简单直观的分析方法。而ARIMA模型、模型、ARCH模型等则是较新的、近期才逐渐受到关注的方法。这些模型等则是较新的、近期才逐渐受到关注的方法。这些方法对时间序列有着不同的考察角度，因而有着自己适合的分方法对时间序列有着不同的考察角度，因而有着自己适合的分析领域和用途。析领域和用途。6第一

6、节第一节格林函数和平稳性格林函数和平稳性7一、线性常系数差分方程一、线性常系数差分方程 在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也在时间序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要，也是极为有效的工具。事实上，任何一个是极为有效的工具。事实上，任何一个ARMA模型都是一个模型都是一个线性差分方程。因此，线性差分方程。因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方模型的性质往往取决于差分方程根的性质。描述连续时间系统动态性的工具是常系数线性程根的性质。描述连续时间系统动态性的工具是常系数线性微分方程，线性定常离散时间系统的主要数学工具是常系数微分方程，线性定常离散时间系统的主要数学工具是常系数差分

7、方程差分方程 : : )()() 1()(01kukyankyankyn(3.1.1) 上式是普通的上式是普通的n阶差分方程，其中阶差分方程，其中 为系统参数的函数，为系统参数的函数， 10,naa 当其为常数时当其为常数时, ,就是常系数就是常系数n阶差分方程，阶差分方程， 是个离散序列是个离散序列,也也 )(ku叫做叫做驱动函数驱动函数； )(ky是是系统的响应系统的响应。 时时,为齐次差分方程为齐次差分方程. 0)(ku 求解求解n阶齐次差分方程就是在给定输出时间序列阶齐次差分方程就是在给定输出时间序列n个初始条个初始条件件 8) 1(,),1 (),0(nyyy下，求出输出时间序列下，

8、求出输出时间序列 ) 1(),(nyny来。当来。当 然，最好是求出一般解。然，最好是求出一般解。ARMA模型完全等价模型完全等价于一个差分方程，驱动函数可以看作是于一个差分方程，驱动函数可以看作是 )(112211tuaaaantnttt(3.1.2)那么，如何求解差分方程呢那么，如何求解差分方程呢?与微分方程一样，先求相应与微分方程一样，先求相应的齐的齐次方程的通解，然后求一个原方程的特解，原方程的解等于通解与特解的线性组合。原方程的解等于通解与特解的线性组合。齐次线性差分方程的解齐次线性差分方程的解n特征方程（特征方程（ ）n特征方程的根称为特征根，记作特征方程的根称为特征根，记作n齐次

9、线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解n不相等实数根场合不相等实数根场合n有相等实根场合有相等实根场合n复根场合复根场合002211aaannnnnn,21knnkkccckf2211)(knnknnkddcckckcckf111121)()(kkY)(knnkikikkknnkkccececccckf33212211)()(非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的解 n非齐次线性差分方程的非齐次线性差分方程的特解特解n使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解n求特解，要根据驱动函数的具体形式而定求特解，要根据驱动函数的具体形式而定n非齐次线性差分方程的

10、通解非齐次线性差分方程的通解n齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解f(k) 和非齐次线性差分方和非齐次线性差分方程的特解程的特解 y0(k) 之和之和)()()(0kykfky例例3.1 11bkayky)() 1(解：求相应的齐次差分方程的通解，设 kky)(则有 aakk, 01 是相应的齐次方程的通解。 kaky)(求特解，设 )(ky常数 d，则 abdbadd1,故原方程的通解为 abCakyk1)(解差分方程n例例3.2 解差分方程解差分方程n解解 先求齐次方程的通解，先求齐次方程的通解，n设设 则有特征方程为则有特征方程为n则齐次方程的通解为则齐次方程的通解为n 求特解，

11、令求特解，令 ，得，得n原方程的通解为原方程的通解为12kkykyky3)(2) 1(3)2(kky)(2, 10232112特征根为：kkkkCCky2)(21kCky3)(21CkkCCky3212)(21例例3.3： ,(1,2)iCi 130)(9) 1(6)2(kYkYkY解：本例是一个二阶齐次方程。为求其通解，同样设 则有 显然有重根321则方程的通解为kkCCkY3)()(21为任意实数，其中kky)(09612kkkn当当n阶齐次差分方程存在阶齐次差分方程存在m个相等的个相等的实根时，实根时，n-m个不相等的实根时，则个不相等的实根时，则方程的通解为方程的通解为14knnkmm

12、kmmCCkCkCkCCky1112210)()( 1. AR(1)系统格林函数的形式系统格林函数的形式15格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。格林函数就是描述系统记忆扰动程度的函数。AR(1)模型为模型为 tttaXX11 （3.1.4） 设设 则二、二、AR(1)系统的格林函数系统的格林函数)(1tyXttatyty)() 1(1AR(1)模型就是一个非齐次差分方程。模型就是一个非齐次差分方程。 依次推下去，并代入依次推下去，并代入(3.1.4)式，可得到：式，可得到： 16 由于在动态条件下，由于在动态条件下， 1211tttaXXtttttttaaXaaXX112211211)(2

13、312tttaXXtttttaaaXX112213311. AR(1)系统的格林函数形式系统的格林函数形式01jjtjtaX(3.1.5)17将将上面二式上面二式代入代入(3.1.4)式，得式，得 tjjjtjjtjaaa011111)(方程的解方程的解(3.1.5)式是驱动函数式是驱动函数 ta的一个线性组合，的一个线性组合， 方程解的系数方程解的系数 函数函数j1由由(3.1.5)得得 )1(111) 1(011011ijaaaXitiijtjjjtjjtn方程方程 的解是的解是 。n它是驱动函数它是驱动函数 的一个线性组合，或者说系统是的一个线性组合，或者说系统是怎样记忆扰动项怎样记忆扰

14、动项 的。同样也可以解释为，在的。同样也可以解释为，在某一时刻进入系统的某一时刻进入系统的 对后继行为的影响程度，对后继行为的影响程度，也就是过去扰动的权重函数。也就是过去扰动的权重函数。n如若如若 则则 随着随着j的增大而缓慢减少，表的增大而缓慢减少，表明系统的记忆较强；相反，若明系统的记忆较强；相反，若 则则 随着随着j的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱。的增大而急剧减小，表明系统的记忆较弱。18tttaXX1101jjtjtaXtata, 11j1, 01j1ta19设两个设两个AR(1)系统的参数分别为系统的参数分别为0.9和和0.1，则这两个系统对，则这两个系统对扰动扰动at的记忆

15、情况如下：的记忆情况如下： j 1 2 3 4 5 6=0.9 0.9 0.81 0.729 0.6561 0.59049 0.531441=0.9 0.9 0.81 0.729 0.6561 0.59049 0.531441=0.1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001=0.1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001 j 7 8 9 10=0.9 0.4782969 0.43046721 0.38742089 0.34867841=0.9 0.4782969 0.43046721 0.38742089 0.3486

16、7841=0.1 0.0000001 0.00000001 0.000000001 0.0000000001=0.1 0.0000001 0.00000001 0.000000001 0.0000000001方程解的系数函数方程解的系数函数j1客观地描述了该系统的动态性，客观地描述了该系统的动态性， 故这个系数函数就叫做故这个系数函数就叫做记忆函数记忆函数，也叫，也叫格林函数格林函数(Greens function) n若用若用 表示格林函数，则表示格林函数，则AR(1)模型的格林函数可以模型的格林函数可以表示为表示为nAR(1)模型可以写成模型可以写成 式中：式中： 表示当前值，表示当前值，

17、 表示前表示前 j 期的值。期的值。 若用若用 k 表示前表示前 j 期的值时，即设期的值时，即设 t-j=k 时，则时，则AR(1)模模型可以写成型可以写成20jGjjG1tajtatkkkttaGX0jjtjtaGXn由于由于nAR（1）模型可用一个无限阶）模型可用一个无限阶MA模型来逼近。模型来逼近。2101jjtjtaX2.AR(1)模型的后移算子表达式及格林函数模型的后移算子表达式及格林函数n延迟算子（后移算子）延迟算子（后移算子）n延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值

18、的时间向过去拨了一个时刻的时间向过去拨了一个时刻 n记记B为延迟算子，有为延迟算子，有 1,pxBxtppt延迟算子的性质延迟算子的性质n n n ，其中其中 10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxB0(1)( 1)nniiiniBC B)!( !ininCin用延迟算子表示差分运算用延迟算子表示差分运算n 阶差分阶差分 n 步差分步差分pk0(1)( 1)pppiittpt iixBxC xtkkttkxBxx)1 ( 利用后移算子利用后移算子25AR(1)可写成 ttaXB)1 (1它的解为 BaXtt11taBBB)1 (3312211

19、01jjtja0jjtjaGjG26(1) 是前是前j个时间单位以前进入系统的扰动个时间单位以前进入系统的扰动 对系统现在行对系统现在行 jGjta为为(响应响应)影响的权数。影响的权数。 (2) 客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。客观地刻画了系统动态响应衰减的快慢程度。 jG(3) 是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间是系统动态的真实描述。系统的动态性就是蕴含在时间 序列中的数据依存关系。序列中的数据依存关系。 (4) 格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数. 3. 格林函数的意义格林函数的意义 27ttt jjjXG a 既然格林

20、函数描述了系统的动态性，那么在随既然格林函数描述了系统的动态性，那么在随机扰动序列已知的条件下，格林函数完全确定了系机扰动序列已知的条件下，格林函数完全确定了系统的行为。故根据已知的扰动序列和格林函数便可统的行为。故根据已知的扰动序列和格林函数便可确定系统的响应。确定系统的响应。三、根据格林函数形成系统响应三、根据格林函数形成系统响应( (时间时间序列序列) ) 281根据根据 ttt jjjXG a生成序列生成序列 n如表如表3.1所示，该题设所示，该题设 ，n表的第表的第1行是时刻行是时刻 t , 取值为取值为0 14； n第第2行是各时刻行是各时刻 t 进入系统的扰动；进入系统的扰动；n

21、第第3行是行是 按按 计算的格林函数的值；计算的格林函数的值；n第第4行是行是 在各时刻的值，就是在各时刻的值，就是 对系统后继行对系统后继行为的作用结果；为的作用结果；n第第5行是行是 在各时刻的值，是在各时刻的值，是 对系统后继行为的作对系统后继行为的作用结果；用结果；n第第18行是行是 在各时刻的值，就是在各时刻的值，就是 对后继行为的对后继行为的作用结果。作用结果。 295 . 01jjG100aGt0a11aGt1a1414aGt14an从表从表3.1第第4 18行这一部分中，若从列看，第行这一部分中，若从列看，第 j 列就是在第列就是在第j 时刻以前进入系统的扰动，对时刻以前进入系

22、统的扰动，对 j 时刻系统响应时刻系统响应 的影响的影响值，显然各列的和便是各以前时刻进入系统的扰动，对值，显然各列的和便是各以前时刻进入系统的扰动，对 j 时刻系统响应的作用结果之和，那就是时刻系统响应的作用结果之和，那就是 的值。的值。30jXjX 各个扰动对系统后继行为的作用各个扰动对系统后继行为的作用 3161 aa2.根据根据 320jjtjtaGX 生成序列 tX表3.2中，第4行 是 对系统当期的行为 的影响；第5行， 是前一时刻进入系统的扰动对 的作用； ；第18行， 是前14期进入系统的扰动对 的作用。 00taGtatX11taGtX1414taGtXn从列看，从列看， 是

23、以前各时刻进入系统的扰动对系统当前行为的是以前各时刻进入系统的扰动对系统当前行为的影响；影响；n从对角线看，可作从对角线看，可作15条平行的对角线。仔细观察，自下而条平行的对角线。仔细观察，自下而上第上第1条是条是 ，第，第 2 条是条是 的值，第的值，第3条是条是 的值，的值，最后，最后1条是条是 的值。的值。3300aGt11aGt22aGt1414aGtn将各对角线与表将各对角线与表 3.1 的各行相比较，可以发现，表的各行相比较，可以发现，表 3.1 的第的第 i行的值就是表行的值就是表 3.2 第第 i 条对角线的值。各对角线的值分别是条对角线的值。各对角线的值分别是 对系统各时刻响

24、应的影响，所以与表对系统各时刻响应的影响，所以与表3.1各行的意义完全相各行的意义完全相同，故在图同，故在图3.1中同时标绘出来。中同时标绘出来。34)14, 1 , 0(jaj3536各个扰动对系统后继行为的作用描述在图3.2中。 37(1) 取负值时，响应波动较大。 (2) 取正值时，响应变得平坦。 (3) 越大，系统响应回到均衡图3.1、图3.2可以知道: 和 5 . 019 . 01生成了两个序列，分别描绘在图3.2和图3.3中，通过比较位置的速度越慢，时间越长。 111对此我们用实例加以说明，对前面的序列分别利用 3.系统参数对系统响应的影响系统参数对系统响应的影响38四、四、AR(

25、1)系统的平稳性系统的平稳性n为了能够直观地根据系统响应的动态性得出平稳性为了能够直观地根据系统响应的动态性得出平稳性的判别条件，下面我们将给出系统稳定性的概念以的判别条件，下面我们将给出系统稳定性的概念以及稳定性与平稳性的关系及稳定性与平稳性的关系39 40 渐近稳定性渐近稳定性是指系统受扰后达到任意初始状态，由此出是指系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量都随时间的增长而趋于平衡状态。发的状态向量都随时间的增长而趋于平衡状态。渐近稳定系渐近稳定系统一定是平稳的。统一定是平稳的。而系统的不稳定性则是指，如果系统受扰而系统的不稳定性则是指，如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态

26、向量将随时间而趋向后达到任意初始状态，由此出发的状态向量将随时间而趋向无穷。无穷。不稳定系统一定是非平稳的。不稳定系统一定是非平稳的。 如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态如果系统受扰后达到任意初始状态，由此出发的状态向量随时间的增长既不回到均衡位置，又不趋于无穷，这向量随时间的增长既不回到均衡位置，又不趋于无穷，这就是系统的临界稳定性。一个就是系统的临界稳定性。一个 边界稳定系统其响应可能边界稳定系统其响应可能是等幅震荡，也可能是常数，因而一定存在趋势或季节性。是等幅震荡，也可能是常数，因而一定存在趋势或季节性。但这些趋势和季节性可能是随机的也可能是确定的，所以，但这些趋势和季节性

27、可能是随机的也可能是确定的，所以，一个临界稳定系统即既可能是稳定的，也可能是非稳定的。一个临界稳定系统即既可能是稳定的，也可能是非稳定的。本书以后所讨论的平稳系统就是指渐近稳定系统。本书以后所讨论的平稳系统就是指渐近稳定系统。1.系统稳定性与非稳定性系统稳定性与非稳定性 41 对于对于AR(1)系统来说，如果系统受扰后，该扰动的作系统来说，如果系统受扰后，该扰动的作用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回用渐渐减小，直至趋于零，即系统响应随着时间的增长回到均衡位置，那么，该系统就是渐近稳定的，也就是平稳到均衡位置，那么，该系统就是渐近稳定的，也就是平稳的。相对于格林函数来说，就是随着

28、的。相对于格林函数来说，就是随着 j，扰动的权，扰动的权数数 , ,由于由于 0jG故必有 , 显然 11这就是这就是AR(1)系统的渐近稳定条件，也就是平稳性条件。系统的渐近稳定条件，也就是平稳性条件。 jjG10,1jj2. AR(1)系统的平稳性条件系统的平稳性条件 n若若 ，则称，则称AR(1)为渐进稳定的，也必是平稳的。为渐进稳定的，也必是平稳的。n当当 时，时，n这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的，这时这时，虽然响应不回到其均衡位置，但仍是有界的，这时系统为临界稳定的。系统可能存在某种趋势或季节性。系统为临界稳定的。系统可能存在某种趋势或季节性。n当当 时，时， ，任意小

29、的扰动只要给定，任意小的扰动只要给定足够的时间，就会使系统响应正负趋向无穷，永远不会回足够的时间，就会使系统响应正负趋向无穷，永远不会回到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。到其均衡位置，这时系统便是不稳定的，当然是非平稳的。42111111,) 1(, 111jjG11jGj, 43 所谓所谓Wold分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过分解也叫正交分解，其核心就是把一个平稳过程分解成不相关的随机变量的和。正交和不相关是一致的。由程分解成不相关的随机变量的和。正交和不相关是一致的。由于这一思想是由于这一思想是由Wold引入引入(1938年年)到时序分析中的，故叫做到时序分析中

30、的，故叫做Wold分解。他认为可以用线性空间来解释分解。他认为可以用线性空间来解释ARMA模型的解。模型的解。 如果用线性空间的观点来看如果用线性空间的观点来看AR(1)模型的解模型的解 0jjtjtaGX由于 jta是相互独立的，可看作线性空间的基 (或无限维坐标轴)， ja显然 可由 线性表示，其系数 就是 对于 的坐标， tXjtajGtXjta因而上式也叫做Wold分解式，其系数叫Wold系数。 可见，格林函数和可见，格林函数和Wold系数是同一客体从不同角度观系数是同一客体从不同角度观察的结果，二者是完全一致的。察的结果，二者是完全一致的。Wold系数是线性空间解系数是线性空间解释，

31、格林函数是系统解释。释，格林函数是系统解释。五、格林函数与五、格林函数与Wold分解分解n利用利用Wold分解式可以很容易地得到时间序列的所有统计分解式可以很容易地得到时间序列的所有统计特征，因为特征，因为Wold分解式可以看作是独立随机变量的和。分解式可以看作是独立随机变量的和。n从从 的方差可以看出，当的方差可以看出，当 时，序列的方差无限增时，序列的方差无限增大；大；n当当 时，时， 的方差为无限，因而的方差为无限，因而 的二阶矩不存的二阶矩不存在，于是在，于是 不再是宽平稳了。作为随机游动，其方差就不再是宽平稳了。作为随机游动，其方差就是无限的，所以我们把它看作是是无限的，所以我们把它

32、看作是 AR(1) 的一种特殊形的一种特殊形式式严格地讲，它不是平稳的。严格地讲，它不是平稳的。44tXtXtXtX1111AR（1）过程）过程X t 的方差的方差452120221010101)var()var()var(ajajjjtjjjtjtaaX 461ARMA(2，1)系统的格林函数的隐式系统的格林函数的隐式 利用比较系数法来求得利用比较系数法来求得ARMA(2，1)模型的格林函数。模型的格林函数。ARMA(2，1)模型是一个二阶非齐次差方程模型是一个二阶非齐次差方程 112211tttttaaXXX(3.1.11)设该二阶非齐次差分方程的解为设该二阶非齐次差分方程的解为 0jjt

33、jtaGX,为方便用B算子式 ttaBXBB)1 ()1 (1221(3.1.12)011220()jttttjtjXG aGaG aG B a(3.1.13)六、六、ARMA(2，1)系统的格林函数系统的格林函数 47ttjjjaBaBGBB)1 ()(1 (10221 (3.1.14)由B的同次幂的系数必相等，有 1111011:1100GGG：G2211202111211 122:0()GGGG 31221312213:0GGGGGG41322413224:0GGGGGG1122,3jjjjGGGj 将上式变形得将上式变形得 4802211jjjGGG利用利用B算子式得算子式得 2, 0

34、)1 (221jGBBj在已知系统参数的情况下，我们便可递推地计算出所有的在已知系统参数的情况下，我们便可递推地计算出所有的 jG当当 j 充分大时，格林函数充分大时，格林函数 jG满足满足(3.1.11)式自回归部分相应式自回归部分相应 的差分方程。的差分方程。 49与与ARMA(2，1)系统相类似，将系统相类似，将 tjjjtaBGX)(0代入代入ARMA 模型，展开并整理对比模型，展开并整理对比B的同次幂系数得的同次幂系数得B的幂指数的幂指数,得得: 1:00G1110111011:1GGGG221112202112)(:2GGGG0:0332211GGGGGnnnnnn这样，便可递推地

35、计算出格林函数这样，便可递推地计算出格林函数 jG2. ARMA(n,n-1)系统的格林函数的隐式系统的格林函数的隐式 50ARMA(2，1)系统的特征多项式是个二次多项式系统的特征多项式是个二次多项式, ,设两个设两个特征根分别为特征根分别为12, ,则通解为 jjjggG2211,其中 是任意12,g g常数,其值由初始条件唯一地确定。这里的初始条件为 11111101GGG于是有 01211 122111GggGgg而 1211211G,所以,即 1112211211gggg3. ARMA(2，1)系统的格林函数的显式系统的格林函数的显式 11112,g21221,g51解得解得 则则A

36、RMA(2，1)系统的格林函数为系统的格林函数为jjjG2121212111例如，例如， 524 . 04 . 03 . 1121，,用显式求格林函数。 解：求特征根，即求 04 . 03 . 12的根 )6 . 169. 13 . 1 (21,211(1.30.3)2即 5 . 0, 8 . 021于是，格林函数为 jjjG5 . 08 . 05 . 04 . 05 . 08 . 05 . 08 . 04 . 08 . 0)5 . 08 . 04(31jjn既然既然ARMA(2,1)是平稳的，根据是平稳的，根据Wold分解可知，分解可知， 总可以用相互无关的向量线性表出，即总可以用相互无关的

37、向量线性表出，即n可写成可写成n设分母可分解为设分母可分解为 ，n其中其中 ： 为两个不相等的特征根，则为两个不相等的特征根，则53tXttaBXBB)1 ()1 (122122111)1 (BBaBXtt)1)(1 (21BB21,根据根据Wold分解求分解求ARMA(2,1)系统的格林函数系统的格林函数可见，格林函数为可见，格林函数为 54jtjjjtjjjjtttaaBaBBaBBBX021212121110212121211121212121112111111)1)(1 ()1 (jjJG2121212111n当当 时，特征根时，特征根 是实数，且格林函数是实数，且格林函数是一个指数的

38、和。是一个指数的和。n但是当但是当 时，在复数域内该二项多项式有两时，在复数域内该二项多项式有两个共轭复根，记作个共轭复根，记作n对于对于ARMA(2,1)模型，特征根为模型，特征根为n因为因为 n所以所以550422121,04221ie2ie122112142121,0422122112142121,in三角形式为三角形式为n指数形式为指数形式为56)sin(cos,21i212122arccosie21,n这时格林函数这时格林函数57jjjggG221122111121111422121ieeegiii22111112122422121ieeegiii222111222111221421

39、21422121gggn相位角为相位角为格林函数为格林函数为n这是一个阻尼余弦波，阻尼为这是一个阻尼余弦波，阻尼为A,相位为相位为 ，频率为，频率为 。58221112211142arctan214221arctanigegg21,)cos()cos(22211jAjgggGjjjjj59 AR(2)和和ARMA(1，1)模型是模型是ARMA(2，1)模型的特殊形式模型的特殊形式. ARMA(2，1)的格林函数的格林函数 11211 122121221jjjjjGggAR(2)系统动态性的格林函数，即系统动态性的格林函数，即 ARMA(1，1)系统的格林函数为系统的格林函数为111111111

40、11,00000(),1jjjjjGj 4AR(2)和和ARMA(1，1)系统的格林函数系统的格林函数 )(112112121221211jjjjjG60 比较比较AR(1)和和ARMA(2，1)可以发现，动态性增加，是通可以发现，动态性增加，是通过把一个带有适当系数的项过把一个带有适当系数的项 加到加到AR(1)系统的格林函数之系统的格林函数之上实现的，那么，与此相类似，上实现的，那么，与此相类似，ARMA(n,n-1)系统的格林函系统的格林函数则为数则为j212111211()()()()()()nniinjiiiiiiing 5. ARMA(n,n-1)系统的格林函数系统的格林函数 jn

41、jjjggG2211 611. 用特征根表示的平稳性条件用特征根表示的平稳性条件 对于对于ARMA(2，1)模型格林函数为模型格林函数为jjjggG2211显然，只有当显然，只有当 1, 121时，才能使得时，才能使得 ,0jjG 时这就是这就是ARMA(2，1)系统的平稳性条件，即系统的平稳性条件，即 1, 121也就是，也就是，特征方程的特征根的模在单位圆内特征方程的特征根的模在单位圆内。 对于对于ARMA(n,n-1)模型，有模型，有nii, 2 , 1, 1七、七、ARMA(2，1)系统的平稳性系统的平稳性62对于对于AR(1)系统，平稳性条件为系统，平稳性条件为 2. 用自回归系数表

42、示的平稳性条件用自回归系数表示的平稳性条件111163ARMA(2，1)系统，平稳性条件为系统，平稳性条件为 显然显然2. 用自回归系数表示的平稳性条件用自回归系数表示的平稳性条件1112而而22112又因为又因为2211)1 (即即1112121212211642. 用自回归系数表示的平稳性条件用自回归系数表示的平稳性条件又因为又因为11)(1)1 ()1 (2121212112212即即11265ARMA(2，1)系统的平稳性条件的系统参数形式为系统的平稳性条件的系统参数形式为 系统的平稳性仅与自回参数有关，而与移动平均参数无系统的平稳性仅与自回参数有关，而与移动平均参数无关。特征值的表示

43、形式也说明了这一点，由于特征值仅与关。特征值的表示形式也说明了这一点，由于特征值仅与自回参数有关，而与移动平均参数无关，所以，一切自回参数有关，而与移动平均参数无关，所以，一切ARMA(2，m)系统的平稳性条件均为上式。系统的平稳性条件均为上式。 2. 用自回归系数表示的平稳性条件用自回归系数表示的平稳性条件1112121266平稳性条件的几何图，即平稳区域如图平稳性条件的几何图，即平稳区域如图3.5所示。所示。(1) 当当 01时时,平稳区域为平稳区域为1，2，3。 10(2) 当当 时时,平稳区域为平稳区域为4，5，6。 0220(3) 当当 时，平稳区域为时，平稳区域为1，4。 (4)当

44、当 时时,平稳区域为平稳区域为2，3，5，6。 3. ARMA(2，m)系统的平稳区域系统的平稳区域 第第 2 节节逆函数和可逆性逆函数和可逆性 68用过去的用过去的 X t 的一的一 个线性组合来逼近系统现在时刻的行为个线性组合来逼近系统现在时刻的行为把这种表达形式称为把这种表达形式称为 的的“逆转形式逆转形式”。其中的系数函数。其中的系数函数 0(1)jII 称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。称为逆函数。可见它是一个无穷阶的自回归模型。 一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存一个过程是否具有逆转形式，也就是说逆函数是否存在的性质，通常称为在的性质，通常称为过程是否具有可逆

45、性过程是否具有可逆性，如果一个，如果一个过程过程可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我可以用一个无限阶的自回归模型逼近，即逆函数存在，我们就称该们就称该过程具有可逆性过程具有可逆性，也就是可逆的，否则，就是不，也就是可逆的，否则，就是不可逆的。可逆的。 ttjjjtXBIBIXBIa)1 ()1 (2211tjtjjttttaXIaXIXIX)(1121或或X t 691. AR(1)模型的逆函数模型的逆函数 AR (n)模型本身就是一个逆转形式，并且模型本身就是一个逆转形式，并且 故AR(1)模型和AR(2)模型的逆转形式分别为11tttaXX和1122ttttaXXX显然， A

46、R(1)模型和模型和MA(1)模型的逆函数模型的逆函数 njnjIjj,01 ,)3( ,0,2211jIIIj，nMA(1)模型模型那么那么即即可见可见显然，只有显然，只有 时，才有时，才有 故故MA(1)的可逆条件为的可逆条件为MA(1)的格林函数为的格林函数为 的算子互为倒数。的算子互为倒数。70ttaBX)1 (11122111)1 (1jjtjttttXXXBBBXatjjtjtaXX11)(jjI111, 0,jIj11; 1, 0, 110jGGGjjjIG 和2. MA(1)模型的逆函数模型的逆函数71jjIG 和格林函数 逆函数1,0: ) 1 (111jIIGARjjj1,

47、 0,1: ) 1 (110jGGGMAj11-) 1 () 1 (代替，用代替，就是用求得即可以根据反，参数互换，形式一致，只是符号相的和的jjjjjjGIIGIMAGAR形式也是一致的的和的jjGMAIAR) 1 () 1 (3. 之间的关系之间的关系jjI1nARMA(2,1)和和ARMA(1,2) 的形式也是一致的。的形式也是一致的。nARMA(2,1)格林函数为格林函数为nARMA(1,2)的逆函数如下的逆函数如下n将将 代入上式并整理，得代入上式并整理，得72jjIG 和1111011:1100GGG：G2211202111211 122:0()GGGG 1122,3jjjjGGG

48、j221111tttttaaaXXttaBBXB)1 ()1 (2211ttXBIBIa)1 (2211n那么，逆函数那么，逆函数n在格林函数的表达式中，用在格林函数的表达式中，用 n 即可得到逆函数。即可得到逆函数。 7342213432112322112111)()()()(1)1 (BIIIBIIIBIIBIB3,0)(0)(0)()(22112213422134211232112311222112111111jIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIjjj代替，代替，用代替jjGIn对于模型对于模型n令令n则有则有 n同样同样 74ttaBBXBB)1 ()1 (221221-221

49、22111BBBBBB）（）（-0jjtjttaGaBBXaBXB）（）（）（）（tt1,)(00IXIXBBaaBXBjjtjtttt）（）（）（）（n通过格林函数的显示，也可得出。通过格林函数的显示，也可得出。n令令n由由n得得7502211tttaaa是特征根。则有解之，得21212, 0VVVV）（221121221121421,VVVVVVjjG2121212111jjjVVVVVVVVI2121212111j 76模型的可逆性表示为 只有这样，才能用一个AR模型来近似MA模型，可逆条件为 或 04221当V1，V2为两个实根，Ii 是一个指数和04221当V1，V2为共轭复根，Ii

50、 是一个阻尼正弦波0,jIj1, 121VV11121221ARMA模型的可逆条件模型的可逆条件对于对于ARMA模型，只有平稳且可逆才有意义，模型，只有平稳且可逆才有意义，即即771kV1kV1k第第 3 节节自协方差函数自协方差函数 791. 直观解释直观解释 若前若前k期的行为对现在时刻行为有一定的影响作用，则期的行为对现在时刻行为有一定的影响作用，则 ktX与 tX 可能是相关的而不是无关的，其作用程度具体表现为相关可能是相关的而不是无关的，其作用程度具体表现为相关程度的高低；相关程度高，影响作用大，反之亦然。若某一程度的高低；相关程度高，影响作用大，反之亦然。若某一时刻的值对其时刻的值

51、对其k期以后的值没有影响作用，则在数值上应该期以后的值没有影响作用，则在数值上应该表现为毫无关系，即不相关的。表现为毫无关系，即不相关的。可见，系统的动态性完全可用自相关函数来刻化。可见，系统的动态性完全可用自相关函数来刻化。一、自协方差函数客观地描述了系统响应的分布一、自协方差函数客观地描述了系统响应的分布特征特征2. 2. 理论依据理论依据 tX80tX可以用可以用 ta的线性组合表出，而的线性组合表出，而 ), 0(2atNIDa则 (1,2,)ta t 是一个正态过程，此时是一个正态过程，此时 ()0,tE a0, 00,),(2kkaaEakttta是一个严平稳正态过程，因而它的概率

52、特性完全由自协是一个严平稳正态过程，因而它的概率特性完全由自协方差函数来描述，显然方差函数来描述，显然 也是一个正态过程，它的特性也也是一个正态过程，它的特性也完全取决于自协方差函数。完全取决于自协方差函数。 81对于对于ARMA系统，设系统，设 tX为零均值序列，则自协方差函数为零均值序列，则自协方差函数 自相关函数自相关函数 0kk二、理论自相关函数和样本自相关函数二、理论自相关函数和样本自相关函数 )(ktkkXXE1、理论自相关函数、理论自相关函数82样本自相关函数有样本自相关函数有 NttNktkttNttNktkttkkXXXXNXXN12112101111220111*1NNtt

53、 ktt kkt ki kkNNtttiX XX XNNkNkXXN 2. 样本自相关函数样本自相关函数 样本自协方差与自相关系数的特性样本自协方差与自相关系数的特性n当序列均值为零或常数且已知时，当序列均值为零或常数且已知时，83kkNktkttkNkEXXN111）（是有偏的，且kkkNkE）（偏差的期望与样本长度成反比，与滞后及理论自相关成正比。当与滞后及理论自相关成正比。当k取某一个固定常数时，取某一个固定常数时，k才是一个渐近无偏估计量，无有效可言，只是一个弱一致才是一个渐近无偏估计量，无有效可言，只是一个弱一致估计。而估计。而是无偏的。NktkttkXXkN1*1n在实际中大多数序

54、列并非零均值，且理论均值往往未知，只在实际中大多数序列并非零均值，且理论均值往往未知，只好用样本均值来近似代替，这时，样本自协方差函数为好用样本均值来近似代替，这时，样本自协方差函数为84)(1)(11*1XXXXkNXXXXNNktkttkNktkttk当考虑序列均值估计偏差的情况下，当考虑序列均值估计偏差的情况下，NOENONkNkEkkkk1)(111)(*都是有偏的，但后者是渐近无偏的。都是有偏的，但后者是渐近无偏的。n 的方差比的方差比 的小的小85k*kkNOVarNOVarkk11*）（）（前者的波动在整个前者的波动在整个k 的范围内都保持很少，而后者当的范围内都保持很少，而后者

55、当k 接近于接近于（N-1）时，方差增大很多。时，方差增大很多。n当样本观测值当样本观测值X1，X2，XN不全为零时，不全为零时，86k必是正定序列必是正定序列但*k却不一定具备正定性。却不一定具备正定性。因此，在时间序列分析中通常使用有偏估计式因此，在时间序列分析中通常使用有偏估计式k其理由除以上所述之外，还在于我们主要关心的往往不是其理由除以上所述之外，还在于我们主要关心的往往不是某一个某一个k值时的值时的 的估计值，而是以的估计值，而是以0到（到（N-1）范围内所）范围内所有有k 值的函数值的函数 的估计。的估计。kk87（1）AR（1）模型的自协方差函数模型的自协方差函数 AR(1)自

56、相关函数为自相关函数为 0/k，即 1101100001kkkk/2110a11,0kkk 其中AR(n)序列的自协方差函数和自相关函数是拖尾的，这是序列的自协方差函数和自相关函数是拖尾的，这是AR(n)序列的重要特征。序列的重要特征。 3格林函数与自协方差函数之间的关系格林函数与自协方差函数之间的关系 AR(1)模型的自相关系数的推导模型的自相关系数的推导AR(1)模型为模型为88tttaXX11假定假定 X t 为零均值。将模型两端乘以为零均值。将模型两端乘以X t-k ，并取期望，得，并取期望，得)()()(11kttkttkttXaEXXEXXE当k=0 时，有)()()(11tttt

57、ttXaEXXEXXE即2110an当当k=1 时，有时，有89)()()(11111ttttttXaEXXEXXE011当k=2时)()()(22112ttttttXaEXXEXXE112以此类推，便有一般式0,11kkkn将将 代入代入 ，有，有900112110a2120201101aa）（相应的自相关函数为相应的自相关函数为110110000/1/kkkk平稳平稳AR(2)模型的协方差模型的协方差n平稳平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1 (12211201122121220kkkka，常用常用AR模型自相关系数递推公式模型自相关系数递

58、推公式nAR(1)模型模型nAR(2)模型模型0,1kkk2110, 1221121kkkkkkAR模型自相关系数的性质模型自相关系数的性质nAR模型自相关系数的表达式是一个齐次差分方程，设模型自相关系数的表达式是一个齐次差分方程，设它的通解形式为它的通解形式为n呈复指数衰减呈复指数衰减n拖尾性拖尾性1pkkiiic1,ipcc1,且不能恒等于零10pkikiiic111,ppkkiiiccck 不能恒等于零不会恒等于零,某个常数MA模型的统计性质模型的统计性质n常数均值常数均值n常数方差常数方差02211）（qtqttttaaaaEEx22212211)1 ()()(aqqtqttttaaa

59、aVarxVarMA模型的统计性质模型的统计性质n自协方差函数自协方差函数P阶截尾阶截尾n自相关系数自相关系数P阶截尾阶截尾q kqkkkqiikikqk , 01 ,)(0 ,)1 (212221qkqkkqkqiikikk , 01 ,10 , 12211常用常用MA模型的自相关系数模型的自相关系数nMA(1)模型模型nMA(2)模型模型2, 01, 10, 1211kkkk3, 02, 11, 10, 1222122221211kkkkk97MA(n)模型为模型为11tttnt nXaaa由白噪声序列由白噪声序列 的定义知，当的定义知，当 ta0k 时，有 11()()nnkt ktt kjt kjtjtjjjE XXE aaaa 20110(),0,kkn knaknkn MA(n)序列的充分必要条件是其自协方差函数和自相